中考数学 知识点聚焦一元一次方程与二元一次方程组.docx

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中考数学知识点聚焦一元一次方程与二元一次方程组

专题三方程（组）与不等式（组）

第七章一元一次次方程与二元一次方程组

考情分析

高频考点

考查频率

所占分值

1.一元一次方程及方程的解

★

5～12分

2.等式的性质

★★

3.解一元一次方程

★

4.由实际问题列方程（组）

★★

5.一元一次方程的应用

★

6.二元一次方程组的解

★★

7.解二元一次方程组

★★

8.二元一次方程（组）的应用

★★★

智能图谱

第15讲一元一次方程

知识能力解读

知能解读

（一）方程及一元一次方程的有关概念

（1）方程：

含有未知数的等式叫作方程.

注意

判断一个式子是不是方程，要看两个条件：

一是等式；二是含有未知数.二者缺一不可.

（2）一元一次程：

只含有一个未知数（元），含未知数的项的次数都是1,等号两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程.方程

（其中

是未知数

是已知数，并且

）叫作一元一次方程的标准形式.

一元一次方程具有三个特点:

①未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数；②含有一个未知数；③含未知数的项的次数是1.三者缺一不可.

（3）方程的解：

使方程左、右两边相等的未知数的值,叫作方程的解（只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根）.

（4）解方程：

求方程的解的过程，叫作解方程.

注意

判断一个数（或一组数）是不是某方程的解，只需看两点：

（1）它（或它们）是方程中未知数的值；

（2）将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它（或它们）是方程的解.二者缺一不可.

知能解读

（二）等式及其性质

（1）等式：

用等号“=”来表示相等关系的式子叫等式.像

，

，

，

这样的式子，都是等式.

我们可以用

表示一般的等式.

（2）等式的性质：

（3）等式两边加（或减）同一个数（或式子）,结果仍相等，即如果

，那么

；

（4）等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，即如果

，那么

；如果

，那么

.

拓展

等式还具有下列性质：

（1）对称性：

如果

，那么

，即等式的左、右两边交换位置，所得结果仍是等式；

（2）传递性：

如果

，且

，那么

，这一性质也叫等量代换.

知能解读（三）一元一次方程的解法

移项法则：

方程中的任何一项都可以改变符号后从方程的一边移到另一边，这种变形叫作移项.这个法则叫作移项法则，移项的根据是等式的性质①.

（2）解一元二次方程的一般步骤：

变形名称

具体做法

变形依据

注意事项

去分母

在方程得两边同乘各分母的最小公倍数

等式的性质②

（1）不要漏乘不含分母的项；

（2）若分子是一个多项式，需加上括号

去括号

先去小括号，再去中括号，最大去大括号

去括号法则、分赔律

（1）不要漏乘括号里的项；

（2）不要弄错符号

移项

把含有未知数的项移到方程的一边，其他各项都移到方程得另一边（记住移向要变号）

等式的性质①

（1）移项要变号；

（2）不要丢项

合并同类项

把方程化为

的形式

合同同类项法则

（1）未知数及其指数不变，系数相加；

（2）不要漏项

系数化为1

在方程的两边都除以未知数的系数

，得到方程的解

等式的性质②

切记分子、分母置颠倒

注意

解方程的五个步骤，有些可能用不到，有些可能重复使用，也不一定按从上到下的顺序进行，要根据方程的特点灵活安排求解步骤.

知能解读（四）实际问题与一元一次方程

简单概括为“审、找、设、列、解、验、答”七个字.

即：

（1）审清题意和题目中的已知数、未知数；

（2）找出能够表示应用题含义的一个等量关系；

（3）根据这个等量关系设出需要的未知数，从而列出方程；

（4）解这个方程，求出未知数的值；

（5）检验解的合理性并写出答案（包括单位名称）.

注意

列方程解应用题的注意事项

步骤

注意事项

设未知数

1.设未知数，一般是问什么就直接设什么；

2.若直接设未知数有难度，可间接设未知数；

3.设未知数时，必须写清楚未知数的单位名称，如“设火车的速度是

”是不正确的，应是“设火车的速度

千米/时”

