初一数学上册知识点与测试题.docx

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初一数学上册知识点与测试题

初一数学上册知识点与测试题

第一章基本的几何图形

-2我们身边的图形世界　几何图形

一、知识归纳

〔一〕几何图形

1、从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形．

我们观察分析周围的物体时，如果只注意它们的形状、大小〔如长度、面积、体积等〕以及相对位置〔如垂直、平行、相交等〕，而不考虑它们的颜色、材料和质量、用途等等，就从中抽象出了几何图形．

几何图形包括立体图形和平面图形．有些图形的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形；有些图形的各部分都在同一平面内，它们是平面图形．

像长方体、正方体、圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台、球等，它们都是立体图形；像线段、射线、直线、三角形、长方形、梯形、圆、扇形等等，它们都是平面图形．

2、

像长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等都是几何体，简称为体．包围着体的是面．面有平的面和曲的面两种． 观察上面几何体的外表特点将它们分类：

 圆柱、圆锥和球为一类，因为它们的面有的为曲面．棱柱和棱锥的面都是平的为一类，像这一类几何体也叫多面体.

〔二〕点、线、面、体

1、从图形运动的观点来看：

点动成线、线动成面、面动成体．如天空中喷气式飞机喷烟拉线的过程给我们点动成线的印象；用一块木板的边缘平整沙地的过程给我们线动成面的印象；在桌面上旋转一枚硬币会看到一个小球体，这说明面动成体．

2、几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素．面和面相交的地方形成线．线和线相交的地方是点．

3、有些图形是由一些平面图形围成的，将它们的外表适当剪开，可以展开成平面图形．这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．

二、典型例题：

例1、〔1〕指出图中几何图形的名称．

〔2〕圆柱的侧面展开图是一个__________，圆锥的侧面展开图是一个__________．

〔3〕用一根长36cm长的铁丝，加工成一个正方体的框，则这个正方体的棱长是__________．

〔4〕一个长为10、宽为5的长方形，假设绕它的长所在直线旋转一周，所得的圆柱的曲面面积为__________；假设绕它的宽边所在直线旋转一周，所得的圆柱的曲面面积为__________．

例2、如图，第二行图形绕虚线旋转一周，便能形成第一行的某个几何体，请用线连接起来．

例3、用平面截一个正方体，截面的形状有哪几种可能？

例4、把立方体六个面分别涂上六种不同颜色，并画上朵数不等的花．各面上的颜色与花的朵数情况列表如下：

颜色

红

黄

蓝

白

紫

绿

花的朵数

1

2

3

4

5

6

现将上述大小相同、颜色花朵分布完全一样的四个小立方体拼成一个水平放置的长方体．如下图，问长方体的下底面共有多少朵花？

例5、以下图〔2〕～〔5〕是图〔1〕的正方体切去一块，得到的几何体，

①它们各有多少个面？

多少条棱？

多少个顶点？

②举例说明其他形状的几何体也切去一块，所得到的几何体的面数、棱数和顶点数各是多少．

③假设面数记为f，棱数记为e，顶点数记为v，则f+v-e应满足什么关系？

例6、如以下图，在圆锥的底面圆周A点处有一只蚂蚁，要从侧面爬一圈后，再回到A点，请你结合圆锥的侧面展开图，设计一条最短路线．

1.3线段、射线和直线

一、知识归纳

1、线段

绷紧的琴弦，人行横道线都可以近似地看作线段．线段有三个特征：

①线段是直的，②线段有两个端点，有长短，③线段没有粗细．

线段用它的两个端点来表示．在几何中，通常用一个大写英文字母表示一个点，用A、B表示两个端点的线段表示为线段AB或线段BA，字母是无序的．线段还可以用一个小写英文字母表示，如线段a．

2、射线

将线段向一个方向无限延伸就形成了射线．射线只有一个端点，向一方无限延伸．

射线用它的端点和射线上另一个任意点来表示，且端点在前，字母是有序的．射线AB与射线BA是不同的射线．也可以用一个小写字母来表示，如射线l等．

3、直线

将线段向两个方向无限延伸就形成了直线．直线没有端点，向两方无限延伸．

线段和射线也可以看作是直线的一部分．线段可以看作是直线上两点及这两点间的部分；射线可以看作是直线上一点及其一旁的部分．

直线用直线上任意两个点来表示，如A、B是直线上任意两点，则这条直线可表示为直线AB或直线BA，字母是无序的．

直线还可以用一个小写字母来表示，如直线l．

4、经过两点有且只有一条直线．

这条性质包含两层含义：

一是说经过两点有一条直线，肯定有，不是没有，即存在性；二是说经过两点只有一条直线，不会多，即惟一性．

这个性质可简单表达为：

两点确定一条直线，通常称为直线公理.

