重庆市南开中学届高三月考数学理试题解析版.docx
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重庆市南开中学届高三月考数学理试题解析版
重庆市南开中学2019届高三12月月考数学(理)试题(解析版)
一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)
1.集合,集合,则
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】解:
,或;
;
.
故选:
A.
可解出集合A,然后进行补集、交集的运算即可.
考查描述法、区间的定义,以及交集、补集的运算,绝对值不等式的解法.
2.抛物线的准线方程是
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】解:
因为抛物线的标准方程为:
,焦点在y轴上;
所以:
,即,
所以:
,
准线方程,
故选:
D.
先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及,再直接代入即可求出其准线方程.
本题主要考查抛物线的基本性质解决抛物线的题目时,一定要先判断焦点所在位置.
3.已知i为虚数单位,,若为纯虑数,则
A.B.C.D.1
【答案】D
【解析】解:
为纯虑数,
,即.
故选:
D.
利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为0且虚部不为0求解.
本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.
4.函数的值域是
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】解:
时,,
函数,
由时,,
当时,取得最小值为,
时,取得最大值为,
的值域是.
故选:
B.
根据时,化函数为的二次函数,
求出的最小和最大值,即可写出它的值域.
本题考查了三角函数的化简与求值问题,也考查了二次函数的最值问题,是基础题.
5.“”是“直线的倾斜角”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】解:
当直线的倾斜角”
当时,直线方程为,此时直线的倾斜角为,满足条件,
当时,直线方程为,
则直线斜率,
当时,,即,得,
当时,,即,得,
综上,
即“”是“直线的倾斜角”的充要条件,
故选:
C.
根据直线斜率和倾斜角之间的关系求出m的等价条件,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合直线斜率和倾斜角之间的关系求出m的范围是解决本题的关键.
6.实数x,y满足约束条件,则的最小值为
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】解:
由约束条件作出可行域如图,
联立,解得,
化目标函数为,
由图可得,当直线过点A时,直线在y轴上的截距最大,
z有最小值为.
故选:
B.
由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.
本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,是中档题.
7.有苹果、香蕉、草莓、桔子四种互不相同水果,且每种水果各一个,甲、乙、丙、丁四个人每人领了一个,甲说:
我领到了苹果”,乙说:
“我领到了桔子”,丙说:
“丁没有领到桔子”,丁说:
“甲没有领到苹果”如果只有一个人说的是真话,则一定可以推出的是
A.乙领到的是香蕉B.丁领到的是草莓
C.甲领到的不是桔子D.丙领到的不是苹果
【答案】C
【解析】解:
由甲说:
我领到了苹果”,丁说:
“甲没有领到苹果”又只有一个人说的是真话,则甲、丁必有一人说的是真话,一人说的是假话,
当甲说的是真话,即乙说:
“我领到了桔子”,丙说:
“丁没有领到桔子”,丁说:
“甲没有领到苹果”都说的是假话,
则甲领到是苹果,乙领到的是草莓,丙领到的是香蕉,丁领到的是桔子.
当丁说的是真话,即甲说:
我领到了苹果”,乙说:
“我领到了桔子”,丙说:
“丁没有领到桔子”都说的是假话,
则丁领到的是一定是桔子.
综合得:
甲领到的不是桔子,
故选:
C.
先阅读题意,再根据题意逐一进行简单的合情推理即可得解.
本题考查了进行简单的合情推理,属简单题.
8.平面向量,其中,若,则的最小值为
A.2B.C.3D.
【答案】C
【解析】解:
由,
得,
得,
,
故选:
C.
由,计算可得mn的值,进而可借助不等式得到的最小值.
此题考查了向量的模,不等式等,难度不大.
9.已知数列的前n项和为,若,,则
A.129B.511C.1023D.2018
【答案】B
【解析】解:
,,
可得,,
与,相减可得
,
即,
且,
则,
上式对也成立,
即有,
则.
故选:
B.
由数列的递推式:
,,结合等比数列的通项公式可得,即有,进而得到所求和.
本题考查数列的递推式的运用,以及等比数列的通项公式,考查数列的求和,运算能力和推理能力,属于基础题.
10.在中,,BC边上的中线AD长为,则的面积S的最大值为
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】解:
中,,BC边上的中线AD长为,,设,,
平方可得,
化简可得,,,
故的面积,
故选:
B.
由题意利用平面向量的加减法几何意义,可得,两边平方再利用两个向量的数量积的定义,余弦定理、基本不等式,求得bc的最大值,可得的面积S的最大值.
本题主要考查平面向量的加减法几何意义,两个向量的数量积的定义,余弦定理、基本不等式的应用,属于中档题.
11.已知F为抛物线C:
的焦点,过点F的直线l与抛物线C相交于A,B两点,点M在x轴上,且满足若,则的面积为
A.B.C.9D.
【答案】A
【解析】解:
由已知得,设直线l的方程为,并与联立得,
设,,AB中点,
则,,,
,
又,
解得,
由,得EM为线段AB的垂直平分线,
其方程为,令,得,
从而,
的面积为,
故选:
A.
由已知得,设直线l的方程为,并与联立得,设,,AB的中点,利用中点坐标公式、弦长公式、可得m,再利用垂直平分线的性质及三角形面积公式即可得出.
