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知识目标

第四章机械能

一、知识目标

内容

要求

说明

1．力的合成和分解力的平行四边形定则

Ⅱ

2．重力形变和弹力胡克定律

Ⅰ

3．静摩擦滑动摩擦摩擦力动摩擦因数

Ⅰ

4．共点力作用下物体的平衡

Ⅰ

5．牛顿运动定律及其应用

Ⅱ

6．加速度与物体质量、物体受力的关系

Ⅱ

二、能力要求

1．理解并掌握恒力做功的表达式；会利用动能定理、图象等求力做的功．

2．理解并掌握功率的计算；会根据功率分析汽车的启动过程．

3．理解物体的动能；会运用动能定理解决做功和动能变化的相关问题．

4．理解物体的重力势能；掌握重力做功和重力势能变化的关系．

5．理解机械能守恒定律的适用条件；会利用机械能守恒定律解决如物体在竖直面做圆周运动等相关问题．

6．会运用功能关系求解相关的能量转化问题．

三、解题示例

例1跳绳是一种健身运动．设某运动员的质量是50kg，他1min跳绳180次．假定在每次跳跃中，脚与地面的接触时间占跳跃一次所需时间的

，则该运动员跳绳时克服重力做功的平均功率是__________W．（取g＝10m/s2）．

分析：

运动员跳绳时每跳一次所需时间为

运动员上升的时间为

运动员离开地面的最大高度

每跳一次运动员克服重力做功为W＝mgh＝25J

克服重力做功的平均功率

．

讨论：

将平均功率的定义理解为“力对物体做的功与所需时间的比值”是不妥的，平均功率的定义应该是“某段时间内力对物体做的功与该段时间的比值”．

例2一质量为m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点，在水平力F作用下，小球从最低点A点缓慢地移到B点时，轻绳与竖直方向的夹角为θ，如图所示．在小球从A点移到B点的过程中，力F对小球做的功为

A．mglcosθB．Flsinθ

C．mgl（1－cosθ）D．Flcosθ

分析：

由于小球的运动过程是缓慢的，因而任一时刻都可看作处于平衡状态，根据力的平衡可知F是变力；同时，在小球运动过程，只有重力mg和F做功，绳子的拉力方向始终与小球速度方向垂直，不做功；第三，物体的动能不变，可以根据动能定理求解．

在小球从A点移到B点的过程中，根据动能定理：

WF－mgl（1－cosθ）＝0

解得WF＝mgl（1－cosθ）

解：

正确答案为C选项．

讨论：

（1）使用动能定理，一定要明确对应的物理过程，同时要明确这个过程中物体的受力情况和各力做功的情况．

（2）若将本题中水平力F改为水平恒力F，小球由静止开始从A移到B，F做功等于多少?

小球的速度怎么变?

例3一根长度为L的轻绳一端固定，另一端拴一质量为m的小球，若在悬点O的正下方钉一小钉，拉起小球至细绳水平位置时，由静止释放小球，如图所示．当绳碰到小钉后，小球刚好能在以钉子C为圆心的竖直面内做圆周运动．若不考虑细绳碰钉子时的能量损失及空气阻力，求小钉的位置C距悬点O的距离．

分析：

解决本题的关键是理解小球刚好能在以钉子C为圆心的竖直面内做圆周运动所需的条件，即刚好能通过最高点D点，此时的向心力最小，绳子的拉力为零，只有重力提供向心力．同时由于小球在整个过程中，只受到重力和绳对它的拉力，因拉力始终与运动方向垂直，所以对小球不做功，因此在整个过程中，只有重力做功，所以机械能守恒．

解：

小球刚好绕C做圆周运动，即刚好能通过最高点D点，此时只有重力提供向心力，设此时的半径为r，根据牛顿定律和向心力公式有：

①

根据机械能守恒定律，取D点为零势能位置，有：

②

由①、②两式解得

．

因此，所求OC间距离为

讨论：

（1）物体做竖直圆运动通常是机械能守恒定律与牛顿第二定律结合解决问题．运用机械能守恒定律应注意各个状态机械能的确定，恰当选好零势能位置．（注意机械能守恒条件下的竖直圆运动不是匀速圆周）

（2）请思考：

①若C点不钉钉子，为使m恰好绕O做圆周运动，细绳水平时，要给小球多大的向下的初速度?

