中考数学专题9三角形试题分类解析汇编doc.docx
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中考数学专题9三角形试题分类解析汇编doc
2019-2020年中考数学专题9三角形精品试题分类解析汇编
一、选择题
1.（湖北黄石3分）将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3c的纸带边沿上，另一个顶点在
纸
带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，
如
图，则三角板的最大边的长为
A.3cmB.6cmC.32cmD.62cm
【答案】D。
【考点】含300角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理。
【分析】过点C作CD⊥AD，∴CD=3。
在直角三角形ADC中，∵∠CAD=30°，∴AC=2CD=2×3=6。
又三角板是有45°角的三角板，∴AB=AC=6。
∴BC2=AB2+AC2=62+62=72，∴BC=62。
故选D。
2.（湖北十堰3分）工人师傅常用角尺平分一个任意角。
做法如下：
如图，∠AOB是
一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与
M，N重合。
过角尺顶点C作射线OC。
由做法得△MOC≌△NOC的依据是
A．AAS
B.SAS
C.ASA
D.SSS
【答案】
D。
【考点】全等三角形的判定。
【分析】∵OM=ON，CM=CN，OC为公共边，∴△
MOC≌△NOC（
SSS）。
故选
D。
3.（湖北十堰
3分）如图，在网格中有一个直角三角形
（网格中的每个小正方形的边长均为
1个单位长度），
若以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，要求新三角形
与原来的直角三角形除了有一条公共边外，没有其它的公共点，新三角形的顶点不一定在格点上，那么符
合要求的新三角形有
A．4个B．6个C．7个D
．9个
【答案】C。
【考点】等腰三角形的判定
【分析】根据题意进行分析可知：
以原三角形的边长4，5为腰画出即可与新三角形一起组成一个等腰三
角形即有6个。
作原来斜边的中垂线，并与边长为3的直角边的延长线交于一点，此点与原三角形斜边两点构成
的三角形也符合要求，从而得出结论共有7个符合要求的三角形。
故选C。
4.（湖北荆州3分）如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心
投影组成，相似比为2∶5，且三角尺
的一边长为8cm，则投影三角形的对应边长为
A.8cmB.20cmC.3.2cmD.10cm
【答案】B。
【考点】位似变换，中心投影。
【分析】根据位似图形的性质得出相似比为2：
5，对应边的比为2：
5，即可得出投彩三角形的对应边长：
∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2：
5，三角尺的一边长为8cm，
∴投彩三角形的对应边长为：
8÷25=20cm。
故选B。
5.（湖北荆州3分）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD
＝∠A＝∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有
A.1对B.2对对D.4对
【答案】C。
【考点】相似三角形的判定。
【分析】∵∠CPD=∠B，∠C=∠C，∴△PCF∽△BCP。
∵∠CPD=∠A，∠D=∠D，∴△APD∽△GPD。
∵∠APG=∠B+∠C，∠BFP=∠C+∠CPD，∠CPD=∠A=∠B，∴∠APG=∠BFP。
又∠A＝∠B，∴△APG∽△BFP。
故选C。
6.（湖北荆州3分）在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是
A.517
B.
3
C.
21
D.
21
14
5
7
14
【答案】D。
【考点】解直角三角形，锐角三角函数定义，勾股定理。
【分析】作CD⊥BD，交BA的延长线于D，
∵∠A=120°，AB=4，AC=2，∴∠DAC=60°，∠ACD=30°。
∴2AD=AC=2。
∴AD=1，CD=3。
∴BD=5，∴BC=27。
∴sinB=
CD
3
21
。
故选D。
BC2
7
14
7.（湖北宜昌3
分）如图是教学用直角三角板，边
AC=30cm，∠C=90°，
tan∠BAC=
3，则边BC的长为
3
A.30
3
cmB.
20
3
cmC.10
3cmD.
