821 几个函数模型的比较.docx

1、821 几个函数模型的比较8.2函数与数学模型8.2.1几个函数模型的比较课标要求素养要求1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义.2.区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异.3.会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题.通过本节的学习，使学生认识函数模型的作用，提升学生数学建模、数据分析等素养.自主梳理比较三种函数模型的性质，填写下表：函数性质yax(a1)ylogax(a1)yx(0)在(0，)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定随值的不同而不同增长速度ax的增长快于x的增长，x的增长快于logax的增长增长后果当x足够大时，有ax

2、xlogax(a1)自主检验1.思考辨析，判断正误(1)当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数.()(2)一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合又能很好地推演和预测.()(3)函数ylogx衰减的速度越来越慢.()(4)由于指数函数模型增长速度最快，所以对于任意xR恒有axx2(a1).()提示当x趋于无穷大时axx2(a1)恒成立.2.已知函数为y12x，当x减少1个单位时，y的变化情况是()A.y减少1个单位 B.y增加1个单位C.y减少2个单位 D.y增加2个单位答案C解析结合函数y12x的变化特征可知C正确.3.下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是()A.

3、yex B.yln xC.yx2 D.yex答案A解析结合指数函数、对数函数及幂函数的图象变化趋势可知A正确.4.下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看更为有前途的生意是_(填序号).y101.05x；y20x1.5；y30lg(x1)；y50.答案解析增长速度最快的函数为y101.05x，故选.题型一函数模型的增长差异【例1】(1)下列函数中，增长速度最快的是()A.y2 021x B.yx2 021C.ylog2 021x D.y2 021x(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x151015202530y122610122640162

4、6901y22321 02432 7681.051063.361071.07109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907则关于x呈指数型函数变化的变量是_.答案(1)A(2)y2解析(1)比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A.(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化.思维升华指数函数、对数函数和幂函数增长差异的判断方

5、法(1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断.(2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数.【训练1】函数f(x)2x和g(x)3x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，比较f(3)，g(3)，f(2 021)，g(2 021)的大小.解(1)C1对应的函数为g(x)3x，C2对应的函数为f(x)2x.(2)f(3)8，g(3)9，f(3)g(4)，3x2x

6、2时，f(x)g(x)，f(2 021)g(2 021).又g(2 021)g(3)，f(2 021)g(2 021)g(3)f(3).题型二函数模型的选取【例2】科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现9 000万元的投资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到3 000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金 y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖金总数不超过投资收益的20%.(1)现有三个奖励函数模型：f(x)0.03x8，f(x)0.8x200，f(x)100log20x50，x3 000，9 000.试分析这

7、三个函数模型是否符合公司要求？(2)根据(1)中符合公司要求的函数模型，要使奖金额达到350万元，公司的投资收益至少要达到多少万元？解(1)由题意符合公司要求的函数f(x)在3 000，9 000上为增函数，且对x3 000，9 000，恒有f(x)100且f(x).对于函数f(x)0.03x8，当x3 000时，f(3 000)98100log202050150100；又因为f(x)f(9 000)100log209 000500，b1).哪个模型能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系？解建立生产量y与年份x的函数，可知函数图象必过点(1，8)，(2，18)，(3，30).(1)构造二次函

8、数模型f(x)ax2bxc(a0)，将点的坐标代入，可得解得a1，b7，c0，则f(x)x27x，故f(4)44，与计划误差为1.(2)构造指数型函数模型g(x)abxc(a0，b0，b1)， 将点的坐标代入可得解得a，b，c42，则g(x)42，故g(4)4244.4，与计划误差为1.4.由(1)(2)可得f(x)x27x能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系.1.掌握4类不同增长的函数模型(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.(2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型.(3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型.(4)增长速度平稳的函数模型是幂型函数模型.2.注

9、意1个易错实际应用题易忘记定义域和作答.一、选择题1.下表是函数值y随自变量x变化而变化的一组数据，它最可能的函数模型是()x45678910y15171921232527A.一次函数模型 B.幂函数模型C.指数函数模型 D.对数函数模型答案A解析根据已知数据可知自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型.2.某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的图形.下列函数中最能近似刻画y与t之间关系的是()A.y2t B.y2t2 C.yt3 D.ylog2t答案D解析由图知该函数可能是ylog2t.故选D.3.某新款电视投放市场后第一个月销售

10、了100台，第二个月销售了200台，第三个月销售了400台，第四个月销售了790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1x4，xN*)之间关系的是()A.y100x B.y50x250x100C.y502x D.y100x答案C解析将数据代入各函数中，易知指数型函数能较好地与题中的数据相对应.4.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x1.992345.156.126y1.5174.041 87.51218.01A.y2x2 B.y(x21)C.ylog2 x D.y2x答案B解析

11、由表格可知函数在(0，)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大的越来越快，分析选项可知B符合，故选B.5.2003年至2015年河北省电影放映场次(单位：万次)的情况如图所示，下列函数模型中最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是()A.f(x)aln xb B.f(x)aexbC.f(x)eaxb D.f(x)ax2bxc答案A解析由图象可得这13年间电影放映场次逐年变化规律是随着x的增大，f(x)逐渐增大，图象逐渐上升.对于A，a0时，为“上凸函数”，不符合图象的特征；a0，b0，可得满足条件的函数；对于C，取a0，b0，可得满足条件的函数；对于D，f(x)ax2bxc，取a

