高中数学说课稿----直线与平面垂直的判定.doc

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说课稿

2.3.1《直线与平面垂直的判定》——第一课时

府城中学郑小芳

一、教材分析

1、教材的地位和作用：

《直线与平面垂直的判定》是高中新教材人教A版必修2第2章2.3.1的内容，本节课主要学习线面垂直的定义、判定定理及定理的初步运用。

其中，线面垂直的定义是线面垂直最基本的判定方法和性质，它是探究线面垂直判定定理的基础；线面垂直的判定定理充分体现了线线垂直与线面垂直之间的转化，它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带！

（如图）学好这部分内容，对于学生建立空间观念，实现从认识平面图形到认识立体图形的飞跃，是非常重要的。

2、教学目标

根据大纲要求，考虑到学生的接受能力和课容量，确定了本次课的教学目标：

A、知识与技能：

通过直观感知、操作确认，理解线面垂直的定义，归纳线面垂直的判定定理；并能运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题。

B、过程与方法：

通过线面垂直定义及定理的探究过程，感知几何直观能力和抽象概括能力，体会转化思想在解决问题中的运用。

C、情感、态度与价值观：

经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

3、教学重点和难点

根据《课程标准》，线面垂直判定定理的严格证明在本节课中不做要求，这样降低了难度。

因而，我将本节课的教学重点确立为：

重点：

操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。

由于学生的抽象概括能力、空间想象力还有待提高，而线面垂直判定定理的发现具有一定的隐蔽性，学生不易想到，因此我把操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用作为本节课的难点。

二、课前准备

（约需10分钟）

（约需15分钟）

（约需10分钟）

（约需3分钟）

线面垂直定义的建构

线面垂直判定定理的探究

创设情境—感知概念

观察归纳—形成概念

辨析讨论—深化概念

动手操作—确认定理

质疑反思—深化定理

分析实例—猜想定理

线面垂直判定定理的初步应用

尝试练习—巩固定理

总结反思—提高认识

布置作业—自主探究

（约需2分钟）

1.教师准备：

长方体模型、多媒体课件

2.学生自备：

三角形纸片、笔（代表直线）、三角板、长方形贺卡

三、教学设计

本节的教学设计由以下几个环节构成

教学

环节

教学过程

设计意图

1.直线与

平面垂

直定义

的建构

（本环节是教学的第一个重点，是后面探究活动的基础，分三步进行：

）

（1）创设情境—感知概念

①观察实例：

引导学生将书打开直立于桌面，观察书脊与桌面的位置关系，由此引出课题。

②展示图片：

观察图片，引导学生寻找出其中线面垂直的位置关系。

（旗杆与地面、桥墩与地面）

③师生活动：

引导学生举出身边更多类似的例子。

（如教室内直立的墙角线和地面的位置关系，桌子的四只脚与地面的位置关系等）

从实例到图片再到实际生活，直观感知直线和平面垂直的位置关系，从而建立初步印象，为下一步的数学抽象做准备

（2）观

察归纳

—形成

概念

（师生活动：

学生练习本上画图，教师针对学生出现的问题，如不直观、不标字母等加以强调。

）

①学生画图：

引导学生将地面看成平面，旗杆看做直线画出旗杆与地面位置关系的几何图形。

②思考：

从直线与直线垂直、直线与平面平行的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？

③结合问题

（1）和

（2）观察动画演示：

在阳光下直立

于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC的位置变化。

问题

（1）：

旗杆所在的直线AB与影子所在的直线

BC的位置关系是什么？

问题

（2）：

旗杆AB与地面内任意一条不过旗杆底

（师生活动：

在多媒体演示时，先展示动画1使学生感受到旗杆AB所在直线与过点B的直线都垂直。

再展示动画2引导学生根据异面直线所成角的概念得出旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直。

）

部B的直线B1C1的位置关系又是什么？

由此可以得到什么结论？

④引导学生归纳直线与平面垂直的定义、介绍相关概念，并引导学生用符号语言表示。

直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。

定义：

如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作：

l⊥α.

.

用符号语言表示为：

（师生活动：

学生以小组为单位讨论交流，互相补充，并派代表作答，教师补充完善，指出定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是同意词，同时给出直线与平面垂直的记法，并引导学生用符号语言表示。

）

①从具体到抽象，引导学生完成抽象与具体之间的相互转换

②引导学生用“平面化”与“降维”的思想来思考问题，直线和平面垂直的问题同样可以转化为考察直线和平面内直线的关系

③通过观察思考，感知直线与平面垂直的本质内涵。

④充分发挥学生的主观能动性，提高抽象概括能力，让学生体验成功的喜悦

通过问题辨析与讨论，加深概念的理解，掌握概念的本质属性。

由

（1）使学生明确定义中的“任意”和“无数”的不同。

由

（2）使学生明确，线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质，“直线与直线垂直”和“直线与平面垂直”可以相互转化。

（3）辨析讨论—深化概念

辨析1：

下列命题是否正确，为什么？

（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直。

（2）如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任一直线。

（师生活动：

命题

（1）判断中引导学生利用手中的笔和三角板，笔表示直线，三角板两直角边表示两垂直直线，桌面表平面，将三角板的一条直角边AC放在桌面上，这时另一条直角边BC就和桌面内的一条直线（即三角板与桌面的交线AC）垂直，在此基础上在桌面内放一只和AC平行的笔EF并平行移动，那么BC始终和EF垂直，但BC不一定和桌面垂直，最后教师给出反例的直观图1。