如果两条直线经过同一点，称这两条直线相交，有惟一的公共点，这个公共点叫交点．

二、典型例题：

例1、〔1〕如下图的两条直线交于P点，用两种方法表示这两条直线是__________．

〔2〕如下图，在以下语句中，能正确表示出图形特点的有〔　〕

①直线l经过点A、B；

②点A和点B都在直线l上；

③直线l是A、B两点所确定的直线；

④l是一条直线，A、B是直线l上任意两点

A．1句　　　　B．2句　　　　C．3句　　　　　D．4句

　　〔3〕如图所表示的含义，以下说法正确的选项是〔　〕

A．延长射线AB　　　　　　　B．延长线段AB

C．反向延长线段BA　　　　　D．反向延长线段AB

〔4〕如图，直线上有A、B、C三点，以下说法正确的有〔　〕

①射线AB与射线BC是同一条射线；

②直线AB经过点C；

③射线AB与射线AC是同一条射线；

④直线AB与直线BC是同一条直线．

A．1个　　　　B．2个　　　　C．3个　　　　D．4个

〔5〕如图，对于直线AB，线段CD，射线EF，其中能相交的是〔　〕

例2、如图中，能用字母表示的直线、射线、线段各有几条，分别是哪几条？

例3、已知平面内的四个点A、B、C、D，过其中两个点画直线，可以画出几条？

例4、〔1〕如图，线段AB上有C，D两点，则图中共有线段〔　〕

　　　A．3条　　　　B．4条　　　　C．5条　　　　D．6条

　　〔2〕乘火车从A站出发，沿途经过3个车站方可到达B站（如图），那么A、B两站之间需要安排多少种不同的车票．

1.4线段的比较与做法

一、知识归纳

1、两点之间的所有连线中，线段最短．简单说成两点之间线段最短.

2、两点之间线段的长度，叫做这两点间的距离．

线段的长度可用有刻度的直尺测量．

3、线段大小的比较方法

（1）叠合法．如比较线段AB、CD的大小，可将线段AB、CD移到同一条射线上，使它们的端点A、C都与射线的端点重合，再由点B与点D的位置关系，就可得出线段AB和CD的三种大小关系．

（2）度量法．先用刻度尺量每条线段的长度，再按照长度比较它们的大小．线段的大小关系和它们长度的大小关系是一致的．

表示方法：

用几何语言表述两线段比较可能出现的三种结果．

假设两线段为线段AB、线段CD，如上图，则分别有如下结论：

ABCD

4、线段的中点

如果点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，那么点M叫做线段AB的中点，类似地，线段有三等分点、四等分点等．

如下图，假设点M是线段AB的中点，则

AM=BM=

AB或AB=2AM=2BM．

二、典型例题：

例1、〔1〕如图，A、B是河流l两旁的两个村庄，假设在河流l上建一个水厂，使它到两个村庄铺设的供水管道最短，请你在l上标出点C的位置，并说明理由．

〔2〕一个圆柱形的柱子，一只蚂蚁由柱子的一条高AB的最底端B点沿侧面转圈爬到顶端A点，问小蚂蚁怎么走路线最短？

例2、〔1〕C是线段AB的中点，D是线段BC上一点，则以下说法不正确的选项是〔　〕

A．CD=AC－BD　　B．

C．CD=AD－BC　　　D．

〔2〕如果点B在线段AC上，那么以下表达式中：

①

，②AB=BC，③AC=2AB，④AB＋BC=AC．能表示B是线段AC的中点的有〔　〕

A．1个　　　　B．2个　　　　C．3个　　　　D．4个

〔3〕已知线段AB=10cm，PA＋PB=20cm，以下说法正确的选项是〔　〕

A．点P不能在直线AB上B．点P只能在直线AB上

C．点P只能在线段AB的延长线上D．点P不能在线段AB上

例3、如下图，C是线段AB的中点，D是线段CB的中点，BD＝2cm，求AD的长．

例4、已知线段AB=8cm，在直线AB上有一点C，且BC=4cm，M是线段AC的中点，求线段AM的长.

第二章有理数

有理数正数与负数〔1〕

一、知识归纳：

1、正数：

像，3，2，1.8%这样大于0的数叫做正数．

2、负数：

像－3，－2，－2.7%这样在正数前面加上负号“－”的数叫做负数．

3、0：

0既不是正数，也不是负数．

一般地“＋”号往往省略不写，但负数前面的“－”号不能省略.