（

）

②原题中，细绳碰到钉子前、后的瞬间，细绳对小球拉力各多大?

（3mg和6mg）

③若OC距离为

，小球绕C做圆周运动的最低点和最高点，绳子对小球的拉力各多大?

相差多少?

（11mg，5mg，6mg）

④若轻绳所能承受的最大拉力为8mg，为保证小球能做圆周运动且绳又不被拉断，小钉的位置需满足什么条件?

（OC间距离满足

L≤OC＜

L）

⑤若钉子不在O点正下方，而是在与竖直方向偏右60°角的直线上，原题所问如何?

（

L）

例4如图所示，质量为M的木板Q静止在光滑水平地面上．另一个质量为m的小木块P以速度v0从木板P的右端滑上木板，P在Q上滑行一段距离后相对于Q静止，而后以共同的速度v一起运动．试分析这个过程中摩擦力做功的情况．

图a

图b

分析：

设相互作用的滑动摩擦力大小为f，在有相对运动的过程中，木块Q和木板P的位移分别为x1和x2．

摩擦力对Q做的功WQ＝fx1

同理，摩擦力对P做的功WP＝－fx2

这两个功的代数和WQ＋WP＝－f（x2－x1）＝－fΔx

表明一对滑动摩擦力做功的代数和为负值，且数值上等于摩擦力大小与二者相对运动的路程的乘积．

另一方面，根据动能定理：

摩擦力对Q做的功等于Q的动能增量，即

摩擦力对P做的功等于P的动能增量，即

这两个功的代数和也可以表示为

这部分恰好是系统损失的机械能．

讨论：

这里WQ的数值等于由P向Q转移的动能，|WQ＋WP｜的值则表示这两个物体组成的系统的机械能向内能的转化量，即所生成的热．

例5如图质量为m1的物体A经轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态．一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮一端连物体A，另一端连一轻挂钩．开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向．现在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升．若将C换成另一个质量为（m1＋m3）的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离开地时D的速度的大小是多少?

已知重力加速度为g．

分析：

本题叙述了三个情景，一是A、B都处于静止状态的情景；二是在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放，恰好能使B离开地面但不继续上升的情景；三是将C换成另一个质量为（m1＋m3）的物体D，仍从初始位置由静止状态释放的情景．

解：

以A为研究对象，A物体受重力和弹簧的弹力F1，处于平衡，设弹簧压缩量为x1，根据物体平衡条件得

kx1＝m1g

恰好能使B离开地面（A不继续上升）的状态是B受到地面的支持力等于零．以B为研究对象，B物体受重力、弹簧的弹力F（地面的支持力FN＝0），处于平衡，此时弹簧处于伸长状态，伸长量设为x2，弹力方向向上，有kx2＝m2g

在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放，直到恰好能使B离开地面但A不继续上升的过程．

A物体上升x1＋x2，重力势能增加m1g（x1＋x2），动能增量为0；

C下降x1＋x2，重力势能减小m3g（x1＋x2），动能增量为0；

弹簧的长度发生变化，弹性势能的增量设为ΔE；

以物体A、C和弹簧组成的系统为研究对象，由于这个过程中，只有重力和弹簧的弹力做功，系统的机械能守恒，即

ΔE＝m3g（x1＋x2）－m1g（x1＋x2）①

将C换成另一个质量为（m1＋m3）的物体D，仍从初始位置由静止状态释放直到B刚好离开地面的过程中，系统的机械能守恒．

A物体上升x1＋x2，重力势能增加m1g（x1＋x2），动能增量为

；

D物体下降x1＋x2，重力势能减小（m1＋m3）g（x1＋x2），动能增量为

．

弹簧的长度发生变化，弹性势能的增量为ΔE′．由于第二个情景和第三个情景中弹簧的长度变化相同，所以两个情景中弹簧弹性势能的增量相同，即ΔE′＝ΔE．

同样，若以物体A、D和弹簧组成的系统为研究对象，由于这个情景中，只有重力和弹簧弹力做功，所以系统的机械能守恒，即

②

将①式代入②式，得

讨论：

（1）选择什么规律来解决问题是由问题所给出的具体的物理状态或物理过程所决定的．本题中，先由牛顿第二定律出发，分析物体做什么性质的运动，由于加速度是变化的，受数学工具的限制，不能确定物体的速度是变化的，所以要进一步从机械能的角度分析系统各状态下的机械能变化的情况．由于题目所给的物理过程满足机械能守恒，所以选择机械能守恒定律来求解问题．