53cm
【答案】C。
【考点】解直角三角形，特殊角的三角函数值。
【分析】在Rt△ABC中，根据三角函数定义可求：
∵
tan∠BAC=
BC，又AC=30cm，tan∠BAC=
3，
AC
3
∴BC=AC·tan∠BAC=30×
3=103
cm。
故选C。
3
8.（湖北黄冈、鄂州3分）cos30°=
A、1
B、
2
C、
3
D、3
2
2
2
【答案】C。
【考点】特殊角的三角函数值。
【分析】直接根据cos30°=3进行解答即可，故选C。
2
9.（湖北荆门3分）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD
D
CE
F
G
APB
＝∠A＝∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有
A.1对B.2对对D.4对
【答案】C。
【考点】相似三角形的判定。
【分析】∵∠CPD=∠B，∠C=∠C，∴△PCF∽△BCP。
∵∠CPD=∠A，∠D=∠D，∴△APD∽△GPD。
∵∠APG=∠B+∠C，∠BFP=∠C+∠CPD，∠CPD=∠A=∠B，∴∠APG=∠BFP。
又∠A＝∠B，∴△APG∽△BFP。
故选C。
10.（湖北荆门3分）在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是
A.517
B.
3
C.
21
D.
21
14
5
7
14
【答案】D。
【考点】解直角三角形，锐角三角函数定义，勾股定理。
【分析】作CD⊥BD，交BA的延长线于D，
∵∠A=120°，AB=4，AC=2，∴∠DAC=60°，∠ACD=30°。
∴2AD=AC=2。
∴AD=1，CD=3。
∴BD=5，∴BC=27。
CD
3
21
∴sinB=
27
。
BC
14
故选D。
11.（湖北随州4分）cos30°=
A、1
B、
2
C、
3
D、3
2
2
2
【答案】C。
【考点】特殊角的三角函数值。
【分析】直接根据cos30°=3进行解答即可，故选C。
2
12.（湖北随州4分）下列说法中
①一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角相等
②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2
③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形
④Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边a、b分别是方程x2﹣7x+7=0的两个根，则AB边上的中线长为
1
35
2
正确命题有
A、0个
B、1个
C、2个
D、3个
【答案】C。
【考点】垂线的性质，多边形内角和定理，中位数，众数，等腰梯形的性质，中心对称图形，轴对称图形，
一元二次方程根与系数的关系，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理。
【分析】①根据四边形内角和为3600的性质，得一个角的两边垂直于另一个角的两边，这两个角互补，而
不是相等，所以①错误。
②数据1，2，2，4，5，7，中位数是1（2+4）=3，其中2出现的次数最多，众
2
数是2，所以②正确。
③等腰梯形只是轴对称图形，而不是中心对称图形，所以③错误。
④根据一元二次
方程根与系数的关系有：
a
，a
，∴a
22
（a
+b
）2﹣
2
a
﹣
，即：
2
，
+b=7
b=7
+b
=
b=4914=35
AB=35
AB=35
∴AB边上的中线的长为135．所以④正确。
故选C。
2
13.（湖北随州4分）如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，
△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF﹣S△BEF=．
A、1B、2C、3D、4
【答案】B。
【考点】三角形的面积。
【分析】∵点D是AC的中点，S△ABC=12，∴S△ABD=1×12=6。
2
∵EC=2BE，S△ABC=12，∴S△ABE=1×12=4。
3
∴S△ADF﹣S△BEF=S△ABD﹣S△ABE=6﹣4=2。
故选B。
14.（湖北恩施3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为
A、11B、5.5C、7D、3.5
【答案】B。
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定和性质。
【分析】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，
∵DE=DG，∴DM=DE。
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DE=DN。
∴△DEF≌△DNM（HL），
∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，
∴S△MDG=S△ADG﹣S△AMG=590﹣39=11。
S△DNM=S△DEF=1S△MDG=1×11=5.5。
2
2
故选B。
二、填空题
1.（湖北武汉
3分）sin30°的
值为
▲
.
