高中数学 直线与平面垂直的判定教学设计 新人教A版必修2.docx

高中数学 直线与平面垂直的判定教学设计 新人教A版必修2.docx

《高中数学 直线与平面垂直的判定教学设计 新人教A版必修2.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 直线与平面垂直的判定教学设计 新人教A版必修2.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高中数学直线与平面垂直的判定教学设计新人教A版必修2

2019-2020年高中数学“直线与平面垂直的判定”教学设计新人教A版必修2

一、内容和内容解析

二、

本节课是在学生学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的，其主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用。

直线与平面垂直是通过直线和平面内的任意一条直线（无一例外）都垂直来定义的，定义本身也表明了直线与平面垂直的意义，即如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的所有直线，这也可以看成是线线垂直的一个判定方法；直线与平面垂直的判定定理本节是通过折纸试验来感悟的，即一条直线只要与平面内的两条相交直线垂直就可以判定直线与平面垂直了，它把原来定义中要求与任意一条（无限）垂直转化为只要与两条（有限）相交直线垂直就行了，概言之，线不在多，相交就行。

直线与平面垂直的判定方法除了定义法、判定定理外，还有如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面，这是直线与平面垂直判定的一种间接方法，也是十分重要的。

本节学习内容蕴含丰富的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限转化为有限”“线线垂直与线面垂直互相转化”等数学思想。

直线与平面垂直是研究空间中的线线关系和线面关系的桥梁，为后继面面垂直的学习、距离的学习奠定基础。

二、目标和目标解析

1.借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；

2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；

3.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.

三、教学问题诊断分析

学生已有的认知基础是熟悉的日常生活中的具体直线与平面垂直的直观形象（学生的客观现实）和直线与直线垂直的定义、直线与平面平行的判定定理等数学知识结构（学生的数学现实），这为学生学习直线与平面垂直定义和判定定理等新知识奠定基础。

学生学习的困难在于如何从直线与平面垂直的直观形象中提炼出直线与平面垂直的定义，感悟直线与平面垂直的意义；以及如何从折纸试验中探究出直线与平面垂直的判定定理。

教学的重点是直线与平面垂直的定义和直线与平面垂直判定定理的探究；教学的难点是操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。

四、学习行为分析

本节课安排在立体几何的初始阶段，是学生空间观念形成的关键时期，课堂上学生通过感知、观察、提炼直线与平面垂直的定义，进而通过辨析讨论，深化对定义的理解。

进一步，在一个具体的数学问题情境中猜想直线与平面垂直的判定定理，并在教师的指导下，通过动手操作、观察分析、自主探索等活动，切身感受直线与平面垂直判定定理的形成过程,体会蕴涵在其中的思想方法。

继而，通过课本例1的学习概括直线与平面垂直的几种常用判定方法。

再通过练习与课后小结，使学生进一步加深对直线与平面垂直的判定定理的理解。

五、教学支持条件分析

观察和展示现实生活中的实例与图片，以直观感知直线与平面垂直的形象；准备三角形纸片，用于探究直线与平面垂直的判定定理；制作多媒体课件动态演示，以加深对直线与平面垂直定义及判定定理的感知与理解。

六、教学过程设计

1.从实际背景中感知直线与平面垂直的形象

问题1：

空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？

设计意图：

此问基于学生已有的数学现实，通过对已学相关知识的追忆，寻找新知识学习的“固着点”。

问题2：

在日常生活中你见得最多的直线与平面相交的情形是什么？

请举例说明。

设计意图：

此问基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察，让学生直观感知直线与平面相交中一种特例：

直线与平面垂直的初步形象，激起进一步探究直线与平面垂直的意义。

2.提炼直线与平面垂直的定义

问题3：

你能给出直线和平面垂直的定义吗？

回忆一下直线与直线垂直是如何定义的？

设计意图：

两直线垂直有相交垂直和异面垂直，而异面直线垂直是转化为两直线相交垂直，实质上是将空间问题转化为平面问题，让学生回忆直线与直线垂直的定义，旨在由此得到启发：

用“平面化”的思想来思考问题，即能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线与这个平面垂直？

问题4：

结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．

（1）阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？

（2）随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?

