高中数学231直线与平面垂直的判定教案新人教版必修2.docx

高中数学231直线与平面垂直的判定教案新人教版必修2.docx

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高中数学231直线与平面垂直的判定教案新人教版必修2

2.3直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1直线与平面垂直的判定

整体设计

教学分析

空间中直线与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中直线与平面的垂直问题是连接线线垂直和面面垂直的桥梁和纽带，可以说线面垂直是立体几何的核心.本节重点是直线与平面垂直的判定定理的应用.

三维目标

1.探究直线与平面垂直的判定定理，培养学生的空间想象能力.

2.掌握直线与平面垂直的判定定理的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力.

3.让学生明确直线与平面垂直在立体几何中的地位.

重点难点

教学重点:

直线与平面垂直的判定.

教学难点:

灵活应用直线与平面垂直判定定理解决问题.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.（情境导入）

日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，旗杆与地面的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的印象.

在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子.随着时间的变化，尽管影子BC的位置在移动，但是旗杆AB所在直线始终与BC所在直线垂直.也就是说，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B′C′也是垂直的.

思路2.（事例导入）

如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？

举例说明.

如图1，直线AC1与直线BD、EF、GH等无数条直线垂直，但直线AC1与平面ABCD不垂直.

图1

推进新课

新知探究

提出问题

①探究直线与平面垂直的定义和画法.

②探究直线与平面垂直的判定定理.

③用三种语言描述直线与平面垂直的判定定理.

④探究斜线在平面内的射影，讨论直线与平面所成的角.

⑤探究点到平面的距离.

活动:

问题①引导学生结合事例观察探究.

问题②引导学生结合事例实验探究.

问题③引导学生进行语言转换.

问题④引导学生思考其合理性.

问题⑤引导学生回忆点到直线的距离得出点到平面的距离.

讨论结果：

①直线与平面垂直的定义和画法：

教师演示实例并指出书脊（想象成一条直线）、各书页与桌面的交线，由于书脊和书页底边（即与桌面接触的一边）垂直，得出书脊和桌面上所有直线都垂直，书脊和桌面的位置关系给了我们直线和平面垂直的形象.从而引入概念：

一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.平面的垂线和平面一定相交，交点叫做垂足.直线和平面垂直的画法及表示如下：

如图2，表示方法为：

a⊥α.

图2图3

②如图3,请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起做一个实验：

过△ABC的顶点A翻折纸片，得折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD,DC与桌面接触）.

（1）折痕AD与桌面垂直吗？

（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面α垂直？

容易发现，当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在的平面α垂直.

如图4.

（1）

（2）

图4

所以，当折痕AD垂直平面内的一条直线时，折痕AD与平面α不垂直，当折痕AD垂直平面内的两条直线时，折痕AD与平面α垂直.

③直线和平面垂直的判定定理用文字语言表示为：

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.

直线和平面垂直的判定定理用符号语言表示为：

l⊥α.

直线和平面垂直的判定定理用图形语言表示为：

如图5,

图5图6

④斜线在平面内的射影.

斜线：

一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直时，这条直线就叫做这个平面的斜线.

斜足：

斜线和平面的交点.

斜线在平面内的射影：

从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.

直线与平面相交，直线与平面的相互位置类同于两条相交直线，也需要用角来表示，但过交点在平面内可以作很多条直线.与平面相交的直线l与平面内的线a、b…所成的角是不相等的.为了定义的确定性，我们必须找到一些角中有确定值的，又能准确描述其位置的一个角，这就是由斜线与其在平面内的射影所成的锐角作为直线和平面所成的角.

平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.

特别地：

如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为直角.

一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角为0°.如图6，l是平面α的一条斜线，点O是斜足，A是l上任意一点，AB是α的垂线，点B是垂足，所以直线OB（记作l′）是l在α内的射影，∠AOB（记作θ）是l与α所成的角.

直线和平面所成的角是一个非常重要的概念，在实际中有着广泛的应用，如发射炮弹时，当炮筒和地面所成的角为多少度时，才能准确地命中目标，也即射程为多远？

又如铅球运动员在投掷时，以多大的角度投掷，投出的距离最远？

⑤点到平面的距离:

经过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面内的射影，点在平面内的射影还是一个点.

垂线段：

上述的点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.

点到平面的距离：

垂线段的长叫做点到平面的距离.

应用示例

思路1

例1如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面.

解：

已知a∥b，a⊥α.求证：

b⊥α.