列方程

1.列方程得等量关系是否正确；

2.方程两边的量所用单位是否统一

解答

求得方程的解必须检验，看是否符合题意，是否使实际问题有意义

知能解读（五）一元一次方程应用题常见的题型及数量关系归纳

题中涉及的数量关系及公式

等量关系

注意事项

和、差、倍、分问题

增长量=原有量×增长率

现有量=原有量+增长量

现有量=原有量-降低量

由题可知

弄清“倍数”关系及“多少”关系等

等积变形问题

长方体体积=长×宽×高

圆柱体体积

（

高，

底面圆半径）

变形前后体积相等

要分清圆的半径、直径

行程问题

相遇问题

路程=速度×时间

时间=路程÷速度

快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离

相向而行，注意出发时间、地点

追及问题

速度=路程÷时间

快车行驶路程-慢车行驶路程=原距离

同向而行，注意出发时间、地点

调配问题

从调配后的数量关系中找等量关系

调配对象流动的方向和数量

比例分配问题

全部数量=各部分的数量之和

把一份的数量设为

工程问题

工作量=工作效率×工作时间

工作效率=工作量÷工作时间

工作时间=工作量÷工作效率

两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量

一般情况下，把总工作量设为1

利润率问题

商品的利润率=

×100%

商品利润=商品售价-商品进价（成本价）

找出利润、利润率、售价、进价之间的关系

打几折就是按原售价的十分之几出售

数字问题（包括月历表中的数字规律）

设

分别为一个两位数的个位、十位上数字，则这个两位数可表示为

由题可知

（1）对于月历表中的数字问题要弄清月历表中的数字规律

（2）设间接未知数

储蓄问题

本金、利息、利率之间的关系式：

利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×（1+利率×期数）

由题可知

分清利息和本息和

注意

以上把一元一次方程应用题几种常见的题型及其特点列表归纳出来，目的是帮助同学们加深理解和记忆，切不可把它当作学习的“拐杖”，死记题型，生搬硬套，要培养分析问题和解决问题的能力，掌握列一元一次方程解应用题的一般方法.

方法技巧归纳

方法技巧

（一）一元一次方程的识别方法

方程是一元一次方程的条件有三个:

①只含有一个未知数；②含未知数的项的次数是1；③是整式方程且未知数的系数不为0.这三个条件缺一不可.

点拨

判断一个方程是不是一元一次方程，就看它是否符合：

①方程两边都是整式；②只含有一个未知数；③含未知数的项的次数都是1.三个条件缺一不可.

方法技巧

（二）方程的解的应用

方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把方程的解代入可求出某些字母的值.

点拨

（1）把方程的解代入方程时，一定要“对号入座”，只把未知数用这个解来代替，其余不变.

（2）当方程中含有多个字母时，指出是关于哪个字母的方程,哪个字母就是方程的未知数，而其他字母都相当于已知数.

方法技巧（三）利用等式的性质进行变形

利用等式的性质对等式变形时，应分析变形前、后式子发生了哪些变化,发生加减变形的依据是等式的性质1，发生乘除变形的依据是等式的性质2.

注意

（1）等式变形时，等式两边必须进行完全相同的运算，等式才成立；

（2）特别注意等式两边同除以一个数（或一个式子）时，这个除数（或除式）不能为0.

方法技巧（四）一元一次方程的求解方法

（1）解一元一次方程，一般通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤，把一元一次方程“转化”成

的形式.

（2）解方程的过程中，关键要明确步骤，且能灵活安排各个步骤的次序（不一定每个步骤都要用到），从而使计算简便.在整个求解过程中，注意要避免去分母、去括号、移项时犯错误，因此初学时，最好在求出方程的解后把方程的解代入原方程进行检验.

1巧去括号，简化运算

点拨

对于含有多重括号的方程，关键是去括号，去括号时可以由里向外，也可以由外向里.

2巧妙合并，简化过程

点拨

按常规方法应先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1,本题中如果这样做很繁琐.若将

及

分别看成一个整体，移项，合并同类项，解答就十分巧妙.

3巧去分母，一举两得

点拨

当方程中分数的分子、分母都含有小数时，一般是运用分数的基本性质，使分子、分母同时扩大10的倍数，将小数化为整数，再去分母.在运用分数的基本性质时应灵活运用，有时在将小数化为整数的同时，可使分母变为1.

方法技巧（五）列一元一次方程解应用题的题型与方法

（1）列方程解应用题的关键是找出题目中的等量关系，设出未知数，把等量关系中的各个部分分别用关于未知数的代数式表示出来，根据题中的等量关系列出方程.

列方程解应用题中设未知数的方法主要有：

①直接设未知数：

所谓直接设未知数，就是题目里要求什么，就设什么是未知数.

②间接设未知数：

有些题目，采用直接设未知数的方法分析条件或列方程比较困难，而如果采用间接设未知数的方法，分析条件或列方程反而比较容易，这样可以间接设未知数，解完方程，再来求题目里所要求的未知量.

