四年级数学思维能力拓展专题突破系列三等差数列.docx
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四年级数学思维能力拓展专题突破系列三等差数列
四年级数学思维能力拓展专题突破系列（三）等差数列
------等差数列基础
（1）
温馨提示：
该文档包含本课程的讲义和课后测试题，课后测试题即每一部分内容对应的“课后练习”。
等差数列的认识、通项公式的使用
1.熟悉等差数列通项公式
2.应用等差数列通项公式计算
例题1：
判断下面哪些是等差数列？
⑴1、0、1、0、1、0…⑵2、8、14、20、26…
⑶1、2、2、3、4、5…⑷95、90、85、80、75…
例题2：
一只小虫沿笔直的树干跳着往上行，每跳一次都比上一次升高4厘米。
第一次跳了10厘米，它一共跳了100次，问它第100次跳多高？
例题3：
一只小虫沿笔直的树干跳着往上行，每跳一次都比上一次升高2厘米。
第5次跳了10厘米，它一共跳了60次，问它第60次跳多高？
例4：
一个等差数列共13项。
每一项都比它的前一项大7，并且末项为125。
求首项是多少?
（即使该课程的课后测试）
练习1：
判断下面哪些是等差数列，是的画√，不是的画×。
（1）4、8、12、16、20、24…（）
（2）1、2、3、5、8、13…（）
（3）3、3、3、3、3、3、3…（）
（4）40、38、37、36、34、32…（）
练习2：
在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？
练习3：
求等差数列2、5、8、11…的第100项？
练习4：
求1、5、9、13、…这个等差数列的第30项？
练习5：
一个等差数列共20项。
每一项都比它的前一项大3，并且末项为125。
求首项是多少？
练习1：
判断下面哪些是等差数列是的画√，不是的画×。
（1）4、8、12、16、20、24…（√）公差为4
（2）1、2、3、5、8、13…（×）相邻两项分别差1、1、2、3、5
（3）3、3、3、3、3、3、3…（√）公差为0
（4）40、38、37、36、34、32…（×）相邻两项分别差2、1、1、2、2
练习2：
在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？
分析：
练习3：
求等差数列2、5、8、11…的第100项？
分析：
练习4：
求1、5、9、13、…这个等差数列的第30项？
分析：
练习5：
一个等差数列共20项。
每一项都比它的前一项大3，并且末项为125。
求首项是多少？
分析：
四年级数学思维能力拓展专题突破系列（三）等差数列
------等差数列基础
（2）
掌握等差数列的项数和公差公式
1.熟悉等差数列项数公式、公差公式
2.应用等差数列项数公差公式计算
例题1：
有一公差6的等差数列，a1=12，an=84，求n的值？
例题2：
体育课上老师指挥大家排成一排，乐乐站排头，哈哈站排尾，从排头到排尾报数。
⑴如果乐乐报3，哈哈报25，每位同学报的数都比前一位多2，那么队伍里一共有多少人？
⑵如果乐乐报17，哈哈报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？
例题3：
艳艳老师在黑板上写了一个等差数列，刚写完，老顽童奥大叔就擦去了其中的大部分，只留下第四个数31和第十个数73。
能找出这个等差数列的公差吗？
例4：
在124和245之间插入10个数以后，使它成为一个等差数列。
这10个数中，最小的是几？
最大的是几？
（即使该课程的课后测试）
练习1：
在数列3、6、9……、201中，共有多少数？
如果继续写下去，第201个数是多少？
练习2：
在等差数列中4、10、16、22、……中，508是这个数列的第几项？
练习3：
一个等差数列首项是11，末项是91，共9项，公差是多少？
练习4：
一个等差数列的第5项是46，第16项是167，公差是多少？
练习5：
在27和76之间插入6个数，使它成为一个等差数列，这6个数中最大是多少，最小是多少？
练习1：
在数列3、6、9……、201中，共有多少数？
如果继续写下去，第201个数是多少？
分析：
项数=（201-3）
3+1=67
末项=3+（201-1）×3=603
答：
共有67项，第201个数是603。
练习2：
在等差数列中4、10、16、22、……中，508是这个数列的第几项？
分析:
项数=（508-4）÷6+1=85
答：
508是这个数列的第85项。
练习3：
一个等差数列首项是11，末项是91，共9项，公差是多少？
分析:
公差=（末项-首项）÷（n-1）
=（91-11）÷（9-1）
=10
答：
公差是10。
练习4：
一个等差数列的第5项是46，第16项是167，公差是多少？
分析：
答：
公差是11。
练习5：
在27和76之间插入6个数，使它成为一个等差数列，这6个数中最大是多少，最小是多少？
分析：
8个数形成等差数列，首项为27，末项为76，则：
公差=（76-27）÷（8-1）=49÷7=7
最小数=27+7=34
最大数=76-7=69
答：
这6个数中最大是69，最小是34。
四年级数学思维能力拓展专题突破系列（三）等差数列
------等差数列求和
掌握等差数列求和公式
1.熟悉等差数列求和公式
2.应用等差数列求和公式计算
例题1：
