从图象上可以看出，当x>x2时，f（x）>g（x），
∴f（2021）>g（2021）.
又g（2021）>g（3），
∴f（2021）>g（2021）>g（3）>f（3）.
题型二 函数模型的选取
【例2】 科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现9000万元的投资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：
当投资收益达到3000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金y（单位：
万元）随投资收益x（单位：
万元）的增加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖金总数不超过投资收益的20%.
（1）现有三个奖励函数模型：
①f（x）＝0.03x＋8，②f（x）＝0.8x＋200，③f（x）＝100log20x＋50，x∈[3000，9000].试分析这三个函数模型是否符合公司要求？
（2）根据
（1）中符合公司要求的函数模型，要使奖金额达到350万元，公司的投资收益至少要达到多少万元？
解
（1）由题意符合公司要求的函数f（x）在[3000，9000]上为增函数，
且对∀x∈[3000，9000]，恒有f（x）≥100且f（x）≤
.
①对于函数f（x）＝0.03x＋8，当x＝3000时，f（3000）＝98<100，不符合要求；
②对于函数f（x）＝0.8x＋200为减函数，不符合要求；
③对于函数f（x）＝100log20x＋50，x∈[3000，9000]，
显然f（x）为增函数，且当x＝3000时，f（3000）>100log2020＋50＝150≥100；又因为f（x）≤f（9000）
＝100log209000＋50<100log20160000＋50＝450；
而
≥
＝600，所以当x∈[3000，9000]时，f（x）max≤
.
所以f（x）≥
恒成立；因此f（x）＝100log20x＋50为满足条件的函数模型.
（2）由100log20x＋50≥350得log20x≥3，所以x≥8000，
所以公司的投资收益至少要达到8000万元.
思维升华 不同的函数增长模型的特点
对于函数模型选择的问题，熟悉各种函数模型的增长特点是关键.一次函数模型的增长是匀速的，二次函数模型是对称的，一侧增，一侧减；指数型函数模型适合描述增长速度很快的变化规律；对数型函数模型比较适合描述增长速度平缓的变化规律；幂型函数模型介于指数型函数模型和对数型函数模型之间，适合描述不快不慢的变化规律.
【训练2】 某汽车制造商在2021年初公告：
公司计划2021年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：
年份
2018
2019
2020
产量（万）
8
18
30
如果我们分别将2018，2019，2020，2021年定义为第一、二、三、四年，现在你有两个函数模型：
二次函数模型f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），指数型函数模型g（x）＝a·bx＋c（a≠0，b>0，b≠1）.哪个模型能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系？
解 建立生产量y与年份x的函数，可知函数图象必过点（1，8），（2，18），（3，30）.
（1）构造二次函数模型f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），将点的坐标代入，
可得
解得a＝1，b＝7，c＝0，
则f（x）＝x2＋7x，
故f（4）＝44，与计划误差为1.
（2）构造指数型函数模型g（x）＝a·bx＋c（a≠0，b>0，b≠1），
将点的坐标代入可得
解得a＝
，b＝
，c＝－42，
则g（x）＝
×
－42，
故g（4）＝
×
－42＝44.4，与计划误差为1.4.
由
（1）
（2）可得f（x）＝x2＋7x能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系.
1.掌握4类不同增长的函数模型
（1）增长速度不变的函数模型是一次函数模型.
（2）增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型.
（3）增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型.
（4）增长速度平稳的函数模型是幂型函数模型.
2.注意1个易错
实际应用题易忘记定义域和作答.
一、选择题
1.下表是函数值y随自变量x变化而变化的一组数据，它最可能的函数模型是（ ）
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
A.一次函数模型B.幂函数模型
C.指数函数模型D.对数函数模型
答案 A
解析 根据已知数据可知自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型.
2.某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的图形.下列函数中最能近似刻画y与t之间关系的是（ ）
A.y＝2tB.y＝2t2C.y＝t3D.y＝log2t
答案 D
解析 由图知该函数可能是y＝log2t.故选D.
3.某新款电视投放市场后第一个月销售了100台，第二个月销售了200台，第三个月销售了400台，第四个月销售了790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x（1≤x≤4，x∈N*）之间关系的是（ ）
A.y＝100xB.y＝50x2－50x＋100
C.y＝50×2xD.y＝100x
答案 C
解析 将数据代入各函数中，易知指数型函数能较好地与题中的数据相对应.
4.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（ ）
x
1.992
3
4
5.15
6.126
y
1.517
4.0418
7.5
12
18.01
A.y＝2x－2B.y＝
（x2－1）
C.y＝log2xD.y＝2x
答案 B
解析 由表格可知函数在（0，＋∞）上是增函数，且y的变化随x的增大而增大的越来越快，分析选项可知B符合，故选B.