图7

证明：

如图7,在平面α内作两条相交直线m、n，设m∩n=A.

************

变式训练

如图8,已知点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：

PB⊥AC.

图8

证明：

过P作PO⊥平面ABC于O，连接OA、OB、OC.

∵PO⊥平面ABC，BC

平面ABC，

∴PO⊥BC.

又∵PA⊥BC，∴BC⊥平面PAO.

又∵OA

平面PAO，∴BC⊥OA.

同理,可证AB⊥OC.∴O是△ABC的垂心.

∴OB⊥AC.可证PO⊥AC.

∴AC⊥平面PBO.

又PB

平面PBO，∴PB⊥AC.

点评：

欲证线面垂直需要转化为证明线线垂直，欲证线线垂直往往转化为线面垂直.用符号语言证明问题显得清晰、简洁.

例2如图9,在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.

图9

活动：

先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.

解：

连接BC1交B1C于点O，连接A1O.

设正方体的棱长为a，

因为A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,所以A1B1⊥平面BCC1B1.

所以A1B1⊥BC1.

又因为BC1⊥B1C，所以BC1⊥平面A1B1CD.

所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，∠BA1O为直线A1B与平面A1B1CD所成的角.

在Rt△A1BO中,A1B=

BO=

所以BO=

∠BA1O=30°.

因此,直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°.

变式训练

如图10，四面体A—BCD的棱长都相等，Q是AD的中点，求CQ与平面DBC所成的角的正弦值.

图10

解：

过A作AO⊥面BCD，连接OD、OB、OC，则可证O是△BCD的中心,

作QP⊥OD,

∵QP∥AO,∴QP⊥面BCD.

连接CP，则∠QCP即为所求的角.

设四面体的棱长为a，

∵在正△ACD中，Q是AD的中点,∴CQ=

.

∵QP∥AO，Q是AD的中点,

∴QP=

，得

sin∠QCP=

.

点评：

求直线与平面所成的角，是本节的又一重点，作线面角的关键是找出平面的垂线.

思路2

例1（2007山东高考,文20）如图11

（1），在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC.

（1）

（1）求证：

D1C⊥AC1；

（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由.

（1）证明：

在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，

连接C1D，如图11

（2）.

（2）

∵DC=DD1，

∴四边形DCC1D1是正方形.

∴DC1⊥D1C.

又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1=D,

∴AD⊥平面DCC1D1，D1C

平面DCC1D1.

∴AD⊥D1C.

∵AD、DC1

平面ADC1，且AD∩DC1=D,

∴D1C⊥平面ADC1.

又AC1

平面ADC1，∴D1C⊥AC1.

（2）解：

连接AD1、AE，如图11（3）.

（3）

图11

设AD1∩A1D=M,

BD∩AE=N,连接MN，

∵平面AD1E∩平面A1BD=MN，

要使D1E∥平面A1BD，

需使MN∥D1E，

又M是AD1的中点，

∴N是AE的中点.

又易知△ABN≌△EDN，

∴AB=DE,

即E是DC的中点.

综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.

变式训练

如图12，在正方体ABCD—A1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心.

求证：

A1O⊥平面GBD.

图12

证明：

BD⊥A1O.

又∵A1O2=A1A2+AO2=a2+（

）2=

OG2=OC2+CG2=（

）2+（

）2=

A1G2=A1C12+C1G2=（

a）2+（

）2=

∴A1O2+OG2=A1G2.

∴A1O⊥OG.又BD∩OG=O,∴A1O⊥平面GBD.

点评：

判断线面垂直往往转化为线线垂直，勾股定理也是证明线线垂直的重要方法.

例2如图13，ABCD为正方形，过A作线段SA⊥面ABCD，又过A作与SC垂直的平面交SB、SC、SD于E、K、H，求证：

E、H分别是点A在直线SB和SD上的射影.

图13

证明：

∵

SA⊥BC,

又∵AB⊥BC,SA∩AB=A,

∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AE.

∵SC⊥平面AHKE,∴SC⊥AE.

又BC∩SC=C,∴AE⊥平面SBC.

∴AE⊥SB,即E为A在SB上的射影.同理可证,H是点A在SD上的射影.

变式训练

已知Rt△ABC的斜边BC在平面α内，两直角边AB、AC与α都斜交，点A在平面α内的射影是点A′，求证：

∠BA′C是钝角.