一般地，如果题目里涉及的几个量之间存在某种数量关系或某种比例关系时，多采用间接设未知数的方法，间接设未知数是在直接设未知数、分析条件或列方程感到困难的时候才采取的方法.其优点是：

列方程和解方程的过程都比较容易.

（2）列方程解应用题的三种常用分析方法：

①等量分析法：

找出题中的等量关系，分析等量关系的左、右两边是否相符.

图示法：

根据题意画出示意图，利用图形来分析数量间的关系，从而列出方程.（以线段示意图为主）

列表法：

对于较复杂的应用题,可以将题中的各个量列在表格中进行分析，从而找出等量关系列出方程.

（3）—元一次方程是将具体问题“数学化”的重要模型，建模过程如下：

这就是说，实际应用题虽然千变万化，种类较多，但都遵循这一思路，注意体会，下面通过一些题型说明其应用.

①和、差问题

点拨

列方程解应用题的关键是找出题目中的等量关系.

②打折销售问题

点拨

本题中的打折销售问题，正确表示售价，合理利用利润率公式是解题关键.

③储蓄问题

点拨

“利息=本金×利率×期数”，正确表示出本息和是解题关键.

④行程问题

点拨

解行程类的应用题，一般用“线段图示法”分析等量关系，直观明了，体现了数形结合的思想.

点拨

行程问题中常用的关系式：

路程=速度×时间（及其关系式变形），在行程问题中一般有三种情况：

①相遇问题：

等量关系为“速度和×运动时间=距离”；

②追及问题：

等量关系为“（快行速度—慢行速度）×追及时间=距离”；

③航行问题：

等量关系为“顺水速度=静水速度+水流速度（及其关系式变形）”或“顺水速度—逆水速度=2倍的水流速度（及其关系式变形）”.

本题中甲、乙两人行走的路程的示意图如图所示（图中实线表示甲走的路程，虚线表示乙走的路程）.

由图可得出题中的等量关系为：

甲走的路程+乙走的路程=

在解决行程问题时，画出示意图，可帮助我们更直观地分析题意，找出等量关系.

⑤调配问题

⑥工程问题

点拨

此类题一般把总工作量看成1,由两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量来找等量关系，其主要等量关系为：

工作量=工作效率×工作时间.

⑦数字问题

在有关数字问题的应用题中，要弄清数字与数的关系，能够正确表示多位数是解题的关键.如

.这类应用题,一般设间接未知数列方程.

点拨

解答有关数字类问题关键是正确运用代数式表示两位数、三位数等多位数.如十位数字为

，个位数字为

的两位数可表示为

；百位数字为

，十位数字为

，个位数字为

的三位数可表示为

.

⑧优化方案问题

由题意，得3C%+125（36—：

y）=5025，

点拨

此题属于“方案决策类”问题，题中提供了三种门票的价格，故要买其中的两种有三种选择，而要用完所有的钱，就要使所买的两种门票所花钱数和等于总钱数，且要检验方案的可行性.

⑨比赛中的积分问题

点拨

本题为比赛中的轵分问题，等量关系为“胜得分—负扣分=比赛得分”，正确表示出每一部分的分值是关键.

易混易错辨析

易混易错知识

1.方程与等式、代数式的区别与联系.

方程一定是等式，是含有未知数的等式；等式不一定是方程，因为等式中不一定含有未知数（如

）.因此可以简单地说，方程是特殊的等式.而等式的两边都是代数式，代数式不含“=”只含有运算符号.

2.方程的解与解方程.

方程的解和解方程是两个不同的概念，前者是求得的结果，后者是变形求得结果的过程；前一个“解”是名词,后一个“解”是动词，要区别开来.如

是方程

的解，而解方程是指求方程

的解

的过程.

3.列方程解应用题中的常见错误.

（1）忽略解题的第一步“设”，这容易出现两种错误：

①不指出

是代表什么意义的量，就用

列方程；②指出

表示的意义，但不写出

的单位.

（2）列方程时，单位不统一.

（3）对于求得的解，不检验它是否符合实际意义，就盲目作答.

易混易错

（一）混淆分数基本性质与等式基本性质而致错

易混易错

（二）去分母时将不含分母的项漏乘，忽视分数线的括号作用

易混易错（三）移项时忽视改变符号

中考试题研究

中考命题规律

本讲主要考点有一元一次方程的解法及列方程解应用题.对于一元一次方程的解法，单独命题很少，常与解应用题结合在一起进行考查.

