中考数学真题分类训练专题14图形的相似.docx
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中考数学真题分类训练专题14图形的相似
2019年中考数学真题分类训练——专题14:
图形的相似
一、选择题
1.(2019邵阳)如图,以点O为位似中心,把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′,以下说法中
错误的是
A.△ABC∽△A′B′C′
B.点C、点O、点C′三点在同一直线上
C.∶′=1∶2
AOAA
D.AB∥A′B′
【答案】C
2.(2019温州)如图,在矩形
ABCD中,E为AB中点,以BE为边作正方形BEFG,边EF交CD于点H,在
边BE上取点M使BM=BC,作MN∥BG交CD于点L,交FG于点N,欧几里得在《几何原本》中利用该图解释
了(+)(﹣
)=2﹣
2,现以点
F
为圆心,
FE
为半径作圆弧交线段
于点
,连结
,记△
的面
abab
a
b
DH
P
EP
EPH
积为S1,图中阴影部分的面积为
S2.若点A,L,G在同一直线上,则
S1的值为
S2
A.
2
B.
2
23
2
C.
4
【答案】C
3.(2019淄博)如图,在△
则△ABD的面积为
A.2a
C.3a
【答案】C
4.(2019杭州)如图,在△
重合),连接AM交DE于点
A.ADAN
ANAE
C.DNNE
BMMC
【答案】C
2
D.
6
ABC中,AC=2,BC=4,D为BC边上的一点,且∠CAD=∠B.若△ADC的面积为a,
B.5a
2
D.7a
2
ABC中,点D,E分别在AB和AC上,DE∥BC,M为BC边上一点(不与点B,C
N,则
BDMN
B.
MNCE
DNNE
D.
MCBM
5.(2019玉林)如图,AB∥EF∥DC,AD∥BC,EF与AC交于点G,则是相似三角形共有
A.3对B.5对C.6对D.8对
【答案】C
6.(2019常德)如图,在等腰三角形△ABC中,AB=AC,图中所有三角形均相似,其中最小的三角形面积
为1,△ABC的面积为42,则四边形DBCE的面积是
A.20B.22C.24D.26
【答案】D
7.(2019凉山)如图,在△ABC中,D在AC边上,AD∶DC=1∶2,O是BD的中点,连接AO并延长交BC于
E,则BE∶EC=
A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.2∶3
【答案】B
8.(2019赤峰)如图,D、E分别是△ABC边AB,AC上的点,∠ADE=∠ACB,若AD=2,AB=6,AC=4,则AE
的长是
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
9.(2019重庆)如图,△ABO∽△CDO,若BO=6,DO=3,CD=2,则AB的长是
A.2B.3C.4D.5
【答案】C
10.(2019连云港)在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中,根据“马走日”的规则,“马”
应落在下列哪个位置处,能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、
“兵”所在位置的格点构成的三角形相似
A.①处B.②处C.③处D.④处
【答案】B
11.(2019安徽)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=12,点D在边BC上,点E在线段AD上,
EF⊥AC于点F,EG⊥EF交AB于点G.若EF=EG,则CD的长为
A.3.6B.4C.4.8D.5
【答案】B
12.(2019兰州)已知△ABC∽△A'B'C',AB=8,A'B'=6,则BC=
B'C'
A.2
B.4
C.3
D.16
3
9
【答案】B
13.(2019常州)若△ABC~△A′B'C′,相似比为
1∶2,则△ABC与△A'B′C'的周长的比为
A.2∶1
B.1∶2
C.4∶1
D.1∶4
【答案】B
二、填空题
14.(2019吉林)在某一时刻,测得一根高为
1.8m的竹竿的影长为
3m,同时同地测得一栋楼的影长为
90m,则这栋楼的高度为
__________m.
【答案】54
15.(2019台州)如图,直线
l
1∥
2∥
3,,,
分别为直线
l
1,
2,
3上的动点,连接
,,,线
l
l
ABC
l
l
ABBCAC
段AC交直线l2于点
D.设直线l1,l2之间的距离为m,直线l
2,l3之间的距离为
n,若∠ABC=90°,
BD=4,且m
2
,则m+n的最大值为__________.
n
3
25
【答案】
16.(2019南京)如图,在△ABC中,BC的垂直平分线MN交AB于点D,CD平分∠ACB.若AD=2,BD=3,
则AC的长__________.