证明：

如图14，过A作AD⊥BC于D，连接A′D，

图14

∵AA′⊥α，BC

α，∴AA′⊥BC.

∴BC⊥A′D.

∵tan∠BAD=

＜tan∠BA′D=

，tan∠CAD=

＜tan∠CA′D=

，

∴∠BAD＜∠BA′D，∠CAD＜∠CA′D.

∴∠BAC＜∠BA′C，即∠BA′C是钝角.

知能训练

如图15，已知a、b是两条相互垂直的异面直线，线段AB与两异面直线a、b垂直且相交，线段AB的长为定值m，定长为n（n＞m）的线段PQ的两个端点分别在a、b上移动，M、N分别是AB、PQ的中点.

图15

求证：

（1）AB⊥MN；

（2）MN的长是定值.

证明：

（1）取PB中点H,连接HN,则HN∥b.

又∵AB⊥b,∴AB⊥HN.

同理,AB⊥MH.

∴AB⊥平面MNH.∴AB⊥MN.

（2）∵

b⊥平面PAB.∴b⊥PB.

在Rt△PBQ中,BQ2=PQ2-PB2=n2-PB2,①

在Rt△PBA中,PA2=PB2-AB2=PB2-m2,②

①②两式相加PA2+BQ2=n2-m2,∵a⊥b,∴∠MHN=90°.

∴MN=

（定值）.

拓展提升

1.如图16，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=3，AB=5，BC=4,AA1=4,点D是AB的中点.

图16

（1）求证：

AC⊥BC1;

（2）求证：

AC1∥平面CDB1；

（1）证明：

∵在△ABC中,AC=3,AB=5,BC=4,

∴△ABC为直角三角形.∴AC⊥CB.

又∵CC1⊥面ABC,AC

面ABC,∴AC⊥CC1.

∴AC⊥面BCC1B1.又BC1

面BCC1B1,∴AC⊥BC1.

（2）证明：

连接B1C交BC1于E，则E为BC1的中点，连接DE,则在△ABC1中,DE∥AC1.

又DE

面CDB1,则AC1∥面B1CD.

课堂小结

知识总结：

利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.

思想方法总结：

转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题.

作业

课本习题2.2B组3、4.

设计感想

线面关系是线线关系和面面关系的桥梁和纽带，尤其是线面垂直问题是立体几何的核心，一个立体几何问题能否解决往往取决于能否作出平面的垂线；面面垂直的性质定理恰好能解决这个问题，因此它是高考考查的重点，本节不仅选用了大量经典好题，还选用了大量的2007高考模拟题以及2007年高考题，相信能够帮助大家解决立体几何中的重点难点问题.

中国书法艺术说课教案

今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

一、教材分析：

本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。

书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。

早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。

1、教学目标：

使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况，通过分析代表作品，获得如何欣赏书法作品的知识，并能作简单的书法练习。

2、教学重点与难点：

（一）教学重点

了解中国书法的基础知识，掌握其基本特点，进行大量的书法练习。

（二）教学难点：

如何感受、认识书法作品中的线条美、结构美、气韵美。

3、教具准备：

粉笔，钢笔，书写纸等。

4、课时：

一课时 

二、教学方法：

要让学生在教学过程中有所收获，并达到一定的教学目标，在本节课的教学中，我将采用欣赏法、讲授法、练习法来设计本节课。

（1）   欣赏法：

通过幻灯片让学生欣赏大量优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。

（2）   讲授法：

讲解书法文字的发展简史，和形式特征，让学生对书法作进一步的了解和认识，通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！

（3）   练习法：

为了使学生充分了解、认识书法名家名作的书法功底和技巧，请学生进行局部临摹练习。

三、教学过程：

（一）组织教学

让学生准备好上课用的工具，如钢笔，书与纸等;做好上课准备，以便在以下的教学过程中有一个良好的学习气氛。

（二）引入新课，

通过对上节课所学知识的总结，让学生认识到学习书法的意义和重要性！

（三）讲授新课

1、在讲授新课之前，通过大量幻灯片让学生欣赏一些优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。

2、讲解书法文字的发展简史和形式特征，让学生对书法作品进一步的了解和认识通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！

