知识点060平方差公式的几何背景解答.docx

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知识点060平方差公式的几何背景解答

知识点060平方差公式的几何背景（解答）

1.乘法公式的探究及应用

（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是a2-b2（写成两数平方差的形式）；

（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是a-b，长是a+b，面积是（a+b）（a-b）（写成多项式乘法的形式）；（3）比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到公式（a+b）（a-b）=a2-b2；

（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：

①10.2×9.8，②（2m+n-p）（2m-n+p）．

考点：

平方差公式的几何背景．专题：

计算题．

分析：

（1）利用正方形的面积公式就可求出；

（2）仔细观察图形就会知道长，宽由面积公式就可求出面积；

（3）建立等式就可得出；

（4）利用平方差公式就可方便简单的计算．

解答：

解：

（1）利用正方形的面积公式可知：

阴影部分的面积=a2-b2；

（2）a-b，a+b，（a+b）（a-b）；

（3）（a+b）（a-b）=a2-b2（等式两边交换位置也可）；

（4）①解：

原式=（10+0.2）×（10-0.2），

=102-0.22，

=100-0.04，

=99.96；

②解：

原式=[2m+（n-p）]•[2m-（n-p）]，

=（2m）2-（n-p）2，

=4m2-n2+2np-p2．

点评：

此题主要考查了平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．对于有图形的题同学们注意利用数形结合求解更形象直观．

2.如图是边长为a+2b的正方形

（1）边长为a的正方形有1个

（2）边长为b的正方形有4个

（3）两边分别为a和b的矩形有4个

（4）用不同的形式表示边长为a+2b的正方形面积，并进行比较写出你的结论．

考点：

平方差公式的几何背景；列代数式；完全平方式．分析：

（1）

（2）（3）根据图直接可以看出，（4）根据正方形的面积公式=边长×边长=（a+2b）（a+2b）=（a+2b）2，然后利用平方差公式把它展开又是另一种表现形式．解答：

解：

（1）由图可知边长为a的正方形只有一个；

（2）由图可知边长为b的正方形有4个；

（3）由图可知两边长分别为a和b的矩形有4个；

（4）∵S边长为a+2b的正方形=（a+2b）2

S边长为a+2b的正方形=a2+4b2+4ab；

∴结论是（a+2b）2=a2+4b2+4ab．

点评：

本题主要考查了同学们的观察能力以及运用面积公式求正方形的面积．

3.如图1所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．

（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：

a2-b2、（a+b）（a-b）；

（2）请问以上结果可以验证哪个乘法公式？

平方差公式；

（3）试利用这个公式计算：

20092-2010×2008．

考点：

平方差公式的几何背景．

分析：

本题通过

（1）中的面积=a2-b2，

（2）中矩形的面积=（a+b）（a-b），并且两图形阴影面积相等，据此即可得出平方差公式，即a2-b2=（a+b）（a-b）．

解答：

解：

（1）a2-b2（1分）；（a+b）（a-b）．（1分）

（2）平方差公式．（2分）

（3）20092-2010×2008，

=20092-（2009+1）（2009-1），

=20092-20092+1，

=1．（4分）

点评：

本题主要考查了利用面积公式证明平方差公式，熟记公式结构是利用平方差公式解决实际问题．

4.乘法公式的探究及应用：

（1）如图1所示，可以求出阴影部分的面积是a2-b2（写成两数平方差的形式）．

（2）若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的矩形，此矩形的面积是

（a+b）（a-b）（写成多项式乘法的形式）．（3）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式a2-b2=（a+b）（a-b）．

（4）应用所得的公式计算：

（1-1/22）（1-1/32）（1-1/42）…（1-1/992）（1-1/1002）．

考点：

平方差公式的几何背景．专题：

探究型．

分析：

（1）利用面积公式：

大正方形的面积-小正方形的面积=阴影面积；

（2）利用矩形公式即可求解；

（3）利用面积相等列出等式即可；

（4）利用平方差公式简便计算．解答：

解：

（1）a2-b2；

（2）（a+b）（a-b）；（3）a2-b2=（a+b）（a-b）；

（4）原式=（1-1/2）（1+1/2）（1-1/3）（1+1/3）…（1-1/99）（1+1/99）（1-1/100）（1+1/100），

=1/2×3/2×2/3×4/3×…×98/99×100/99×99/100×101/100，

=101/200．点评：

本题综合考查了证明平方差公式和使用平方差公式的能力．

5.如图：

大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，利用此图证明平方差公式．

考点：

平方差公式的几何背景．专题：

证明题．

分析：

由大正方形的面积-小正方形的面积=四个等腰梯形的面积，进而证得平方差公式．

解答：

解：

根据题意大正方形的面积-小正方形的面积=a2-b2，

四个等腰梯形的面积=1/2（a+b）（1/2a-1/2b）×4=（a+b）（a-b），

故a2-b2=（a+b）（a-b）．

点评：

本题主要考查平方差公式的几何背景，不是很难．

6.