（3）旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?

依据是什么？

设计意图：

第

（1）与

（2）两问旨在让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条过点B的直线垂直，第（3）问进一步让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条不过点B的直线也垂直，在这里，主要引导学生通过观察直立于地面的旗杆与它在地面的影子的位置关系来分析、归纳直线与平面垂直这一概念。

（学生叙写定义，并建立文字、图形、符号这三种语言的相互转化）

思考：

（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？

（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？

（对问

（1），在学生回答的基础上用直角三角板在黑板上直观演示；对问

（2）可引导学生给出符号语言表述：

若，则）

设计意图：

通过对问题

（1）的辨析讨论，深化直线与平面垂直的概念。

通过对问题

（2）的辨析讨论旨在让学生掌握线线垂直的一种判定方法。

通常定义可以作为判定依据，但由于利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面垂直需要考察平面内的每一条直线与已知直线是否垂直，这给我们的判定带来困难，因为我们无法去一一检验。

这就有必要去寻找比定义法更简捷、可行的直线与平面垂直的判定方法。

3.探究直线与平面垂直的判定定理

创设情境 猜想定理：

某公司要安装一根8米高的旗杆，两位工人先从旗杆的顶点挂两条长10米的绳子，然后拉紧绳子并把绳子的下端放在地面上两点（和旗杆脚不在同一直线上）。

如果这两点都和旗杆脚距离6米，那么表明旗杆就和地面垂直了，你知道这是为什么吗？

设计意图：

引导学生根据直观感知以及已有经验，进行合情推理，猜想判定定理。

师生活动：

（折纸试验）请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：

过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD（如图1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）

　　问题5：

（1）折痕AD与桌面垂直吗？

（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？

　　（组织学生动手操作、探究、确认）

设计意图：

通过折纸让学生发现当且仅当折痕AD是BC边上的高时，且B、D、C不在同一直线上的翻折之后竖起的折痕AD才不偏不倚地站立着，即AD与桌面垂直（如图2），其它位置都不能使AD与桌面垂直。

　　问题6：

在你翻折纸片的过程中，纸片的形状发生了变化，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？

（可从线与线的关系考虑）如果我们把折痕抽象为直线，把BD、CD抽象为直线，把桌面抽象为平面（如图3），那么你认为保证直线与平面垂直的条件是什么？

对于两条相交直线必须在平面内这一点，教师可引导学生操作：

将纸片绕直线AD（点D始终在桌面内）转动，使得直线CD、BD不在桌面所在平面内。

问：

直线AD现在还垂直于桌面所在平面吗？

（此处引导学生认识到直线CD、BD都必须是平面内的直线）

设计意图：

通过操作让学生认识到两条相交直线必须在平面内，从而更凸现出直线与平面垂直判定定理的核心词：

平面内两条相交直线。

　　问题7：

如果将图3中的两条相交直线、的位置改变一下，仍保证

，（如图4）你认为直线还垂直于平面吗？

设计意图：

让学生明白要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的。

根据试验，请你给出直线与平面垂直的判定方法。

　　（学生叙写判定定理，给出文字、图形、符号这三种语言的相互转化）

　　问题8：

（1）与直线与平面垂直的定义相比,你觉得这个判定定理的优越性体现在哪里?

（2）你觉得定义与判定定理的共同点是什么?

设计意图：

通过和直线与平面垂直定义的比较，让学生体会“无限转化为有限”的数学思想，通过寻找定义与判定定理的共同点，感悟和体会“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”的数学思想.