5.2003年至2015年河北省电影放映场次（单位：
万次）的情况如图所示，下列函数模型中最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是（ ）
A.f（x）＝alnx＋bB.f（x）＝aex＋b
C.f（x）＝eax＋bD.f（x）＝ax2＋bx＋c
答案 A
解析 由图象可得这13年间电影放映场次逐年变化规律是随着x的增大，f（x）逐渐增大，图象逐渐上升.对于A，a>0时，为“上凸函数”，不符合图象的特征；a<0时，为单调递减函数，不符合图象的特征；对于B，取a>0，b>0，可得满足条件的函数；对于C，取a>0，b>0，可得满足条件的函数；对于D，f（x）＝ax2＋bx＋c，取a>0，－
<0，可得满足条件的函数.
二、填空题
6.某农场种植一种农作物，为了解该农作物的产量情况，现将近四年的年产量f（x）（单位：
万斤）与年份x（记2015年为第1年）之间的关系统计如下：
x
1
2
3
4
f（x）
4.00
5.62
7.00
8.86
则f（x）近似符合以下三种函数模型之一：
①f（x）＝ax＋b；②f（x）＝2x＋a；③f（x）＝x2＋b.你认为最适合的函数模型的序号是________.
答案 ①
解析 若模型为②，则f
（1）＝2＋a＝4，解得a＝2，于是f（x）＝2x＋2，此时f
（2）＝6，f（3）＝10，f（4）＝18，与表格中的数据相差太大，不符合；若模型为③，则f
（1）＝1＋b＝4，解得b＝3，于是f（x）＝x2＋3,此时f
（2）＝7，f（3）＝12，f（4）＝19，与表格中的数据相差太大，不符合；若模型为①，则根据表中数据得
即
解得
经检验是最适合的函数模型.
7.工厂生产某种产品的月产量y（万件）与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此工厂3月份生产该产品________万件.
答案 1.75
解析 由题意得
解得
∴y＝－2×0.5x＋2，
∴3月份该产品的产量为
y＝－2×0.53＋2＝1.75（万件）.
8.某新能源汽车公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2018年（记为第1年）全年投入研发资金5300万元，在此基础上以后每年投入的研发资金比上一年增长8%，则该公司全年投入的研发资金开始超过7000万元的年份是________（参考数据：
lg1.08≈0.03，lg5.3≈0.72，lg7≈0.85）.
答案 2023
解析 设从第n年开始超过7000万元，
则5300×（1＋8%）n－1>7000，
即（n－1）lg1.08>lg7－lg5.3，
n－1>
≈
≈4.3，取n＝5，又2018＋5＝2023，
因此开始超过7000万元的年份是2023年.
三、解答题
9.某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP（即人均纯收入）在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：
该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减.
（1）下列几个模拟函数中：
①y＝ax2＋bx；②y＝kx＋b；③y＝logax＋b；④y＝ax＋b（x表示人均GDP，单位：
千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：
L）.用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？
说明理由.
（2）若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2L；人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5L，把
（1）中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A饮料的销售量最多是多少？
解
（1）用①来模拟比较合适.因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减.而②③④表示的函数在区间上是单调函数，所以②③④都不合适，故用①来模拟比较合适.
（2）因为人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2L；人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5L，把x＝1，y＝2；x＝4，y＝5代入到y＝ax2＋bx，得
解得a＝－
，b＝
，所以函数解析式为y＝－
x2＋
x（x∈[0.5，8]）.
因为y＝－
x2＋
x＝－
＋
，所以当x＝
时，年人均A饮料的销售量最多是
L.
10.某工厂生产一种产品，根据预测可知该产品的产量平稳增长，记2015年为第1年，第x年与年产量f（x）（万件）之间的关系如下表所示：
x
1
2
3
4
f（x）
4.00
5.52
7.00
8.49
现有三种函数模型：
f（x）＝ax＋b，f（x）＝a·2x＋b，f（x）＝log0.5x＋a
（1）找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取x＝1，3这两年的数据求出相应的函数解析式；
（2）因受市场环境的影响，2021年的年产量估计要比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，估计2021年的年产量.
解
（1）符合条件的函数模型是f（x）＝ax＋b；
若模型为f（x）＝a·2x＋b，
由已知得
∴
a＝
，b＝3，
∴f（x）＝
×2x＋3，
∴f
（2）＝5，f（4）＝11，与已知差距较大；
若模型为f（x）＝log0.5x＋a，f（x）为减函数，与已知不符；
若模型为f（x）＝ax＋b，由
∴
a＝
，b＝
，
∴f（x）＝
x＋
，∴f
（2）＝5.5，f（4）＝8.5，与已知符合较好.∴相应的函数为f（x）＝
x＋
.