（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是a2-b2（写成两数平方差的形式）；

（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是a-b，长是a+b，面积是（a-b）（a+b）（写成多项式乘法的形式）；

（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2（用式子表达）．

考点：

平方差公式的几何背景．分析：

（1）中的面积=大正方形的面积-小正方形的面积=a2-b2；

（2）中的长方形，宽为a-b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a-b）；

（3）中的答案可以由

（1）、

（2）得到，（a+b）（a-b）=a2-b2．

解答：

解：

（1）阴影部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积=a2-b2；

（2）长方形的宽为a-b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a-b）；

（3）由

（1）、

（2）得到，（a+b）（a-b）=a2-b2．

点评：

本题考查了平方差公式的几何表示，利用不同的方法表示图形的面积是解题的关键．

7.会说话的图形．如下图，把正方形的方块，按不同的方式划分，计算其面积，便可得到不同的数学公式．按图1所示划分，计算面积，便得到一个公式：

（x+y）2=x2+2xy+y2．

若按图2那样划分，大正方形则被划分成一个小正方形和两个梯形，通过计算图中的面积，请你完成下面的填空．

（1）图2中大正方形的面积为x2；

（2）图2中两个梯形的面积为1/2（x+y）（x-y）；

（3）根据

（1）和

（2），你得到的一个数学公式为x2-y2=（x+y）（x-y）．

考点：

平方差公式的几何背景；完全平方公式的几何背景．专题：

图表型．分析：

本题的关键是仔细观察图形从图形中找到规律，按正方形，梯形的面积公式进行计算即可．解答：

解：

（1）图中大正方形的面积为x2；

（2）两个梯形的面积分别为1/2（x+y）（x-y）；

（3）则有x2-y2=2×1/2（x+y）（x-y）；

即x2-y2=（x+y）（x-y）．

故答案为：

x2；1/2（x+y）（x-y）；x2-y2=（x+y）（x-y）．

点评：

本题考查了平方差公式的几何表示，通过数形结合，推导并验证了平方差公式．

8.请大家阅读下面两段材料，并解答问题：

材料1：

我们知道在数轴上表示4和1的两点之间的距离为3，（如图）而|4-1|=3，所以在数轴上表示4和1的两点之间的距离为|4-1|．

再如在数轴上表示4和-2的两点之间的距离为6，（如图）

而|4-（-2）|=6，所以数轴上表示数4和-2的两点之间的距离为|4-（-2）|．

根据上述规律，我们可以得出结论：

在数轴上表示数a和数b两点之间的距离等于|a-b|（如图）

材料2：

如下左图所示大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积可表示为：

a2-b2．

将上图中的左图重新拼接成右图，则阴影部分的面积可表示为（a+b）（a-b），由此可以得到等式：

a2-b2=（a+b）（a-b），

阅读后思考：

（1）试一试，求在数轴上表示的数5

与-4

的两点之间的距离为9

；

（2）请用材料2公式计算：

（49

）2-（49

）2=77；

（3）上述两段材料中，主要体现了数学中数形结合的数学思想．

考点：

平方差公式的几何背景；数轴．专题：

阅读型；数形结合．分析：

（1）首先理解材料1的题意，利用它的公式即可求结果；

（2）利用平方差公式把题目展开成平方差公式的形式，然后根据有理数的加法法则计算，并且这样计算比较简便；

（3）此题把图形和数的计算结合起来，所以容易知道利用的数学思想．

解答：

解：

（1）数5

与-4

的两点之间的距离为|5

+4

|=9

；

（2）（49

）2-（49

）2=（49

+49

）（49

-49

）=77；

（3）数形相结合．

故答案为：

9

，77，数形结合．

点评：

本题考查了平方差公式的几何表示，关键是理解题意，才能根据题目的公式进行计算，此题还考查了数形结合的思想．

9.如图1所示大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积可表示为：

a2-b2，将图1中的图形重新拼接成图2，则阴影部分的面积可表示为（a-b）（a+b），这样可以得到等式：

a2-b2=（a-b）（a+b）．

请用此公式计算：

（999

）2-（999

）2

考点：

平方差公式的几何背景．

分析：

图1阴影部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积，图2阴影部分的面积根据矩形面积公式即可得出，根据阴影部分的面积相等可得等式．计算题直接利用公式即可．

解答：

解：

a2-b2，（a-b）（a+b），a2-b2=（a-b）（a+b）；

（999

）2-（999

）2

=（999

+999

）（999

-999

），

=1000×999

，

=

．

点评：

本题利用组合图形考查平方差公式，计算题较为简单，直接利用公式即可．做题时认真观察图形，找到各部分的面积及两面积相等是解决本题的关键．

10.如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（　　），把剩下部分拼成一个梯形，通过计算这两个图形阴影部分的面积，可验证公式为？

考点：

平方差公式的几何背景．

分析：

要求可验证的公式，可分别求出两个图形的面积，令其相等，即可得出所验证的公式．

解答：

解：

在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，

剩余面积为a•a-b•b=a2-b2

图中梯形的上底为2b，下底为2a，高为a-b，

∴梯形的面积为1/2（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b），

∴可验证的公式为a2-b2=（a+b）（a-b）．

点评：

本题考查了平方差公式的几何意义，用不同的方法求阴影部分的面积是解题的关键，考法较新颖．

11.如图，小刚家有一块“L”形的菜地，要把这块菜地按图示那样分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是xm，下底都是ym，高都是（y-x）m，请你帮小刚家算一算菜地的面积是y2-x2平方米．当x=20m，y=30m时，面积是500平方米．

考点：

平方差公式的几何背景．

分析：

本题结合图形，根据梯形的面积公式=1/2（上底+下底）×高，列出菜地的面积，再运用平方差公式计算．

解答：

解：

由题意得菜地的面积为2×1/2（x+y）（y-x）=y2-x2．

当x=20，y=30时，

y2-x2=30