　　思考：

现在，你知道两位工人是根据什么原理安装旗杆的吗？

为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？

如果安装完了，请你去检验旗杆与地面是否垂直，你有什么好方法？

   设计意图：

用学到手的知识解释实际生活中的问题，增强学生用数学的意识，同时通过提出“为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？

”（对该问题可引导学生用三角形纸片来验证），从而来深化对直线与平面垂直判定定理的理解。

　　4.直线与平面垂直判定定理的应用

如图5，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，请列举与平面ABCD垂直的直线。

并说明这些直线有怎样的位置关系？

思考：

如图6，已知，则吗？

请说明理由。

（分别用直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的定义证明；并让学生用语言叙述：

如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面）

设计意图：

这个例题给出了判断直线和平面垂直的一个常用的命题，这个命题体现了平行关系与垂直关系之间的联系。

练习：

如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中点。

求证：

AC⊥平面VKB

思考：

（1）在三棱锥V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求证：

VB⊥AC；

（2）在⑴中，若E、F分别是AB、BC的中点，试判断EF与平面VKB的位置关系；

（3）在⑵的条件下，有人说“VB⊥AC，VB⊥EF，∴VB⊥平面ABC”，对吗？

设计意图：

例2重在对直线与平面垂直判定定理的应用．变式

（1）在例2的基础上，应用了直线与平面垂直的意义；变式

（2）是对例1判定方法的应用；变式（3）的判断在于进一步巩固直线与平面垂直的判定定理。

3个小题环环相扣，汇集了本节课的学习内容，突出了知识间内在联系和融会贯通。

5.小结回授

（1）本节课你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？

试用自己理解的语言叙述。

（2）直线与平面垂直的判定定理中体现了哪些数学思想方法？

设计意图：

以问题讨论的方式进行小结，培养学生反思的习惯，鼓励学生运用自己理解的语言对问题进行质疑和概括。

七、目标检测设计

1．课本P73探究：

如图2.3-7，直四棱柱A1B1C1D1-ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，A1C⊥B1D1．

2．如图，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，写出图中所有的直角三角形。

3．课本P74练习2

  设计意图：

第1题是本节教材中的一道探究题，主要运用直线与平面垂直的意义与判定定理；第2题也是活用直线与平面垂直的意义与判定定理，前两题重在检测本节课的知识与技能目标，检测运用知识解决问题的能力；第3题通过学生探索，培养学生观察——分析——归纳和综合运用知识的能力。

2019-2020年高中数学“随机事件的概率”教学设计新人教A版必修3

一、内容和内容解析

1．内容

本节课主要内容是让学生了解在客观世界中要认识客观现象的第一步就是通过观察或试验取得观测资料，然后通过分析这些资料来认识此现象．如何取得有代表性的观测资料并能够正确的加以分析，是正确的认识未知现象的基础，也是统计所研究的基本问题．

2．内容解析

本节课是高中阶段学习统计学的第一节课，统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，它可以为人们制定决策提供依据．学生在九年义务阶段已经学习了收集、整理、描述和分析数据等处理数据的基本方法．在高中学习统计的过程中还将逐步让学生体会确定性思维与统计思维的差异，注意到统计结果的随机性特征，统计推断是有可能错的，这是由统计本身的性质所决定的．统计有两种．一种是把所有个体的信息都收集起来，然后进行描述，这种统计方法称为描述性统计，例如我国进行的人口普查．但是在很多情况下我们无法采用描述性统计对所有的个体进行调查，通常是在总体中抽取一定的样本为代表，从样本的信息来推断总体的特征，这称为推断性统计．例如有的产品数量非常的大或者有的产品的质量检查是破坏性的．统计和概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识．

抽样调查是我们收集数据的一种重要途径，是一种重要的、科学的非全面调查方法．它根据调查的目的和任务要求，按照随机原则，从若干单位组成的事物总体中，抽取部分样本单位来进行调查、观察，用所得到的调查标志的数据来推断总体．其中蕴涵了重要的统计思想——样本估计总体．而样本代表性的好坏直接影响统计结论的准确性，所以抽样过程中，考虑的最主要原则为：

保证样本能够很好地代表总体．而随机抽样的出发点是使每个个体都有相同的机会被抽中，这是基于对样本数据代表性的考虑．

本节课重点：

能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题，理解随机抽样的必要性与重要性．

二、目标和目标解析

1．目标

（1）通过对具体的案例分析，逐步学会从现实生活中提出具有一定价值的统计问题，

（2）结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性；

（3）以问题链的形式深刻理解样本的代表性．

2．目标解析

本章章头图列举了我国水资源缺乏问题、土地沙漠化问题等情境，提出了学习统计的意义．同时通过具体的实例，使学生能够尝试从实际问题中发现统计问题，提出统计问题．让学生养成从现实生活或其他学科中发现问题、提出问题的习惯，培养学生发现问题与提出问题的能力与意识．