12、0，7 000，即(n1)lg 1.08lg 7lg 5.3，n14.3，取n5，又2 01852 023，因此开始超过7 000万元的年份是2023年.三、解答题9.某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.58千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减.(1)下列几个模拟函数中：yax2bx；ykxb；ylogaxb；yaxb(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L).用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由.(2)若人均GDP为1千美元时，年人均

13、A饮料的销售量为2 L；人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5 L，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A饮料的销售量最多是多少？解(1)用来模拟比较合适.因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减.而表示的函数在区间上是单调函数，所以都不合适，故用来模拟比较合适.(2)因为人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2 L；人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5 L，把x1，y2；x4，y5代入到yax2bx，得解得a，b，所以函数解析式为yx2x(x0.5，8).因为yx2x，所以当x时，年人均A饮料的销售量最多是 L.10.

14、某工厂生产一种产品，根据预测可知该产品的产量平稳增长，记2015年为第1年，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示：x1234f(x)4.005.527.008.49现有三种函数模型：f(x)axb，f(x)a2xb，f(x)log0.5xa(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取x1，3这两年的数据求出相应的函数解析式；(2)因受市场环境的影响，2021年的年产量估计要比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，估计2021年的年产量.解(1)符合条件的函数模型是f(x)axb；若模型为f(x)a2xb，由已知得a，b3，f(x)2x3，f(2)5，f(4)11，与已

15、知差距较大；若模型为f(x)log0.5xa，f(x)为减函数，与已知不符；若模型为f(x)axb，由a，b，f(x)x，f(2)5.5，f(4)8.5，与已知符合较好.相应的函数为f(x)x.(2)2021年预计年产量为f(7)713，13(130%)9.1，所以估计2021年产量应为9.1万件.11.(多选题)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi(x)(i1，2，3，4)关于时间x(x0)的函数关系式分别为：f1(x)2x1，f2(x)x2，f3(x)x，f4(x)log2(x1)，以下说法正确的是()A.当x1时，乙走在最前面B.当0x1时，丁走在最后面C.

16、丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面D.如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲答案BCD解析f1(x)2x1，f2(x)x2，f3(x)x，f4(x)log2(x1)相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数和对数型函数模型.当x5时，f1(5)31，f2(5)25，A不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而可知当0x1时，丁走在最后面，B正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，D正确；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可

17、能走在最后面，C正确.12.已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物2 500 mg，设经过x个小时后，药物在病人血液中的量为y mg.(1)y与x的关系式为_；(2)当该药物在病人血液中的量保持在1 500 mg以上时，才有疗效；而低于500 mg时，病人就有危险.则要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过_小时(精确到0.1).(参考数据：0.20.30.6，0.82.30.6，0.87.20.2，0.89.90.1)答案(1)y2 5000.8x(2)7.2解析(1)由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，给某病人注射了该药物2 500

18、mg，经过x个小时后，药物在病人血液中的量为y2 500(120%)x2 5000.8x(mg)，即y与x的关系式为y2 5000.8x.(2)当该药物在病人血液中的量保持在1 500 mg以上时，才有疗效，而低于500 mg时，病人就有危险，令2 5000.8x500，即0.8x0.2.0.87.20.2，y0.8x是单调递减函数，x7.2，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过7.2小时.13.假设有一套住房从2002年的20万元上涨到2012年的40万元.下表给出了两种价格增长方式，其中P1是按直线上升的房价，P2是按指数增长的房价，t是2002年以来经过的年数.t0510152

19、0P1/万元2040P2/万元2040(1)求函数P1f(t)的解析式；(2)求函数P2g(t)的解析式；(3)完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种价格增长方式的差异.解(1)因为P1是按直线上升的房价，设f(t)ktb(k0)，t0，由f(0)k0b20，f(10)k10b40，可得k2，b20，即P12t20，t0.(2)因为P2是按指数增长的房价，设g(t)a0at(a0且a1)，t0，由g(0)a0a020，g(10)a0a1040，可得a020，a2，即P2202，t0.(3)由(1)和(2)知，当t5时，P130，P220；当t15时，P150

20、，P240；当t20时，P160，P280，则表格如下：t05101520P1/万元2030405060P2/万元2020404080则图象为：根据表格和图象可知：房价按函数P1f(t)呈直线上升，每年的增加量相同，保持相同的增长速度；按函数P2g(t)呈指数增长，每年的增加量越来越大，开始增长慢，然后会越来越快，但保持相同的增长比例.14.安徽怀远石榴(Punicagranatum)自古就有“九州之奇树，天下之名果”的美称，今年又喜获丰收.怀远一中数学兴趣小组进行社会调查，了解到某石榴合作社为了实现100万元利润目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过6万元时，按销售利润进行奖励

21、，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.同学们利用函数知识设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是()(参考数据：1.0151004.432，lg 111.041)A.y0.04x B.y1.015x1C.ytan D.ylog11(3x10)答案D解析对于函数：y0.04x，当x100时，y43不合题意；对于函数：y1.015x1，当x100时，y3.4323不合题意；对于函数：ytan，不满足递增，不合题意；对于函数：ylog11(3x10)，满足x(6，100时，函数为增函数，且ylog11(310010)log11290log111 3313，知符合题意.故选D.