（2＋4＋6＋8＋10＋…＋2000）－（1＋3＋5＋7＋9＋…＋1999）
例题2：
1＋3＋4＋6＋7＋9＋10＋12＋13+…＋99＋100
例题3：
求1至100内被3整除数的和？
例题4：
求1到100不能被3整除数的和？
例题5：
求100以内能被2或3整除数的和？
（即使该课程的课后测试）
练习1：
计算（1+3+5+…+1991）－（2+4+6+…+1990）
练习2：
计算5+10+15+20+…+190+195+200的和。
练习3：
求自然数中被10除余1的所有两位数的和？
练习4：
求不超过500的所有不能被11整除的自然数的和？
练习5：
求297＋294＋291＋……＋9＋6＋3的和。
练习1：
计算（1+3+5+…+1991）－（2+4+6+…+1990）
分析：
被减数的项数=（1991-1）÷2+1=996
所以被减数的总和=（1+1991）×996÷2=992016
减数的项数=（1990-2）÷2+1=995
所以减数的总和=（2+1990）×995÷2=991020
所以原式=992016-991020=996
练习2：
计算5+10+15+20+…+190+195+200的和。
分析：
首项=5，末项=200，公差=5
项数=（200-5）÷5+1=40
5+10+15+20+…+190+195+200
=（5+200）×40÷2=4100
练习3：
求自然数中被10除余1的所有两位数的和？
分析：
在两位数中，被10除余1最小的是11，最大的是91。
从题意可知，本题是求等差数列11、21、31、……、91的和。
它的项数是9，我们可以根据求和公式来计算。
11+21+31+……+91=（11+91）×9
2=459
练习4：
求不超过500的所有不能被11整除的自然数的和？
分析：
用1到500的和减去能被11整除数的和。
能被11整除最小的数是11，最大的是495，共45项。
（1+500）×500÷2－（11+495）×45÷2=125250-11385=113865
练习5：
求297＋294＋291＋……＋9＋6＋3的和。
分析：
297＋294＋291＋……＋9＋6＋3＝3＋6＋9＋……＋291＋294＋297，对于重新排列的这列数，首项＝3，末项＝297，公差d＝3
项数n＝（297－3）÷3＋1＝98＋1＝99
S=（3＋297）×99÷2=300×99÷2=150×99=14850
四年级数学思维能力拓展专题突破系列（三）等差数列
------等差数列提高
掌握等差数列中项定理
1.熟练掌握等差数列中项定理公式
2.灵活应用等差中项定理进行计算
例题1：
（2005+2006+2007+2008+2009+2010+2011）÷2008
例题2：
把1988表示成28个连续偶数的和，那么其中最大的那个偶数是多少？
例题3：
已知一个等差数列的前15项之和为450，前20项之和为750，问这个数列的公差是多少？
首项是多少？
例题4：
乐乐和哈哈同时开始工作。
乐乐第一个月得到1000元工资。
以后每月多得60元；哈哈第一个月得到500元工资，以后每月多得45元。
两人工作一年后，所得的工资总数相差多少元？
（即使该课程的课后测试）
练习1：
从小到大连续11个偶数的和为594，求第三个偶数是多少？
练习2：
一个等差数列一共有13项，公差为11，若已知这个等差数列的和为3926，求在这个数列中最小的数为多少？
练习3：
从小到大连续12个奇数的和为600，求第三个奇数是多少？
练习4：
小王看一本书，第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，最后一天看了78页正好看完。
这本书共有多少页？
练习5：
建筑工地上堆着一些钢管（如图所示），求这堆钢管一共有多少根？
练习1：
从小到大连续11个偶数的和为594，求第三个偶数是多少？
分析：
（中项定理）594÷11=54得中间数，即第6项为54。
54-2×3=48
答：
第三个偶数是48。
练习2：
一个等差数列一共有13项，公差为11，若已知这个等差数列的和为3926，求在这个数列中最小的数为多少？
分析：
根据中项定理得：
最小的为：
302-（7-1）×11=236
答：
在这个数列中最小的数为236。
练习3：
从小到大连续12个奇数的和为600，求第三个奇数是多少？
分析：
因为是连续的奇数，形成公差为2的等差数列。
中间两项的和为：
600÷12×2=100；第六项：
（100-2）÷2=49；第三项：
49-2×（6-3）=43
答：
第三个奇数是43。
练习4：
小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，最后一天看了78页正好看完。
这本书共有多少页？
分析：
先求共看多少天：
n=（78-20）÷2+1=30（天）
S=（20+78）×30÷2=98×30÷2=1470（页）
答：
这本书共有1470页。
练习5：
建筑工地上堆着一些钢管（如图所示），求这堆钢管一共有多少根？
分析：
根据图可以知道，这是一个以3为首项，以10为末项，以1为公差的等差数列，求钢管一共有多少根，其实就是求3+4+5+…+9+10的和。
项数=（10-3）÷1+1=8
3+4+5+…+9+10=（3+10）×8÷2=13×8÷2=52（根）。
答：
这堆钢管一共有52根。