对某个问题的调查最简单的方法就是普查，但是这种方法的局限性很大，出于费用和时间的考虑，有时一个精心设计的抽样方案，其实施效果甚至可以胜过普查，在这个过程中让学生逐步体会到随机抽样的必要性和重要性．抽样调查，就是通过从总体中抽取一部分个体进行调查，借以获得对整体的了解．为了使由样本到总体的推断有效，样本必须是总体的代表，否则就可能出现方便样本．由此在对实例的分析过程中探讨获取能够代表总体的样本的方法，得到随机样本的概念，逐步理解样本的代表性与统计推断结论可靠性之间的关系．

三、教学问题诊断分析

学生在九年义务教育阶段已有对统计活动的认识，并学习了统计图表、收集数据的方法，但对于如何抽样更能使样本代表总体的意识还不强；在以前的学习中，学生的学习内容以确定性数学学习为主；学生对全面调查，即普查有所了解，它在经验上更接近确定性数学，而随机抽样学习则要求学生通过对具体问题的解决，能体会到统计中的重要思想——样本估计总体以及统计结果的不确定性．学生已有知识经验与本节要达成的教学目标之间还有很大的差距．主要的困难有：

对样本估计总体的思想、对统计结果的“不确定性”产生怀疑，对统计的科学性有所质疑；对抽样应该具有随机性，每个样本的抽取又都落实在某个人的具体操作上不理解，因此教学中要通过具体实例的研究给学生释疑．

在教学过程中，可以鼓励学生从自己的生活中提出与典型案例类似的统计问题，如每天完成家庭作业所需的时间，每天的体育锻炼时间，学生的近视率，一批电灯泡的寿命是否符合要求等等．在学生提出这些问题后，要引导学生考虑问题中的总体是什么，要观测的变量是什么，如何获取样本，通过这样一个教学过程，更能激起学生的学习兴趣，能学有所用，拉近知识与实践的距离，培养学生从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题的能力．在这个过程中提升学生对统计抽样概念的理解，初步培养学生运用统计思想表述、思考和理解现实世界中的问题能力，这样教学效果可能会更佳．