对于正数和负数的概念，不能简单地理解为：

带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数.学会用正、负数表示具有相反意义的量．相反意义的量包含两个要素：

一是意义相反.如向东的反向是向西，上升与下降，收入与支出．二是他们都是数量．

数0既不是正数又不是负数，是正数和负数的分界，是基准．

二、典型例题：

例1、以下四组数中，都是正数或都是负数的是〔　〕

①4，1，

，0.3　　　　②2，－3，0　　　　③－1，－0.1，

　　　　④－2009，－2，0

A．①③④　　　　B．②④　　　　　C．①③　　　　　　D．①②③

例2、将以下各数填入相应的括号内：

－2.5，3.14，－2，＋72，－0.6，0，

．

例3、以下说法中不正确的选项是〔　〕

A．0是自然数　　　B．0是正数C．0是整数　　　D．0表示没有

例4、一个物体沿着南北方向在运动，假设规定向南记作正，向北记作负，则该物体：

〔1〕向南运动20米记作__________，向北运动50米记作__________；〔2〕＋25表示向____运动__________米，－26表示向__________运动__________米；〔3〕原地不动记作__________．

例5、学校篮球队选拔男队员，按规定队员的标准身高为175cm，高于标准身高记录为正，低于标准身高记录为负，现有参选队员5人，量得他们的身高后，分别记录为－6cm，－4cm，＋1cm，＋2cm，－7cm，假设实际选拔的男队员的身高为170cm～180cm，那么上述五人中有几人可入选？

例6、数学考试成绩以96分以上为优秀，以96分为标准，老师将某组的八名同学的成绩简记为：

＋4，－3，＋10，－10，＋16，－17，0，＋7.5．

〔1〕分别写出这八名同学的实际成绩；〔2〕求出这八名同学的平均分．

例7、小虫从某点O出发在同一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次记为〔单位：

厘米〕：

＋5，－3，＋10，－8，－6，＋12，－10．

〔1〕小虫离开出发点O最远时是多少厘米？

〔2〕小虫从出发到最后停下来回共爬行多少厘米？

例8、观察以下一列数：

1，－2，－3，4，－5，－6，7，－8，－9，……

〔1〕请写出这一列数中的第100个数和第2009个数．

〔2〕在前2010个数中，正数和负数分别有多少个？

〔3〕2011和－2011是否在这一列数中，假设在，请写出它们分别是第几个数？

假设不存在，请说明理由．

2.1有理数〔2〕

一、知识归纳：

有理数的分类：

整数：

正整数、0、负整数统称为整数；

分数：

正分数和负分数统称为分数；

有理数：

整数和分数统称为有理数；

二、典型例题：

例1、以下说法正确的选项是〔　〕

A．有理数是正数B．有理数包括正数和负数

C．零不是有理数D．有理数包括正有理数、0和负有理数

例2、以下关于有理数分类正确的选项是〔　〕

A．有理数分为正有理数和负有理数；B．有理数分为正整数、负整数、正分数、负分数；

C．有理数分为正有理数，0，分数；D．有理数分为自然数，负整数，分数．

例3、把以下各数填在相应的大括号里：

负数{}；整数{}；自然数{}；分数{}．

　－5，2，

例4、在数6.4，－π，－0.6，

，10.1，－2010中〔　〕

A．有理数有6个　　　　　　　B．－π是负数

C．非正数有3个　　　　　　　D．以上都不对

例5、以下各数：

3，－5，

，0.2，0.97，－0.21，－6，3009，

，1．其中正数有________个，负数________个，正分数有________个，负分数有________个，非负整数有________个．

例6、按规律填空：

〔1〕－1，－2，3，－4，－5，6，________，________，________；

〔2〕

________，________，________；

〔3〕－1，－3，－5，－7，________，________，________．

例7、将一串有理数按以下规律排列，答复以下问题：

〔1〕在A处的数是正数还是负数？

〔2〕负数排在A、B、C、D中的什么位置？

〔3〕第2010个数是正数还是负数？

排在对应于A、B、C、D中的什么位置？

例8、已知A、B、C三个集合，每个集合中所包含的数都写在各自的大括号内，请把这些数填在以下图圈内的相应位置．

A={－2，－3，－8，6，7}；B={－3，－5，1，2，6}；C={－1，－3，－8，2，5}．

数轴

一、知识归纳：

〔一〕数轴：

规定了原点、单位长度和正方向的直线。

三要素：

原点、正方向、单位长度．

〔二〕包含三个内容：

第一是数轴是一条直线，可以向两方无限延伸；

第二是数轴的三要素——原点、正方向、单位长度，缺一不可；

第三是原点的选定、正方向的取向、单位长度确实定都是规定的，通常取向右为正方向．

所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的不都是有理数．

〔三〕数轴的画法

〔1〕画直线〔一般画水平的〕；

〔2〕在直线上取一点定为原点“0”〔在原点下方标上“0”〕；

〔3〕取原点向右的方向为正方向，并用箭头表示出来；

〔4〕选取适当的长度作为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3，4，…，从原点向左，每隔一个单位长度取一点依次表示为－1，－2，－3，…零用原点表示．如图：