【答案】1。
2
【考点】特殊角的三角函数值。
【分析】根据特殊角的三角函数值直接得出结果：
sin30°=1。
2
2.（湖北黄石
3分）有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽是乙纸条宽的
2倍，如
图。
将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形
ABCD，则
AB与
BC的数量关系为
▲
.
【答案】2：
1。
【考点】相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质。
【分析】过A作AE⊥BC于E、作AF⊥CD于F，
∵甲纸条的宽度是乙纸条宽的2倍，∴AE=2AF。
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，AD=BC。
∵∠AEB=∠AFD=90°，∴△ABE∽△ADF。
∴
AB
AE
2
AB
2
AD
AF
，即
BC
。
1
1
3.（湖北襄阳3分）在207国道襄阳段改造工程中，需沿
AC方向开山修路（如图所示），为了加快施工
进度，要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=1000m，
∠D=50°．为了使开挖点E在直线AC上，那么DE=▲m．
（供选用的三角函数值：
sin50°=0.7660，cos50°=0.6428，tan50°=1.192）
【答案】642.8。
【考点】解直角三角形的应用，平角定义，三角形内角和定理，锐角三角函数定义。
【分析】先判断出△BED的形状，再根据锐角三角函数的定义解答即可：
∵∠ABD=140°，∴∠DBE=180°﹣140°=40°。
∵∠D=50°，∴∠E=180°﹣∠DBE﹣∠D=180°﹣40°﹣50°=90°。
∴DE=BD·cos∠D=1000×cos50°=1000×0.6428=642.8（m）。
4.（湖北黄冈、鄂州3分）如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是
AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，
则S△ADF﹣S△BEF=▲．
【答案】2。
【考点】三角形的面积。
【分析】∵点D是AC的中点，S△ABC=12，∴S△ABD=1×12=6。
2
∵EC=2BE，S△ABC=12，∴S△ABE=1×12=4。
3
∴S△ADF﹣S△BEF=S△ABD﹣S△ABE=6﹣4=2。
5.（湖北随州4分）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平
分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=▲．
【答案】50°。
【考点】角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质三角形全等的判定和性质。
【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得
出∠CAP=∠FAP，即可得出答案：
延长BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN。
∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC，PF=PN。
∴PF=PM。
∵∠BPC=40°，∴∠ABP=∠PBC=（x﹣40）°。
∴∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）=80°。
∴∠CAF=100°。
在Rt△PFA和Rt△PMA中，∵PA=PA，PM=PF，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL）。
∴∠FAP=∠PAC=50°。
三、解答题
1.（湖北武汉6分）如图，D，E，分别是AB，AC上的点，
且AB=AC，AD=AE.求证∠B=∠C.
【答案】证明：
在△ABE和△ACD中，
AB＝AC∠A＝∠AAE＝AD，
∴△ABE≌△ACD（SAS）。
∴∠B=∠C。
【考点】全等三角形的判定和性质。
【分析】根据AB=AC，AD=AE，∠A为公共角，由SAS可得出△ABE≌△ACD，即可得出∠B=∠C。
2.（湖北武汉10分）
（1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点
P.求证：
DP
PE
=
.
BQ
QC
（2）
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，
正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接
AG，AF分别交DE于M，N两点.
①如图
2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；
②如图3
，求证MN2=DM·EN.