【答案】
10
17.(2019)
烟台)如图,在直角坐标系中,每个小正方形的边长均为
1个单位长度,△ABO的顶点坐标分别
为A(-2,-1),B(-2,-3),O(0,0),△A1B1O1的顶点坐标分别为A1(1,-1),B1(1,-5),O1(5,
1),△
与△
111是以点
P
为位似中心的位似图形,则
P
点的坐标为__________.
ABO
ABO
【答案】(-5,-1)
18.(2019)本溪)在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别是A(4,2),B(5,0),以点O为位似中心,
相似比为1,把△ABO缩小,得到△A1B1O,则点A的对应点A1的坐标为__________.
2
【答案】(2,1)或(-2,-1)
19.(2019宜宾)如图,已知直角△ABC中,CD是斜边AB上的高,AC=4,BC=3,则AD=__________.
【答案】16
5
20.(2019河池)如图,以点O为位似中心,将△OAB放大后得到△OCD,OA=2,AC=3,则AB=__________.
CD
【答案】2
5
21.(2019淮安)如图,
l
1
∥
2
∥
3,直线
a
、
b
与
l
1、
2、
3分别相交于点
、、
和点
、、.若
=3,
l
l
l
l
ABC
DEF
AB
DE=2,BC=6,则EF=__________.
【答案】4
三、解答题
22.(2019福建)已知△ABC和点A',如图.
(1)以点A'为一个顶点作△A'B'C',使△A'B'C'∽△ABC,且△A'B'C'的面积等于△ABC面积的4倍;(要求:
尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点,D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、
B'C'、C'A'的中点,求证:
△DEF∽△D'E'F'.
解:
(1)作线段A'C'=2AC、A'B'=2AB、B'C'=2BC,得△A'B'C'即可所求.
∵A'C'=2AC、A'B'=2AB、B'C'=2BC,
∴△ABC∽△A′B′C′,∴S△A'B'C'(A'B')24.
S△ABCAB
(2)如图,
∵D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点,
∴DE1BC,DF1AC,EF1AB,
222
∴△DEF∽△ABC
同理:
△D'E'F'∽△A'B'C',
由
(1)可知:
△ABC∽△A′B′C′,
∴△DEF∽△D'E'F'.
23.(2019绍兴)如图,矩形
ABCD中,AB=a,BC=b,点M,N分别在边AB,CD上,点E,F分别在边BC,
AD上,MN,EF交于点P,记k=MN:
EF.
(1)若:
b
的值为
1,当
⊥
时,求
k
的值.
a
MNEF
(2)若a:
b的值为
1
,求k的最大值和最小值.
2
(3)若k的值为3,当点N是矩形的顶点,∠MPE=60°,MP=EF=3PE时,求a:
b的值.
解:
(1)如图1中,
作FH⊥BC于H,MQ⊥CD于Q,设EF交MN于点O.
∵四边形ABCD是正方形,∴FH=AB,MQ=BC,
∵AB=CB,∴FH=MQ,
∵EF⊥MN,∴∠EON=90°,
∵∠ECN=90°,∴∠MNQ+∠CEO=180°,∠FEH+∠CEO=180°,∴∠FEH=∠MNQ,∵∠EHF=∠MQN=90°,
∴△FHE≌△MQN(ASA),∴MN=EF,∴k=MN:
EF=1.
(2)∵a:
b=1:
2,∴b=2a,
由题意:
2≤
5a
,
≤
EF
,
aMN
a
5a
∴当MN的长取最大时,EF取最短,此时
k的值最大,最大值为
5,
当MN的长取最短时,EF的值取最大,此时
k的值最小,最小值为
25.