列方程解应用题是中考的必考内容，特别是一些社会经济、家庭生活、生产科技等与实际生产、生活密切相关的问题,是近几年中考中出现频率较高的题目.试题多以选择题、填空题、解答题的形式出现，主要考查学生收集和处理信息的能力、分析和解决实际问题的能力.在中考中以中档题出现，预计今后以社会热点、新闻事件为素材的题目，会成为应用题考查的一个热点.

中考试题

（一）方程模型的建立

点拨

找出等量关系是列方程的关系，考察了“由实际问题

数学问题（方程模型）”的建模能力.

中考试题

（二）收集信息、处理信息，列方程

点拨

根据表中数据判断出该用户用水超过22立方米是解题关键.

中考试题（三）利用方程解决实际问题

第16讲二元一次方程组

知识能力解读

知能解读

（一）二元一次方程和二元一次方程组的概念

（1）二元一次方程：

含有两个未知数（

和

），并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作二元一次方程.

注意

二元一次方程必须同时满足三个条件：

①含有两个未知数，即未知数的系数不能为0；

②含有未知数的项的次数都是1；

③含有未知数的式子都是整式.

（2）二元一次方程组：

有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组.

常见形式有以下几种：

①两个二元一次方程合在一起组成的方程组；

②一个一元一次方程和一个二元一次方程合在一起组成的方程组；

③两个含有不同未知数的一元一次方程组成的方程组.

知能解读

（二）一元二次方程的解和二元一次方程组的解

（1）二元一次方程的解：

一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解.

点拨

（1）二元一次方程的解都是成对出现的两个数，一般要用大括号联立表示.

（2）在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的一个值，就可以相应地求出另一个未知数的值.因此，二元一次方程有无数个解.

（3）一个二元一次方程有无数个解，但是并不是说任意一对数值都是它的解.

（2）二元一次方程组的解：

一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解.

点拨

（1）二元一次方程组的解是方程组中每一个方程的解.但方程组中每个方程的解不一定是方程组的解.

（2）方程组的解要用大括号联立，如

（3）一般常见的二元一次方程组有唯一解，但有的方程组有无数多个解，如

有的方程组无解，如

知能解读（三）二元一次方程组的解法

1消元思想

二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程.我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想.

2代入消元法

把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫作代入消元法，简称代人法.其一般步骤如下：

步骤

名称

具体做法

目的

注意

1

变形

用含一个未知数的式子表示另一个未知数

变形为

（或

）的形式

选系数简单的方程变形

2

代入

把

（或

）代入另一个没有变形的方程中

消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程

代入时要“只代不算”

3

解

解代入后的一元一次方程

求出一个未知数

去括号时不要漏乘，移项时要变号

4

回代

把求得的未知数的值代入变形后的方程中

求出另一个未知数

一般代入变形后的方程

5

写出解

把两个未知数的值用大括号联立起来

表示为

的形式

3.加减消元法

当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一元一次方程.这种方法叫作加减消元法，简称加减法.其一般步骤如下：

步骤

名称

具体做法

目的

注意

1

变形

根据绝对值较小的未知数（同一个未知数）的系数的最小公倍数，用适当的数去乘方程的两边

使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数

①选准消元对象：

当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该元较简单.②方程两边同乘某个数时不要漏乘

2

加减

当同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减；当同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加

消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程

尽量避免出现未知数的系数为负数的情况

3

解

解消元后得到的一元一次方程

求出一个未知数

4

回代

把求得的未知数的值代入方程组中的某个系数较简单的方程中

求出另一个未知数

求另一个未知数时选择系数较为简单的方程

5

写出解

把两个未知数的值用大括号联立起来

表示为

点拨

用加减消元法解二元一次方程组时，一般先把方程组整理成如

的标准形式，再设法加减消元，这样不易出错.

知能解读（四）三元一次方程组及其解法

（1）定义：

含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组.

（2）解法：

解三元一次方程组的方法与解二元一次方程组类似，只是多用一次消元，它的基本思路是：

（3）解三元一次方程组的一般步骤如下：

①把方程组中的一个方程分别与另外两个方程组成两组，用代入法或加减法消去这两组中的同一个未知数，得到一个含有另外两个未知数的二元一次方程组；

②解这个二元一次方程组；

③将所求得的两个未知数的值代入原方程组中含有第三个未知数的方程中，求得第三个未知数的值，从而求出原方程组的解.

注意

（1）要根据方程组的特点决定先消去哪个未知数；

（2）原方程组的每个方程在求解过程中至少要用到一次.

