是分配格,a,b∈A,且a其中B={x|x∈A且a≤x≤b}。
23给出有界格如图
(1)所示。
问
a)哪些元素有补元?
b)该格是分配格吗?
c)该格是有补格吗?
24.证明具有两个或更多个元素的格中不存在以自身为补元的元素。
25.在有界分配格中,证明具有补元的那些元素组成一个子格。
26.设是有界格,对于任何x,y∈A,证明
a).x∨y=0,则x=y=0
b).x∧y=1,则x=y=1
27.填空
1.是布尔格,当且仅当它是()格。
28.下面(a),(b),(c)三个格是布尔格吗?
如果是,请指出各个格的原子。
29.下面的说法是否正确?
为什么?
1.不是所有格都是有界格。
2.少于五个元素的格,都是分配格。
30.设是由格诱导的代数系统,求证如果∧对∨可分配,则∨对∧也可分配。
31.设是布尔格,求证,对于任何a,b,c∈A,如果有
a∧b=a∧c和a∨b=a∨c成立,则b=c。
32.判断下面命题的真值,并说明原因。
所有链都不是有补格。
33.判断下面命题的真值,并说明原因。
是格,如果|A|=3,则它不是有补格;如果|A|<5,则它必是分配格。
34.判断下面命题的真值,并说明原因。
是有限布尔格,仅当它的元素个数为2n。
(n是正整数)
35.设是布尔代数,*是A上的二元运算,定义如下:
a*b=
∨b其中a,b∈A
1.化简表达式
2.是否为半群?
为什么?
36.设是布尔代数,x,y∈S,证明:
x≤y当且仅当
37.举例说明并非有补格都是分配格。
并非分配格都是有补格。
(画出图说明即可)
38.给定布尔代数<{0,1},∨,∧,―>中的布尔表达式E(x,y,z)如下,请用最简单的方法对它化简。
(提示:
考虑析取范式与合取范式的关系)
39.给定布尔代数<{0,1},∨,∧,―>中的布尔表达式E(x,y,z)如下,请用最简单的方法对它化简。
(提示:
考虑析取范式与合取范式的关系)
40.给定布尔代数<{0,1},∨,∧,¯>上的一个布尔表达式如下:
分别写出它的析取范式与合取范式。
1.答案:
是偏序集,如果任何a,b∈A,使得{a,b}都有最大下界和最小上界,则称是格。
2.答案:
不是格。
因为{24,36}无上界,所以无上确界。
所以不是格。
3.(a)不是格,因为d和e没有下确界,也没有上确界.
(d)不是格,因为5和6没有下确界,7和8既没下确界,也没上确界.
4.答案:
(是全序)
5.答案:
设是全序。
所以A中任何两个元素x,y,要么有x≤y,要么有y≤x。
如果x≤y,则{x,y}的最大下界为x,最小上界为y。
如果y≤x,则{x,y}的最大下界为y,最小上界为x。
即{x,y}的最大下界为较小元素,最小上界为较大元素。
所以全序都是格。
6.答案:
a∨b表示(LUB{a,b},或者{a,b}的最小上界)
a∧b表示(GLB{a,b},或者{a,b}的最大下界)
7.答案:
设是格,是由诱导的代数系统。
B是A的非空子集,如果∧和∨在B上封闭,则称是的子格。
8.答案:
不是格的子格。
因为在中,b∧c=d,而d∉B,,所以不是格的子格。
9.答案:
证明:
显然B是A的非空子集,(因为a≤a≤b,a≤b≤b,所以a,b∈B)。
只要证明∧和∨在B上封闭即可。
任取x,y∈B,由B的构成得a≤x≤b,a≤y≤b,于是由格的性质得,a≤x∨y≤b,
a≤x∧y≤b,于是有x∨y∈B,x∧y∈B,说明∨和∧在B上封闭。
所以也是格。
10.答案:
含有一、二、三个元素的格都是链。
都各有一种不同构形式。
它们的哈斯图如下:
11.答案:
具有四个元素的格不同构形式有2钟。
任何一个具有四个元素的格必同构于下面两种格形式之一:
它们的哈斯图如下:
12.答案:
具有五个元素的格有五种不同构的形式,其图形如下:
设a,b是格中的两个元素,证明:
a).a∧b=b当且仅当a∨b=a.