（2）要认真分析题目所给的比较隐蔽的条件，如题中的“恰好能使B离开地面但不继续上升”．

（3）本题的难点还在于对于弹性势能的概念的理解．弹簧形变时弹力做功，弹性势能发生变化，弹性势能的大小跟弹簧的劲度系数k和所处状态弹簧的伸长量（或压缩量）有关．

例6风能将成为21世纪大规模开发的一种可再生清洁能源，风力发电机是将风能（气流的动能）转化为电能的装置．其主要部件包括风轮机、齿轮箱、发电机等，如图所示．我国甘肃省的安西地区，风力资源极其丰富，素有世界第二风库之称，而当地的经济又相当落后，因此充分利用风力资源，开展风力发电，是改变当地经济落后面貌的可行之路．当地几乎全年有风，平均风速为v＝10m/s．风力发电机共有三个相同的叶片，每个叶片近似为图所示的梯形，空气体密度ρ＝1.29kg/m3，风能利用系数约0.25，每天发电20h，每户平均每天用电2.0kWh，那么一个拥有90户的自然村，需安装几台这样的风力发电机?

分析：

风力发电机是利用风力推动其叶片旋转，从而带动发电机发电．发电的过程是连续撞击叶片的空气（即风）的一部分动能转变为叶片旋转的动能，再通过发电机转变成电能．

解：

设叶片总面积为S，

设风速垂直于叶片，单位时间与面积为S的叶片撞击的空气质量为：

m＝ρSv

质量为m的空气所具有的动能为：

所以发电机的电功率为：

每天发电：

E＝Pt＝2.03×20kWh＝40.6kWh

需安装这样的发电机

（台）．

因此需安装这样的风力发电机5台．

讨论：

这个题重点考察了联系实际、分析物理过程和建立物理模型的能力．风力发电需要对空气的流体建模，找出单位时间，流向风能机的最大风能，这个就是考查学生建模能力和利用数学解决问题的能力．

四、综合训练

1．一物体放在水平面上，它的俯视图如图所示．两个相互垂直的力F1和F2同时作用在物体上，使物体沿图中v0的方向运动．经过一段位移的过程中，力F1和F2对物体所做的功分别为3J和4J，则两个力的合力对物体所做的功为（）

A．3JB．4JC．5JD．7J

2．如图，质量为m的物体置于光滑水平面上．用与水平方向成θ＝60°的恒定拉力F拉着物体沿水平方向运动，使物体由静止开始运动了时间t．如果要使拉力做的功变为原来的2倍，则在其他条件不变的情况下，可以将（）

A．拉力大小改为2FB．拉力改为水平方向

C．运动时间改为2tD．物体的质量改为

3．水平恒力F作用于质量为M的物体，使之在光滑的水平面上沿力的方向移动距离s，恒力做功为W1，再用该恒力作用于质量为m（m＜M）的物体上，使之在粗糙的水平面上移动同样距离s，恒力做功为W2，则两次恒力做功的关系是（）

A．W1＞W2B．W1＜W2C．W1＝W2D．无法判断

4．如图，木板可绕固定的水平轴O转动．木板从水平位置OA缓慢转到OB位置，木板上的物块始终相对于木板静止．在这一过程中，物块的重力势能增加了2J．用N表示物块受到的支持力，用f表示物块受到的静摩擦力．在这一过程中，以下判断正确的是（）

A．N和f对物块都不做功

B．N对物块做功2J，f对物块不做功

C．N对物块不做功，f对物块做功2J

D．N和f对物块所做功的代数和为0

5．质量为m的小球从高h处由静止开始自由下落，以地面作为零势能面．当小球的动能和重