二、典型例题：

例1、以下各图中，是数轴的是〔　〕

A．

　B．

C．

　D．

例2、数轴上原点及原点左边的点表示__________．

例3、如图，指出数轴上A、B、C、D、E分别表示什么数．

A点表示______；B点表示______；C点表示______；D点表示______；E点表示________．

例4、在数轴上距原点2010个单位长度的点表示的数是〔　〕

A．2010　　　　　B．－2010C．2010或－2010　　　　　D．以上都不对

例5、2008年8月第29届奥运会在北京开幕，5个城市的国际标准时间〔单位：

时〕在数轴上表示如下图，那么北京时间2008年8月8日20时应是〔　〕

A．伦敦时间2008年8月8日11时B．巴黎时间2008年8月8日13时

C．纽约时间2008年8月8日5时D．首尔时间2008年8月8日19时

例6、数轴上点A和点B表示的数分别是－1.2和2.2，点C到A，B两点的距离相等，则点C表示的数是〔　〕

例7、已知数轴上有三个点A、B、C，点A表示的数是2，点B在点A的左侧5个单位长度，点C在点B的右侧4个单位长度，则点B表示的数是__________，点C表示的数是__________．

例8、在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C．

〔1〕写出A、B、C三点表示的数；

〔2〕根据点C在数轴上的位置，C点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度得到的？

例9、已知在一条只有正方向的不完整的数轴上有A，B，C，D四个点，如下图，

〔1〕假设点C是原点，单位长度是1，则A，B，C，D四点分别表示什么数？

〔2〕假设点B是原点，点C表示的数为10，则A，D两点所表示的数分别是什么数？

〔3〕假设D点表示的数是6，A点表示的数是－12，则在图中标出原点的位置，并写出B，C两点各表示什么数？

例10、〔1〕一只蝈蝈在数轴上跳动，先从A处向左跳1个单位长度到B，然后由B向右跳2个单位长度到C，假设C表示的数为－3，则点A所表示的数为__________．

〔2〕假设蝈蝈第一步从P0向左跳1个单位长度到P1，第二步从P1向右跳2个单位长度到P2，第三步由P2向左跳3个单位长度到P3，第四步由P3向右跳4个单位长度到P4，……，按以上规律跳了100步，蝈蛔落在数轴上的点P100所表示的数是2010，则这只蝈蝈初始位置P0所表示的数是__________．

相反数与绝对值〔1〕

一、知识归纳：

〔一〕相反数：

只有符号不同的两个数叫做互为相反数．

〔1〕代数意义：

只有符号不同的两个数叫互为相反数，其中一个数叫另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．零的相反数是零．

〔2〕几何意义：

在数轴上的原点两旁，离原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数.

〔3〕性质：

互为相反数的和为0，即a＋b＝0

a、b两数互为相反数.

〔4〕符号：

在一个数前面加“－”号表示这个数的相反数，如数a的相反数是－a.

强调：

“只有符号不同的两个数”中的“只有”指的是除了符号不同以外完全相同．不能理解为只要符号不同的两个数就是互为相反数．

〔二〕除零外的两个相反数在数轴上，位于原点的两侧，且到原点的距离相等，即一个正数的相反数是一个负数；一个负数的相反数是一个正数；0的相反数仍是0．

二、典型例题：

例1、如图，表示互为相反数的两个数的点是〔　〕

A．A和C　　　B．A和DC．B和C　　　D．B和D

例2、化简以下各数的符号：

〔1〕－〔＋5〕　　〔2〕＋〔－3〕〔3〕－[－〔＋6〕]　　　〔4〕－[－〔－8〕]

例3、以下各对数中，互为相反数的有〔　〕

1－1〕与＋〔－1〕②＋〔＋2〕与－2③－〔－3〕与＋〔－3〕

④

⑤＋[－〔＋4〕]与[＋〔－4〕]⑥－[－〔＋2〕]与＋[＋〔－2〕]