b).a∧b
答案:
证明
:
a)充分性:
已知a∨b=a,b=b∧(b∨a)=b∧(a∨b)=b∧a=a∧b
必要性:
已知a∧b=b,a=a∨(a∧b)=a∨b
b)充分性:
已知a与b是不可比较的.因a∧b≤b,a∧b≤a,
如果a∧b=b,则有b≤a,如果a∧b=a,则有a≤b,都与a与b是不可比较的矛盾.所以有:
a∧b≤b∧a∧b≠b,于是有a∧b
a∧b≤a∧a∧b≠a,于是有a∧b必要性:
已知a∧b
所以a与b是不可比较的。
13.答案:
证明:
∵(a∧b)≤a≤(a∨c)∴(a∧b)≤(a∨c)
∵(c∧d)≤c≤(a∨c)∴(c∧d)≤(a∨c)
∴(a∧b)∨(c∧d)≤(a∨c)
同理(a∧b)≤(b∨d)(c∧d)≤(b∨d)∴(a∧b)∨(c∧d)≤(b∨d)
∴(a∧b)∨(c∧d)≤(a∨c)∧(b∨d)
14.答案:
是由格诱导的代数系统。
如果对∀a,b,c∈A,有
a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c),
a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)
则称是分配格。
15.答案:
16.答案:
a,d,e是分配格。
17.答案:
有两个。
图形如下:
18.答案:
2∧(3∨5)=2∧30=2(2∧3)∨(2∧5)=1∨1=12∧(3∨5)≠(2∧3)∨(2∧5)
19.答案:
c∧(b∨d)=c∧a=c(c∧b)∨(c∧d)=e∨d=dc∧(b∨d)≠(c∧b)∨(c∧d)
20.答案:
(a)和(b)是分配格。
(c)不是分配格。
因为(c)图等价于下面图(d),而其中结点bfged构成的子格就是与五元素非分配格(e)同构的子格。
所以它不是分配格。
21.答案:
1.各个偏序集的哈斯图如下:
(i=1,2,3,4,5)
2.
分配格
√
√
×
√
×
有补格
×
√
√
×
√
布尔格
×
√
×
×
×
22.答案:
证明:
先证f是从A到B的映射:
任取x∈A,由f的定义得f(x)=(x∨a)∧b)显然(x∨a)∧b≤b,而(x∨a)∧b=(x∧b)∨(a∧b)=(x∧b)∨a(因a即a≤f(x)≤b∴f(x)∈B,∴domf=A.又由于∨和∧的定义知(x∧b)∨a是唯一的。
即f(x)是唯一的.所以f是从A到B的映射。
再证f满足同态等式:
任取x1,x2∈A,
f(x1∧x2)=((x1∧x2)∨a)∧b=((x1∨a)∧(x2∨a))∧b
=((x1∨a)∧b)∧((x2∨a)∧b)=f(x1)∧f(x2)
f(x1∨x2)=((x1∨x2)∨a)∧b=((x1∨a)∨(x2∨a))∧b
=((x1∨a)∧b)∨((x2∨a)∧b)=f(x1)∨f(x2)
∴f是同态映射。
23.答案:
解
:
a)a、c、d、f、g无补元;b和e互为补元;0和1互为补元。
b)不是分配格,因为它含有如图
(2)所示的子格。
c)它不是有补格,因为很多元素无补元。
24.答案:
证明:
设是格,且|A|≥2,假设有a∈A,使得
∴a≠0,a≠1,但是有
1=a∨
=a∨a=a0=a∧
=a∧a=a
产生矛盾.所以不存在以自身为补元的元素.
25.证明:
设是有界分配格,令B={x|
∈A}
任取a,b∈B,
下面证明∨和∧在B上封闭,即a∨b和a∧b都有补元:
所以是的子格。
26.答案:
证明:
a)x=x∧(x∨y)=x∧0=0y=y∧(y∨x)=y∧0=0
b)x=x∨(x∧y)=x∨1=1y=y∨(y∧x)=y∨1=1
27.答案:
1.(