根据这一分析，确定本课时的教学难点是：

如何使学生真正理解样本的抽取是随机的，随机抽取的样本将能够代表总体．

四、教学支持条件分析

准备一些随机抽样成功或失败的事例，利用实物投影或放映的多媒体设备辅助教学．

五、教学过程设计

（一）感悟数据、引入课题

问题1：

请同学们看章头图中的有关沙漠化和缺水量的数据，你有什么感受？

师生活动：

让学生充分思考和探讨，并逐步引导学生产生质疑：

这些数据是怎么来的？

设计意图：

通过一些数据让学生充分感受我们生活在一个数字化时代，要学会与数据打交道，养成对数据产生的背景进行思考的习惯．

问题2：

我发现我们班级有很多的同学都是戴眼镜的，谁能告诉我我们班的近视率？

普查：

为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查称为普查．

总体：

所要考察对象的全体称为总体（population）

个体：

组成总体的每一个考察对象称为个体（individual）

普查是我们进行调查得到全部信息的一种方式，比如我国10年一次的人口普查等．

设计意图：

通过与学生比较贴近的案例入手，让学生体会到统计是从日常生活中产生的．

（二）操作实践、展开课题

问题3：

如果我想了解榆次二中所有高一学生的近视率，你打算怎么做呢？

抽样调查：

从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查（samplinginvestigation）．

样本：

从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本（sample）．

师生活动：

以四人小组为单位进行讨论，每个小组派一个代表汇报方案．

设计意图：

从这个问题中引出抽样调查和样本的概念，使学生对于如何产生样本进行一定的思考，同时也使学生认识到样本选择的好坏对于用样本估计总体的精确度是有所不同的．

列举：

一个著名的案例

在1936年美国总统选举前，一份颇有名气的杂志（LiteraryDigest）的工作人员做了一次民意测验．调查兰顿（A．Landon）（当时任堪萨斯州州长）和罗斯福（F．D．Roosevelt）（当时的总统）中谁将当选下一届总统．为了了解公众意向，调查者通过电话簿和车量登记簿上的名单给一大批人发了调查表（注意在1936年电话和汽车只有少数富人拥有）．通过分析收回的调查表，显示兰顿非常受欢迎，于是杂志预测兰顿将在选举中获胜．实际选举结果正好相反，最后罗斯福在选举中获胜，其数据如下：

  候选人

预测结果%

选举结果%

Roosevelt

43

62

Landon

57

38

问题4：

你认为预测结果出错的原因是什么？

设计意图：

通过案例让学生进一步体会到：

在抽样调查中，样本的选择是至关重要的，样本能否代表总体，直接影响着统计结果的可靠性．

问题5：

如果要调查下面这几个问题，你认为应该作全面调查还是抽样调查？

你们对于普查和抽样调查是怎么看的？

普查一定好吗？

请举例．

（1）了解全班同学每周的体育锻炼时间；

（2）调查市场上某个品牌牛奶的含钙量；

（3）了解一批日光灯的使用寿命．

普查

抽样调查

需要大量的人力、物力和财力

节省人力、物力和财力

不能用于带有破坏性的检查

可以用于带有破坏性的检查

在操作正确的情况下，能得到准确结果

结果与实际情况之间有误差

设计意图：

通过普查和抽样调查的比较，使学生感受抽样调查的必要性和重要性．

问题6：

如果我们想了解晋中市高一学生的近视率，你认为该怎么做呢？

师生活动：

以2人小组为单位进行讨论，说出比较可行的抽样方案．

问题7：

我们是否可以用晋中市高一年级学生的近视率来估计山西省高中生的近视率？

为什么？

师生活动：

教师继续让学生进行小组讨论，引导学生从样本容量以及样本抽取需要考虑的要素，如：

学生的层次（高一、高二、高三），学生生活的环境（城市、县镇、农村）等．教师对学生的回答进行归纳、整理，与学生一起讨论出比较可行的抽样方案．

设计意图：

通过进一步的追问，加深学生对样本代表性的理解．让学生进一步的认识到：

在多背景下的抽样会产生偏差，以及样本的随机性与样本大小在产生有代表性的样本中的作用，同时对后面的内容进行简单介绍．

（三）总结拓展、提升思想

问题8：

请你用1-2句话说说自己在本节课的收获．

师生活动：

引导学生从怎样学会提出统计问题？

抽样调查与普查的优缺点？

样本的代表性与统计推断结论之间的关系等方面进行总结和回顾．

设计意图：

总结回顾，巩固课堂知识、初步概括统计思想．

六、目标检测设计

1．某课外兴趣小组为了解所在地区老年人的健康状况，分别作了四种不同的抽样调查．你认为抽样比较合理的是（   ）

A．在公园调查了1000名老年人的健康状况

B．在医院调查了1000名老年人的健康状况

C．调查了10名老年邻居的健康状

D．利用派出所的户籍网随机调查了该地区10％的老年人的健康状况．

设计意图：

促进学生理解抽样的必要性和样本的代表性．

2．为了了解全校240名学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是

A．总体是240                            B．个体是每一个学生

C．样本是40名学生                    D．样本容量是40                        

设计意图：

回顾复习相关概念．

3．为了了解全校学生的平均身高，王一调查了自己座位旁边的五位同学，把这五位同学的身高的平均值作为全校学生平均身高的估计值．

（1）王一的调查是抽样调查吗？

（2）如果是抽样调查，指出调查的总体、个体、样本和样本容量；

（3）这个调查结果能较好的反映总体的情况吗？

如果不能，请说明理由．

设计意图：

回顾抽样调查的几个基本概念，强化抽样调查中样本的代表性．