重庆市南开中学届高三月考数学理试题解析版.docx
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重庆市南开中学届高三月考数学理试题解析版
重庆市南开中学2019届高三12月月考数学（理）试题（解析版）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.集合，集合，则
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】解：
，或；
；
．
故选：
A．
可解出集合A，然后进行补集、交集的运算即可．
考查描述法、区间的定义，以及交集、补集的运算，绝对值不等式的解法．
2.抛物线的准线方程是
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】解：
因为抛物线的标准方程为：
，焦点在y轴上；
所以：
，即，
所以：
，
准线方程，
故选：
D．
先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及，再直接代入即可求出其准线方程．
本题主要考查抛物线的基本性质解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．
3.已知i为虚数单位，，若为纯虑数，则
A.B.C.D.1
【答案】D
【解析】解：
为纯虑数，
，即．
故选：
D．
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
4.函数的值域是
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】解：
时，，
函数，
由时，，
当时，取得最小值为，
时，取得最大值为，
的值域是．
故选：
B．
根据时，化函数为的二次函数，
求出的最小和最大值，即可写出它的值域．
本题考查了三角函数的化简与求值问题，也考查了二次函数的最值问题，是基础题．
5.“”是“直线的倾斜角”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】解：
当直线的倾斜角”
当时，直线方程为，此时直线的倾斜角为，满足条件，
当时，直线方程为，
则直线斜率，
当时，，即，得，
当时，，即，得，
综上，
即“”是“直线的倾斜角”的充要条件，
故选：
C．
根据直线斜率和倾斜角之间的关系求出m的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线斜率和倾斜角之间的关系求出m的范围是解决本题的关键．
6.实数x，y满足约束条件，则的最小值为
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】解：
由约束条件作出可行域如图，
联立，解得，
化目标函数为，
由图可得，当直线过点A时，直线在y轴上的截距最大，
z有最小值为．
故选：
B．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
7.有苹果、香蕉、草莓、桔子四种互不相同水果，且每种水果各一个，甲、乙、丙、丁四个人每人领了一个，甲说：
我领到了苹果”，乙说：
“我领到了桔子”，丙说：
“丁没有领到桔子”，丁说：
“甲没有领到苹果”如果只有一个人说的是真话，则一定可以推出的是
A.乙领到的是香蕉B.丁领到的是草莓
C.甲领到的不是桔子D.丙领到的不是苹果
【答案】C
【解析】解：
由甲说：
我领到了苹果”，丁说：
“甲没有领到苹果”又只有一个人说的是真话，则甲、丁必有一人说的是真话，一人说的是假话，
当甲说的是真话，即乙说：
“我领到了桔子”，丙说：
“丁没有领到桔子”，丁说：
“甲没有领到苹果”都说的是假话，
则甲领到是苹果，乙领到的是草莓，丙领到的是香蕉，丁领到的是桔子．
当丁说的是真话，即甲说：
我领到了苹果”，乙说：
“我领到了桔子”，丙说：
“丁没有领到桔子”都说的是假话，
则丁领到的是一定是桔子．
综合得：
甲领到的不是桔子，
故选：
C．
先阅读题意，再根据题意逐一进行简单的合情推理即可得解．
本题考查了进行简单的合情推理，属简单题．
8.平面向量，其中，若，则的最小值为
A.2B.C.3D.
【答案】C
【解析】解：
由，
得，
得，
，
故选：
C．
由，计算可得mn的值，进而可借助不等式得到的最小值．
此题考查了向量的模，不等式等，难度不大．
9.已知数列的前n项和为，若，，则
A.129B.511C.1023D.2018
【答案】B
【解析】解：
，，
可得，，
与，相减可得
，
即，
且，
则，
上式对也成立，
即有，
则．
故选：
B．
由数列的递推式：
，，结合等比数列的通项公式可得，即有，进而得到所求和．
本题考查数列的递推式的运用，以及等比数列的通项公式，考查数列的求和，运算能力和推理能力，属于基础题．
10.在中，，BC边上的中线AD长为，则的面积S的最大值为
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】解：
中，，BC边上的中线AD长为，，设，，
平方可得，
化简可得，，，
故的面积，
故选：
B．
由题意利用平面向量的加减法几何意义，可得，两边平方再利用两个向量的数量积的定义，余弦定理、基本不等式，求得bc的最大值，可得的面积S的最大值．
本题主要考查平面向量的加减法几何意义，两个向量的数量积的定义，余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．
11.已知F为抛物线C：
的焦点，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，点M在x轴上，且满足若，则的面积为
A.B.C.9D.