四年级数学思维能力拓展专题突破系列（三）等差数列
------等差数列综合巩固
掌握等差数列通项公式、求项数公式、求和公式、中项定理
1.熟练掌握根据各类公式进行计算
2.灵活应用等差数列求和公式和中项定理
例题1：
（2008年第六届走美杯四年级初赛第2题）
（1+2+3+…+2007+2008+2007+…+3+2+1）÷2008
例题2：
盒子中放着两个小球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，把它变成4个小球后放回盒子，第二次又从盒子拿出两个球，将每个都变成4个球后放回盒子……第十次从盒子中拿出10个球，将每个都变成4个球后放回盒子。
这时盒子里有多少个小球？
例题3：
已知数列：
2、1、4、3、6、5、8、7、…、问2009是这个数列的第多少项？
例题4：
已知数列：
1、1、2、2、2、2、3、3、3、3、3、3、4、…，试问：
（1）15是这个数列中的第几个到第几个数？
（2）这个数列中第100个数是几？
（即使该课程的课后测试）
练习1：
1+2+3+…+499+500+499+…+3+2+1
练习2：
在一次元旦晚会上，一共有48位同学和5位老师，每一位同学或老师都要和其他人握一次手。
那么一共握了多少次手？
练习3：
有50把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？
练习4：
求下列方阵中所有数的和：
1、2、3、4、……49、50；
2、3、4、5、……50、51；
3、4、5、6、……51、52；
……
49、50、51、52、……97、98；
50、51、52、53、……98、99。
练习5：
用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形，用这样的等边三角形，按下图所示铺满一个大的等边三角形。
如果这个大的等边三角形的底边能放10根火柴棒，那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒？
练习1：
1+2+3+…+499+500+499+…+3+2+1
分析：
根据1+2+3+4+…+n+（n-1）+…+4+3+2+1=n×n
1+2+3+…+499+500+499+…+3+2+1=500×500=250000
练习2：
在一次元旦晚会上，一共有48位同学和5位老师，每一位同学或老师都要和其他人握一次手。
那么一共握了多少次手？
分析：
根据题意，一共有48+5=53（人）参加了这次晚会。
所以，一共握手的次数为：
52+51+50+…+3+2+1=（52+1）×52÷2=1378（次）
答：
一共握了1378次手。
练习3：
有50把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？
分析：
开第一把锁时，如果不凑巧，试了49把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试49次，同理，开第二把锁至多需要48次，开第三把锁至多需试47次，…，等打开第49把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。
根据以上分析，可以把本题转化为求一个等差数列的和，即：
49+48+47+…+2+1=（49+1）×49÷2=1225（次）
答：
至多要试1225次。
练习4：
求下列方阵中所有各数的和：
1、2、3、4、……49、50；
2、3、4、5、……50、51；
3、4、5、6、……51、52；
……
49、50、51、52、……97、98；
50、51、52、53、……98、99。
分析：
这个方阵的每一横行（或竖行）都各是一个等差数列，可先分别求出每一横行（或竖行）数列之和，再求出这个方阵的和。
每一横行数列之和：
第一行：
（1+50）
50
2=1275
第二行：
（2+51）
50
2=1325
第三行：
（3+52）
50
2=1375
……
第四十九行：
（49+98）
50
2=3675
第五十行：
（50+99）
50
2=3725
方阵所有数之和：
1275+1325+1375+……+3675+3725=（1275+3725）
50
2=125000
练习5：
用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形，用这样的等边三角形，按下图所示铺满一个大的等边三角形。
如果这个大的等边三角形的底边能放10根火柴棒，那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒？
分析：
如果把图中最上端的一个三角形看做第一层，与第一层紧相连的3个三角形（2个向上的三角形，一个向下的三角形）看做第二层，那么这个图中一共有10层三角形。
不难看出，这10层三角形每层所需火柴棒根数，自上而下依次为：
3，6，9，…，3×10。
它们成等差数列，且首项为3，公差为3，项数为10。
求火柴的总根数，也就是求这个等差数列各项的和。
即:
3+6+9+…+30=（3+30）×10÷2=33×5=165（根）
答：
这个大的等边三角形中一共要放165根火柴棒。
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