）

图1

由

（2）给出下列常用命题：

指出它是判断直线与直线垂直的常用方法，它将直线与直线垂直的问题转化为判定一条直线垂直于另一条直线所在的平面。

2.直线与平面垂直的判定定理的探究

（这个探究活动是本节课的关键所在，分三步进行：

）

（1）分析实例—猜想定理

问题①在长方体ABCD－A1B1C1D1模型中，棱BB1与底面ABCD垂直，观察BB1与底面ABCD内直线AB、BC有怎样的位置关系？

由此你认为保证BB1⊥底面ABCD的条件是什么？

问题②如何将一张长方形贺卡直立于桌面？

（师生活动：

引导学生观察思考，师生共同分析长方体侧棱垂直底面、贺卡能直立于桌面的原因：

侧棱或书脊固定在两相交直线上且与两直线垂直。

）

由上述两个实例，你能猜想出判断一条直线与一个平面垂直的方法吗？

学生提出猜想:

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

借助学生最熟悉的长方体模型和生活中最简单的经验，感知判定直线与平面垂直时只需平面内有限条直线（两条相交直线），从中体验有限与无限之间的辩证关系，从而提出猜想，为进一步的探究做准备

（2）动手操作—确认定理

A.折纸实验：

如图，让学生拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，做一个实验：

过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，再将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），进行观察并思考：

问题③折痕AD与桌面垂直吗？

如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？

（师生活动：

在折纸试验中，学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导这两类学生进行交流，根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因。

学生再次折纸，经过讨论交流，发现当且仅当折痕AD是BC边上的高，即AD⊥BC，翻折后折痕AD与桌面垂直。

）

问题④由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系发生变化吗？

（即AD⊥CD，AD⊥BD发生变化吗？

）由此你能得到什么结论？

（师生活动：

师生共同分析折痕AD是BC边上的高时的实质：

AD是BC边上的高时，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥CD，AD⊥BD。

这就是说，当AD垂直于桌面内的两条两条相交直线CD、BD时，它就垂直于桌面。

）

B．多媒体演示翻折过程。

C．归纳出直线与平面垂直的判定定理：

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

用符号语言表示为：

（师生活动：

在归纳直线与平面垂直的判定定理时，先让学生以小组为单位交流讨论，派代表叙述结论，不完善的地方教师引导、补充完整，归纳出线面垂直的判定定理。

然后要求学生试用图形语言与符号语言来表示定理，指出定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

）

通过实验操作，引导学生发现折痕AD与桌面垂直的条件：

AD垂直桌面内两条相交直线。

问题④吸引学生注意力，为推出重点做准备。

B．增设动态演示模拟实验，让学生更加清楚看到“平面化”的过程，在已有数学知识的基础上加以确认定理

C．让学生在自己的实践中感受数学探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，在讨论交流中激发学生的积极性和创造性

（3）质疑反思—深化定理

辨析2：

下列命题是否正确，为什么？

如果一条直线与平面内的两条平行直线都垂直，那么该直线垂直于这个平面。

（师生活动：

教师给出反例的直观图2，消除学生心中的疑惑，进一步明确线面垂直的判定定理中的“两条”、“相交”缺一不可！

指出定理充分体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想。

）

图2

通过辨析，强化定理中“两条相交直线”的条件。

3.直线与平面垂直判定定理的初步应用

尝试练习，巩固

定理

例

（1）如图

（1）有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂有两条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一条直线上）C、D。

如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？

（师生活动：

师生共同分析，教师用多媒体给出规范的证明过程优化解题步骤）

例

（2）求证：

与三角形的两条边同时垂直的直线必与第三条边垂直。

（师生活动：

引导学生根据题意画图（如图2），将其转化为几何命题：

△ABC在平面α内，直线a与平面α相交，且a⊥AC,a⊥BC，求证：

a⊥AB。

请两位同学板演，其余同学在练习本上完成，师生共同评析，明确运用线面垂直判定定理时的具体步骤，防止缺少条件，特别是“相交”的条件，同时指出：

这为证明“线线垂直”提供了一种方法。

）

（师生活动：

此题是课本中的例1，有一定难度，教师引导学生分析思路，可用判定定理证，也可利用定义证，提示辅助线的添法，学生练习本上完成，对照课本例1,完善自己的解题步骤，让学生用文字语言叙述：

如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。

指出：

命题体现了平行关系与垂直关系的联系，其结果可以作为直线和平面垂直的又一个判定方法。

）

例（3）如图（3），已知a∥b，a⊥α，求证：

b⊥α。

（课本中的例1）

（1）

（2）（3）

例1通过计算可直接应用线面垂直定理，充分说明用数学问题研究实际问题价值所在，培养学生逻辑思维能力和运用数学语言的能力。

例2感受如何运用直线与平面垂直的判定定理与定义解决问题，明确运用定理的条件和具体步骤，培养学生严谨的逻辑推理

例3使学生对线面垂直认识由感性上升到理性；同时，展示了平行与垂直之间的转化与联系，给出判断线面垂直的一种间接方法，为今后多角度研究问题提供思路。