本题考查了直线与抛物线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、垂直平分线的性质、中点坐标公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
12.已知关于x的方程有3个不同的实数解,则m的取值范围为
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
解:
设,则,
当时,显然无解,
当时,关于x的方程有3个不同的实数解等价于有3个不同的实数解,
由图可知:
在上有两个不等实根,
设,,
,
令,
解得:
,
即在为减函数,在为增函数,
又,
由题意有在上有两个不等实根,
等价于,
解得:
,
故选:
D.
由数形结合的数学思想方法得:
设,则,当时,显然无解,当时,关于x的方程有3个不同的实数解等价于有3个不同的实数解,再利用导数研究函数,,的单调性及最值,由在上有两个不等实根,等价于,解得即可.
本题考查了数形结合的数学思想方法、利用导数研究函数的单调性及最值,属难度较大的题型.
二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
13.等差数列的前n项和为,若,且,则______.
【答案】
【解析】解:
根据题意,设等差数列的公差为d,
若,且,则有,,
解得,,
则;
故答案为:
.
设等差数列的公差为d,结合题意分析可得,,解可得和d,代入通项公式可得答案
本题考查等差数列的前n项和公式以及通项公式的应用,关键是求出其公差.
14.若点是双曲线C:
与圆O:
的公共点,且圆O在点P处的切线与双曲线的一条渐近线平行,则双曲线C的离心率为______.
【答案】
【解析】解:
,圆O在P处的切线方程为,即,
双曲线的渐近线方程为,
,,
解得,,,
双曲线的离心率.
故答案为:
.
求出OP的斜率和切线的斜率,可得切线方程,以及双曲线的渐近线方程,由题意可得a,b的方程组,解方程可得a,b的值,再由离心率公式可得所求值.
本题考查双曲线的方程和性质,主要是渐近线方程和离心率的求法,考查直线和圆相切的位置关系,考查方程思想和运算能力,属于中档题.
15.已知定义在R上的函数满足:
,为偶函数,且在上单调递增,则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】解:
根据题意,函数为偶函数,则函数的图象关于直线对称,
若在上单调递增,且,
则,即,
解可得:
,
即不等式的解集为;
故答案为:
.
根据题意,分析可得函数的图象关于直线对称,结合函数的单调性分析可得,即,解可得x的取值范围,即可得答案.
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,涉及不等式的解法,属于基础题.
16.如图,,为椭圆C:
的左、右焦点,直线l过且交椭圆C于A,B,过A,B分别作椭圆C的切线交于点P,若,则______.
【答案】
【解析】解:
如图,设,切线AP的斜率为k,所在直线斜率为,所在直线斜率为.
利用导数可得.
由两直线夹角公式,
得:
同理可得
切线AP平分,同理可得切线BP平分的外角.
.
,
故答案为:
利用切线AP平分点A处的外角,可得即可求解.
本题考查了椭圆切线的性质,属于难题.
三、解答题(本大题共7小题,共70.0分)
17.已知数列为正项等比数列,满足且.
求数列的通项公式;
数列满足,求证:
对,.
【答案】解:
数列为正项等比数列,公比设为q,,
且,可得,
解得舍去,
即有;
证明:
,
,
即有
.
【解析】设等比数列的公比为q,,运用等比数列的通项公式可得q的方程,解得q,即可得到所求通项公式;
求得,,运用数列的裂项相消求和,即可得到所求结论.
本题考查等比数列的通项公式和运用,考查数列的裂项相消求和,以及方程思想和运算能力,属于中档题.
18.已知圆C的圆心坐标为,且圆上动点P到直线l:
的最大距离为3.
求圆C的标准方程;
与l垂直的直线与圆C相交于M,N两点,且,求MN所在直线的方程.
【答案】解:
设圆的方程为,
由题意,圆上动点P到直线l:
的最大距离为,
解得.
故而圆C的标准方程为;
设与l垂直的直线MN的方程为.
由,得.
即,得.
则圆心到直线MN的距离.
解得或.
故而直线MN的方程为或.
【解析】设出圆的方程,由已知列式求得r,则圆的标准方程可求;
设与l垂直的直线MN的方程为,由已知数量积求得,再由圆心到直线的距离列式求得m,则答案可求.
本题考查直线与圆的位置关系,考查数量积求夹角公式的应用,是基础题.
19.已知函数其中的最小周期为.
求的值及的单调递增区间;
将函数的图象向右平移个单位,再将图象上各点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变得到函数的图象,若关于x的方程在区间上有且只有一个解,求实数m的取值范围.
【答案】解:
函数
,它的其中的最小周期为,,
故
令,求得,可得函数的增区间为,.
将函数的图象向右平移个单位,可得的图象,
再将图象上各点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变得到函数的图象,
若关于x的方程在区间上有且只有一个解,
即区间上有且只有一个解,
即的图象和直线只有1个交点.
在区间上,,.
结合的图象可得或,求得,或,
求实数m的取值范围为,或.
【解析】利用三角恒等变换化简函数的解析式,再利用余弦函数的周期性和单调性,得出结论.
利用函数的图象变换规律,求得的解析式,由题意可得的图象和直线只有1个交点,再结合余弦函数的图象,求得m的取值范围.
本题主要考查三角恒等变换,余弦函数的周期性和单调性,函数的图象变换规律,余弦函数的图象,属于中档题.
20.已知椭圆C:
上一点与椭圆C的右焦点连线垂直于x轴,直l:
与椭圆C相交于A,B两点均不在坐标轴上.
求椭圆C的标准方程;
设P为椭圆的下顶点,若直线PA,PB的斜率之和为2,且点P到直线l的距离为1,