A书法文字发展简史：

①古文字系统

甲古文——钟鼎文——篆书

早在5000年以前我们中华民族的祖先就在龟甲、兽骨上刻出了许多用于记载占卜、天文历法、医术的原始文字“甲骨文”；到了夏商周时期，由于生产力的发展，人们掌握了金属的治炼技术，便在金属器皿上铸上当时的一些天文，历法等情况，这就是“钟鼎文”（又名金文）；秦统一全国以后为了方便政治、经济、文化的交流，便将各国纷杂的文字统一为“秦篆”，为了有别于以前的大篆又称小篆。

（请学生讨论这几种字体的特点？

）古文字是一种以象形为主的字体。

②今文字系统

隶书——草书——行书——楷书

到了秦末、汉初这一时期，各地交流日见繁多而小篆书写较慢，不能满足需要，隶书便在这种情况下产生了，隶书另一层意思是平民使用，同时还出现了一种草写的章草（独草），这时笔墨纸都已出现，对书法的独立创作起到了积极的推动作用。

狂草在魏晋出现，唐朝的张旭、怀素将它推向顶峰；行书出现于晋，是一种介于楷、行之间的字体；楷书也是魏晋出现，唐朝达到顶峰，著名的书法家有欧阳询、颜真卿、柳公权。

（请学生谈一下对今文字是怎样理解的？

），教师进行归纳：

它们的共同特点是已经摆脱了象形走向抽象化。

B主要书体的形式特征 

①古文字：

甲骨文，由于它处于文明的萌芽时期，故字形错落有致辞，纯古可爱，目前发现的总共有3000多字，可认识的约1800字。

金文，处在文明的发展初期，线条朴实质感饱满而丰腴，因它多附在金属器皿上，所以保存完整。

石鼓文是战国时期秦的文字，记载的是君王外出狩猎和祈祷丰年，秦篆是一种严谨刻板的纯实用性的字体，艺术价值很小。

②今文字：

隶书是在秦篆严谨的压抑下出现的一种潇洒开放型的新字体，课本图例《张迁碑》结构方正，四周平稳，刚劲沉着，是汉碑方笔的典范，章草是在隶书基础上更艺术化，实用化的字体，索靖《急就章》便是这种字体的代表作，字字独立，高古凝重，楷书有两大部分构成：

魏碑、唐楷魏碑是北魏时期优秀书法作品的统称。

《郑文公碑》和《始平公造像》是这一时期的代表，前者气势纵横，雄浑深厚，劲健绝逸是圆笔的典型；唐楷中的《醴泉铭》法度森严、遒劲雄强，浑穆古拙、浑厚刚健，《神策军碑》精练苍劲、风神整峻、法度谨严，以上三种书体分别代表了唐楷三个时期的不同特点。

《兰亭序》和《洛神赋》作者分别是晋代王羲之、王献之父子是中国书法史上的两座高峰，前者气骨雄骏、风神跌宕、秀逸萧散的境界，后者在技法上达到了由拙到巧、笔墨洗练、丝丝入扣的微妙的境界。

他们都是不拘泥于传统的章法和技能，对后世学书者产生了深远的影响；明代文征明的书法文雅自如，现代书家沈尹默在继承传统书法方面起到了不可魔灭的作用。

3、欣赏要点：

先找几位同学说一下自己评价书法作品的标准或原则是什么？

[或如何来欣赏一幅书法作品？

]学生谈完后，对他们的观点进行归纳总结。

然后自己要谈一下自己的观点：

书法艺术的欣赏活动，有着不同于其它艺术门类的特征，欣赏书法伤口不可能获得相对直接的印象、辨识与教益，也不可能单纯为了使学生辨识书写的内容，去探讨言词语汇上的优劣。

进而得出：

书法主要是通过对抽象的点画线条、结构形态和章法布局等有“情趣意味“的形式，从客观物象各种美的体态，安致这些独有的特性中，使人们在欣赏时得到精神上健康闲静的愉悦和人们意念境界里的美妙享受（结合讲授出示古代书法名作的图片，并与一般的书法作品进行比较，让学生在比较中得出什么是格调节器高雅，什么是粗庸平常）。

书法可以说是无声的音乐，抽象的绘画，线条流动的诗歌。

四、课堂评价：

 根据本节课所学的内容结合板书。

让学生体会到祖国书法艺术的博大精深，着重分析学生在书体形式特点和审美欣赏方面表现出的得失。

让学生懂得在欣赏书法时主要是通过对抽像的点画线条、结构形态和章法布局等有“情趣意味“的形式，从客观物象各种美的体态，安致这些独有的特性中，使人们在欣赏时得到精神上健康闲静的愉悦和人们意念境界里的美妙享受。