【答案】A
【解析】解：
由已知得，设直线l的方程为，并与联立得，
设，，AB中点，
则，，，
，
又，
解得，
由，得EM为线段AB的垂直平分线，
其方程为，令，得，
从而，
的面积为，
故选：
A．
由已知得，设直线l的方程为，并与联立得，设，，AB的中点，利用中点坐标公式、弦长公式、可得m，再利用垂直平分线的性质及三角形面积公式即可得出．
本题考查了直线与抛物线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、垂直平分线的性质、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12.已知关于x的方程有3个不同的实数解，则m的取值范围为
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
解：
设，则，
当时，显然无解，
当时，关于x的方程有3个不同的实数解等价于有3个不同的实数解，
由图可知：
在上有两个不等实根，
设，，
，
令，
解得：
，
即在为减函数，在为增函数，
又，
由题意有在上有两个不等实根，
等价于，
解得：
，
故选：
D．
由数形结合的数学思想方法得：
设，则，当时，显然无解，当时，关于x的方程有3个不同的实数解等价于有3个不同的实数解，再利用导数研究函数，，的单调性及最值，由在上有两个不等实根，等价于，解得即可．
本题考查了数形结合的数学思想方法、利用导数研究函数的单调性及最值，属难度较大的题型．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.等差数列的前n项和为，若，且，则______．
【答案】
【解析】解：
根据题意，设等差数列的公差为d，
若，且，则有，，
解得，，
则；
故答案为：
．
设等差数列的公差为d，结合题意分析可得，，解可得和d，代入通项公式可得答案
本题考查等差数列的前n项和公式以及通项公式的应用，关键是求出其公差．
14.若点是双曲线C：
与圆O：
的公共点，且圆O在点P处的切线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线C的离心率为______．
【答案】
【解析】解：
，圆O在P处的切线方程为，即，
双曲线的渐近线方程为，
，，
解得，，，
双曲线的离心率．
故答案为：
．
求出OP的斜率和切线的斜率，可得切线方程，以及双曲线的渐近线方程，由题意可得a，b的方程组，解方程可得a，b的值，再由离心率公式可得所求值．
本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查直线和圆相切的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
15.已知定义在R上的函数满足：
，为偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】解：
根据题意，函数为偶函数，则函数的图象关于直线对称，
若在上单调递增，且，
则，即，
解可得：
，
即不等式的解集为；
故答案为：
．
根据题意，分析可得函数的图象关于直线对称，结合函数的单调性分析可得，即，解可得x的取值范围，即可得答案．
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
16.如图，，为椭圆C：
的左、右焦点，直线l过且交椭圆C于A，B，过A，B分别作椭圆C的切线交于点P，若，则______．
【答案】
【解析】解：
如图，设，切线AP的斜率为k，所在直线斜率为，所在直线斜率为．
利用导数可得．
由两直线夹角公式，
得：
同理可得
切线AP平分，同理可得切线BP平分的外角．
．
，
故答案为：
利用切线AP平分点A处的外角，可得即可求解．
本题考查了椭圆切线的性质，属于难题．
三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）
17.已知数列为正项等比数列，满足且．
求数列的通项公式；
数列满足，求证：
对，．
【答案】解：
数列为正项等比数列，公比设为q，，
且，可得，
解得舍去，
即有；
证明：
，
，
即有
．
【解析】设等比数列的公比为q，，运用等比数列的通项公式可得q的方程，解得q，即可得到所求通项公式；
求得，，运用数列的裂项相消求和，即可得到所求结论．
本题考查等比数列的通项公式和运用，考查数列的裂项相消求和，以及方程思想和运算能力，属于中档题．
18.已知圆C的圆心坐标为，且圆上动点P到直线l：
的最大距离为3．
求圆C的标准方程；
与l垂直的直线与圆C相交于M，N两点，且，求MN所在直线的方程．
【答案】解：
设圆的方程为，
由题意，圆上动点P到直线l：
的最大距离为，
解得．
故而圆C的标准方程为；
设与l垂直的直线MN的方程为．
由，得．
即，得．
则圆心到直线MN的距离．
解得或．
故而直线MN的方程为或．
【解析】设出圆的方程，由已知列式求得r，则圆的标准方程可求；
设与l垂直的直线MN的方程为，由已知数量积求得，再由圆心到直线的距离列式求得m，则答案可求．
本题考查直线与圆的位置关系，考查数量积求夹角公式的应用，是基础题．
19.已知函数其中的最小周期为．
求的值及的单调递增区间；
将函数的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变得到函数的图象，若关于x的方程在区间上有且只有一个解，求实数m的取值范围．
【答案】解：
函数
，它的其中的最小周期为，，
故
令，求得，可得函数的增区间为，．
将函数的图象向右平移个单位，可得的图象，
再将图象上各点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变得到函数的图象，
若关于x的方程在区间上有且只有一个解，
即区间上有且只有一个解，
即的图象和直线只有1个交点．
在区间上，，．
结合的图象可得或，求得，或，
求实数m的取值范围为，或．
【解析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性和单调性，得出结论．
利用函数的图象变换规律，求得的解析式，由题意可得的图象和直线只有1个交点，再结合余弦函数的图象，求得m的取值范围．
本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性和单调性，函数的图象变换规律，余弦函数的图象，属于中档题．
20.已知椭圆C：
上一点与椭圆C的右焦点连线垂直于x轴，直l：
与椭圆C相交于A，B两点均不在坐标轴上．
求椭圆C的标准方程；
设P为椭圆的下顶点，若直线PA，PB的斜率之和为2，且点P到直线l的距离为1，
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