知能解读（五）实际问题与二元一次方程组

列二元一次方程组解应用题的分析方法和解题步骤与列一元一次方程解应用题类似，一般可按如下步骤进行：

实际问题

方程（组）

解答.具体步骤如下：

（1）审题，弄清题目中所给出的相等关系及已知量、未知量；

（2）设未知数，其方法通常有两种：

①直接设未知数，②间接设未知数，并用含未知数的代数式表示涉及的量；

（3）找出能够包含未知数的等量关系，一般情况下，设几个未知数，就需要找几个等量关系；

（4）列方程组,根据给定的相等关系建立方程组；

（5）解方程组；

（6）检验并作答，所求方程组的解在正确的基础上还要符合实际意义，并写清单位名称.

注意

列二元一次方程组解应用题要比列一元一次方程解应用题复杂，而且要求正确地分析出题目中所给的两个等量关系，列出两个方程.

方法技巧归纳

（一）二元一次方程的识别方法

判断一个方程是二元一次方程的标准有三个：

一是整式方程；二是含有两个未知数；三是含未知数的项的次数都是1，三者缺一不可.

注意

（1）二元一次方程中未知数共有两个；

（2）分母中不能出现未知数；（3）含未知数的项的次数为1.

方法技巧

（二）二元一次方程（组）的解的应用方法

由二元一次方程（组）的解的定义，可知二元一次方程（组）的解一定满足该方程（组），把它代入方程（组），可求字母系数的取值.反过来，检验方程组的解的方法是将一对数值分别代入方程组中的每个方程，只有这对数值满足所有方程时,才能说这对数值是此方程组的解.如果这对数值不满足其中的某一个方程，那么它就不是此方程组的解.

点拨

已知二元一次方程组的解，求二元一次方程组中含有的某些字母的值，可把已知解代入方程组中，再解关于这个字母的方程（组）.

点拨

根据二元一次方程解的定义，把给定的方程的解代入，得到待求字母的方程（组），求解即可.

方法技巧（三）用代入法或加减法解二元一次方程组或三元一次方程组的规律技巧

运用代入法解方程组的基本思路是：

①当方程组中存在用一个未知数表示另一个未知数的方程时，可以直接应用代入法；②若方程组中含有未知数的系数为1（或-1）的方程时，选择这样的方程变形比较简单；③若方程组中不含未知数的系数是1（或-1）的方程，则选择未知数的系数的绝对值较小的方程变形比较简单.

（2）加减法是通过“加减”达到消元目的的，解题时注意以下两点：

①当方程组不能直接加减消元时，应根据等式的性质把方程两边同乘一个适当的数，使方程组中的某一未知数的系数相等或互为相反数，然后再进行加减消元；②当方程比较复杂时，要先将方程化简后再消元.

点拨

“代入消元法”与“加减消元法”是二元一次方程组的两种解法，要根据方程组中各个未知数的系数灵活选择法，消去系数简单的未知数.

点拨

方程组中，有些方程得常数项相等或成倍数关系，可以用消常数项的方法，找出两个未知数之间的关系.

点拨

利用加减法解三元一次方程组，观察方程组的特征，先消去一个未知数，得到一个二元一次方程组，再解这个二元一次方程组，最后求出第三个未知数的值.

方法技巧（四）求二元一次方程的整数解的方法

在求二元一次方程的特殊解时，一般先将原方程变形，用一个未知数表示出另一个未知数，然后将各种情况代入逐一讨论.

点拨

通常情况下，求二元一次方程的特殊解需要分类讨论，注意分类时要全面，不重复、不遗漏.

方法技巧（五）利用方程与方程组的解相同，求某个字母的值

点拨

这里利用了二元一次方程组的解与二元一次方程的解相同，用含

的式子表示二元一次方程，组的解，再把

的值代入二元一次方程，从而解决问题.

方法技巧（六）列二元一次方程组解应用题得方法

（1）列二元一次方程组解应用题与列一元一次方程解应用题的方法步骤类似，所不同的是：

①弄清题意和题目中的数量关系后，一般设两个未知数；②找出能够表示应用题全部含义的两个等量关系，根据这两个等量关系列方程.在解有关一次方程组的问题时，一般设几个未知数，就需列几个方程.

（2）注意以下技巧：

①善于把题中各个量之间的关系，用图形（或表格）的形式表示出来，从而易于观察得到等量关系；②分类型归纳思考：

对常见类型的应用题，为了迅速列方程，一方面