A．1对　　　　　B．2对　　　　　C．3对　　　　　　D．4对

例4、点A，B，C，D在数轴上的位置如下图，其中表示－2的相反数的点是__________．

例5、如下图，是一个正方体纸盒的展开图，假设在其中的三个正方形A、B、C内分别填入适当的数，使得它们折成正方体后相对的面上的两个数互为相反数，则填入正方形A、B、C内的三个数依次为〔　〕

A．1，－2，0　　　　　B．0，－2，1C．－2，0，1　　　　　D．－2，1，0

例6、数轴上的点A向右移5个单位长度后到点A′，假设A与A′表示的数恰好互为相反数，那么点A表示的数是〔　〕

A．2.5　　　C．5　　　　　D．－5

例7、已知有理数a、b在数轴上的位置如下图：

〔1〕在数轴上表示出－a、－b；〔2〕比较a、b、－a、－b的大小〔用“＞”连接〕．

例8、如下图，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上，

〔1〕假设点A和点C表示的数互为相反数，则原点为__________；

〔2〕假设点B和点D表示的数互为相反数，则原点为__________；

〔3〕假设点A和点D表示的数互为相反数，在数轴上表示出原点的位置．

例9、数轴上到原点的距离小于2的整数点的个数为x，不大于2的整数点的个数为y，等于2的整数点的个数为z，求x＋y＋z的值．

2.3相反数与绝对值〔2〕

一、知识归纳：

〔一〕绝对值：

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|．

绝对值的几何意义：

一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作|a|.

绝对值的代数意义：

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

注意：

取绝对值也是一种运算，运算符号是“||”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.

〔二〕绝对值的性质：

①一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

②绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.如果假设干个非负数的和为0，那么这假设干个非负数都必为0.例如：

假设|a|＋|b|＋|c|＝0，则a＝0，b＝0，c＝0.

③任何一个有理数都是由两部分组成：

符号和它的绝对值，如－5符号是负号，绝对值是5.非负数的绝对值等于它本身；非正数的绝对值等于它的相反数．

二、典型例题：

例1、一个数的绝对值是2010，则这个数是__________；绝对值小于6的整数有__________个，它们是__________．

例2、如果a的相反数是最大的负整数，b是绝对值最小的数，那么a＋b＝__________．

例3、如图，数轴上的点A所表示的是有理数a，则点A到原点的距离是__________．

例4、绝对值不大于4的非负整数有〔　〕

A．4个　　　　B．5个　　　　　C．7个　　　　D．9个

例5、以下各对数中，互为相反数的是〔　〕

A．－〔－20〕和|－20|B．|－3|和|＋3|C．－〔－12〕和－|－12|D．|a|和|－a|

例6、|3.14－π|的值为〔〕

例7、如果|－a|=－a，以下成立的是〔　〕

A．a＜0　　　　B．a≤0　　　　　C．a＞0　　　　　　D．a≥0

例8、以下各题正确的选项是〔　〕

①假设m=n，则|m|=|n|②假设m=－n，|m|=|n|③假设|m|=|n|，则m=－n④假设|m|=|n|，则m=n

A．①②　　　　B．③④　　　　　C．①④　　　　　D．②③

例9、当x＝__________时，|x|＋5取最小值，这个最小值是__________；当a＝__________时，36－|a－2|取最__________值，这个值为__________．

例10、已知|a|＝2，|b|＝3，|c|＝3，且有理数a，b，c在数轴上的位置如图，计算a＋〔－b〕＋c的值．

例11、已知|a＋2|＋|b－1|=0，求a、b的值．

例12、按规定，食品包装袋上都应标明袋内装食品有多少克，下表是几种饼干的检验结果，“＋”“－”号分别表示比标准重量多和少，用绝对值判断哪一种食品最符合标准．

威化

咸味

甜味

酥脆

＋10〔g〕

－8.5〔g〕

＋5〔g〕

－3〔g〕

2.3利用绝对值比较有理数的大小〔3〕

一、知识归纳：

正数＞0＞负数

〔1〕一个数的绝对值越大，表示这个数在数轴上表示的点离原点越远． 

〔2〕两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的反而小．

有理数大小比较小结：

能化简的先化简,然后按照有理数大小比较法则进行比较：

异号两数比较大小，负数总是小于正数；

两正数比较大小：

绝对值大的数大于绝对值小的数；

两负数比较大小：

绝对值大的反而小；

负数小于零；零小于正数.

二、典型例题：

例1、〔1〕两个正数，绝对值大的__________；两个负数，绝对值大的__________．〔填“大”或“小”〕

〔2〕用“＞”或“＜”填空：

①－5__________－7；②

；③－