【答案】解：
（1）证明：
在△ABQ中，由于DP∥BQ，
∴△ADP∽△ABQ。
∴DP＝AP。
BQAQ
同理在△ACQ中，EP＝AP。
CQAQ
∴DP＝EP。
BQCQ
（2）①2。
9
②证明：
∵∠B+∠C=90°，∠CEF+∠C=90，∴∠B=∠CEF。
又∵∠BGD=∠EFC，∴△BGD∽△EFC。
∴DG＝BG。
∴DG·EF＝CF·BG
CFEF
又∵DG＝GF＝EF，∴GF2＝CF·BG。
由（
1）得
DM
MN
EN
，
＝
＝
CF
BG
GF
2
EN。
∴
MN
＝DM
∴MN2＝DM·EN。
GF
BG
CF
【考点】相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，等量代换。
【分析】
（1）易证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出DP＝EP。
BQCQ
（2）①根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，求出BC边上的高
2，根据
2
△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长
2。
从而，由△AMN∽△AGF和△AMN的MN边上
3
高
2
，△AGF的GF边上高
2，GF=
2，根据MN：
GF等于高之比即可求出MN。
6
2
3
②可得出△BGD∽△EFC，则
DG?
EF=CF?
BG；又
DG=GF=EF，得GF2=CF?
BG，再
根据
（1）
DM＝MN＝EN，从而得出答案。
BGGFCF
3.（湖北黄石8分）东方山是鄂东南地区的佛教圣地，月亮山是黄荆山脉第二高峰，山顶上有黄石电视塔。
据黄石地理资料记载：
东方山海拔453.20米，月亮山海拔442.00米，一飞机从东方山到月亮山方向水平飞行，在东方山山顶D的正上方A处测得月亮山山顶C的俯角为，在
月亮山山顶C的正上方B处测得东方山山顶D处的俯角为，如图。
已知tan0.15987,tan
0.15847，若飞机的飞行速度为
180米/秒，
则该飞机从A到B处需多少时间？
（精确到
0.1秒）
【答案】解：
在Rt△ABC中，BC
ABtan
，
在Rt△ABD中,AD
ABtan
∴BCAD
AB（tan
tan
）。
BC
AD
453.20
442.00
8000。
∴AB
tan
0.15987
0.15847
tan
故A到B所需的时间为
8000
t
44.4（秒）。
180
答：
飞机从A到B处需44.4秒。
【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。
【分析】分别在Rt△ABC和Rt△ABD中表示出BC，AD，求出AB≈8000米，从而求出该飞机从A到B处需
要时间。
4.（湖北十堰8分）如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞行员为了避开某一区域的雷雨去层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方
向成300角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成450角的方
向继续飞行直到终点。
这样飞机的飞行路程比原来的路程控交换机600km
远了多少？
（参考数据：
3≈1.73,2≈1.41,要求在结果化简后再代入参考数据运算，结果保留整数）
CD
CD
【答案】解：
过点
C作CD⊥AB于点
D，则
AD=tan30°
BD=
tan45°
∵AD+BD=AB,∴（3＋1）CD=600,∴CD=300（
∴在Rt△ACD中，AC=600（3－1），
在Rt△BCD中，BC=3002（3－1）。
3－1）。
∴AC+BC=600（3－1）+300
2（
3－1）≈747（
km）。
747－600=147（km）。
答：
飞机的飞行路程比原来的路程600km远了147km。
【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数，勾股定理。
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，由锐角三角函数的定义可得出AD=CDtan30°，BD=CDtan45°，由AD+BD=AB
可求出CD的值，再分别在Rt△ACD、Rt△BCD中利用勾股定理即可求出AC、BC的长，从而可得出结论。
5.（湖北荆州8分）某河道上有一个半圆形的拱桥，河两岸筑有拦水堤坝，其半圆形桥洞的横截面如图
所示.已知上、下桥的坡面线ME、NF与半圆相切，上、下桥斜面的坡度i
＝1∶3.7，桥下水深OP＝5米，
水面宽度CD＝24米.设半圆的圆心为O，直径AB在坡角顶点M、N的连线上，求从
M点上坡、过桥、
下坡到N点的最短路径长.（参考数据：
π≈3，3≈1.7，tan15°＝
1
）
2
3
【答案】解：
连接OD、OE、OF，
由垂径定理知：
PD＝1CD＝12（m）。
2
在Rt△OPD中，
OD＝PD2+OP2
52
122
13（m），
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