（2）2021年预计年产量为f（7）＝
×7＋
＝13，
13×（1－30%）＝9.1，
所以估计2021年产量应为9.1万件.
11.（多选题）甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi（x）（i＝1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为：
f1（x）＝2x－1，f2（x）＝x2，f3（x）＝x，f4（x）＝log2（x＋1），以下说法正确的是（ ）
A.当x>1时，乙走在最前面
B.当01时，丁走在最后面
C.丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面
D.如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
答案 BCD
解析 f1（x）＝2x－1，f2（x）＝x2，f3（x）＝x，f4（x）＝log2（x＋1）相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数和对数型函数模型.当x＝5时，f1（5）＝31，f2（5）＝25，∴A不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x＝1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而可知当01时，丁走在最后面，B正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴D正确；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，C正确.
12.已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物2500mg，设经过x个小时后，药物在病人血液中的量为ymg.
（1）y与x的关系式为________；
（2）当该药物在病人血液中的量保持在1500mg以上时，才有疗效；而低于500mg时，病人就有危险.则要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过________小时（精确到0.1）.
（参考数据：
0.20.3≈0.6，0.82.3≈0.6，0.87.2≈0.2，0.89.9≈0.1）
答案
（1）y＝2500×0.8x
（2）7.2
解析
（1）由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，给某病人注射了该药物2500mg，经过x个小时后，药物在病人血液中的量为y＝2500×（1－20%）x＝2500×0.8x（mg），即y与x的关系式为y＝2500×0.8x.
（2）当该药物在病人血液中的量保持在1500mg以上时，才有疗效，而低于500mg时，病人就有危险，∴令2500×0.8x≥500，即0.8x≥0.2.∵0.87.2≈0.2，y＝0.8x是单调递减函数，∴x≤7.2，
∴要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过7.2小时.
13.假设有一套住房从2002年的20万元上涨到2012年的40万元.下表给出了两种价格增长方式，其中P1是按直线上升的房价，P2是按指数增长的房价，t是2002年以来经过的年数.
t
0
5
10
15
20
P1/万元
20
40
P2/万元
20
40
（1）求函数P1＝f（t）的解析式；
（2）求函数P2＝g（t）的解析式；
（3）完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种价格增长方式的差异.
解
（1）因为P1是按直线上升的房价，设f（t）＝kt＋b（k≠0），t≥0，
由f（0）＝k·0＋b＝20，f（10）＝k·10＋b＝40，
可得k＝2，b＝20，即P1＝2t＋20，t≥0.
（2）因为P2是按指数增长的房价，设g（t）＝a0at（a＞0且a≠1），t≥0，
由g（0）＝a0a0＝20，g（10）＝a0a10＝40，
可得a0＝20，a＝2
，即P2＝20×2
，t≥0.
（3）由
（1）和
（2）知，当t＝5时，P1＝30，P2＝20
；
当t＝15时，P1＝50，P2＝40
；当t＝20时，P1＝60，
P2＝80，
则表格如下：
t
0
5
10
15
20
P1/万元
20
30
40
50
60
P2/万元
20
20
40
40
80
则图象为：
根据表格和图象可知：
房价按函数P1＝f（t）呈直线上升，每年的增加量相同，保持相同的增长速度；按函数P2＝g（t）呈指数增长，每年的增加量越来越大，开始增长慢，然后会越来越快，但保持相同的增长比例.
14.安徽怀远石榴（Punicagranatum）自古就有“九州之奇树，天下之名果”的美称，今年又喜获丰收.怀远一中数学兴趣小组进行社会调查，了解到某石榴合作社为了实现100万元利润目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：
在销售利润超过6万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：
万元）随销售利润x（单位：
万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.同学们利用函数知识设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是（ ）
（参考数据：
1.015100≈4.432，lg11≈1.041）
A.y＝0.04xB.y＝1.015x－1
C.y＝tan
D.y＝log11（3x－10）
答案 D
解析 对于函数：
y＝0.04x，当x＝100时，y＝4>3不合题意；
对于函数：
y＝1.015x－1，当x＝100时，y＝3.432>3不合题意；
对于函数：
y＝tan
，不满足递增，不合题意；
对于函数：
y＝log11（3x－10），满足x∈（6，100]时，函数为增函数，
且y≤log11（3×100－10）＝log11290
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