5
(3)连接FN,ME.
MNEF
∵k=3,MP=EF=3PE,∴3,
PMPE
PNPF
∴2,
PMPE
∴△PNF∽△PME,
NFPN
∴2,ME∥NF,
MEPM
设PE=2m,则PF=4m,MP=6m,NP=12m,
①如图2中,当点N与点D重合时,点M恰好与点B重合.过点F作FH⊥BD于点H.
∵∠=∠=60°,
MPE
FPH
∴PH=2m,FH=23m,DH=10m,
∴a
AB
FH
3.
b
AD
HD
5
②如图
3中,当点
N与点C重合,过点E作EH⊥MN于点H.则PH=m,HE
3m,
∴=+=13,∴tan∠
HCE
MB
HE
3
,
HCPHPCm
BC
HC
13
∵ME∥FC,∴∠MEB=∠FCB=∠CFD,
∵∠B=∠D,∴△MEB∽△CFD,
∴CD
FC
2,∴a
CD
2MB
23,
MB
ME
b
BC
BC
13
综上所述,a:
b的值为
3或23.
5
13
24.(2019凉山)如图,∠ABD=∠BCD=90°,DB平分∠ADC,过点B作BM∥CD交AD于M.连接CM交DB于
N.
2
(1)求证:
BD=AD·CD;
(2)若CD=6,AD=8,求MN的长.
解:
(1)证明:
∵DB平分∠ADC,
∴∠ADB=∠CDB,且∠ABD=∠BCD=90°,
∴△ABD∽△BCD,
∴ADBD,
BDCD
2
∴BD=AD·CD.
(2)∵BM∥CD,∴∠MBD=∠BDC,
∴∠ADB=∠MBD,且∠ABD=90°,∴BM=MD,∠MAB=∠MBA,
∴BM=MD=AM=4,
22
∵BD=AD·CD,且CD=6,AD=8,∴BD=48,
222
∴BC=BD-CD=12,
222
∴MC=MB+BC=28,
∴MC=27,
∵BM∥CD,∴△MNB∽△CND,
∴BM
MN
2
,且MC=2
7,
CD
CN
3
∴MN=47.
5
25.(2019舟山)小波在复习时,遇到一个课本上的问题,温故后进行了操作、推理与拓展.
(1)温故:
如图1,在△ABC中,AD⊥BC于点D,正方形PQMN的边QM在BC上,顶点P,N分别在AB,AC
上,若BC=a,AD=h,求正方形PQMN的边长(用a,h表示).
(2)操作:
如何画出这个正方形PQMN呢?
如图2,小波画出了图1的△ABC,然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作:
先在AB上任取
一点P',画正方形P'Q'M'N',使点Q',M'在BC边上,点N'在△ABC内,然后连结BN',并延长交AC于点
N,画NM⊥BC于点M,NP⊥NM交AB于点P,PQ⊥BC于点Q,得到四边形PQMN.
(3)推理:
证明图2中的四边形PQMN是正方形.
(4)拓展:
小波把图2中的线段BN称为“波利亚线”,在该线上截取NE=NM,连结EQ,EM(如图3),当
∠QEM=90°时,求“波利亚线”BN的长(用a,h表示).
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题.
解:
(1)证明:
如图1,由正方形PQMN得PN∥BC,∴△APN∽△ABC,
∴NPAE,即PNhPN,
BCADah
解得PNah.
ah
(3)证明:
由画法得,∠QMN=∠PNM=∠POM=90°,∴四边形PQMN为矩形,
∵N'M'⊥BC,NM⊥BC,
∴NM'∥NM,
∴△BN'M'∽△BNM,
∴N'M'BN',同理可得
NMBN
∴N'M'
P'N'
.
NM
PN
N'P'=BN',
NPBN
∵N′M′=P′N′,∴NM=PN,
∴四边形PQMN为正方形.
(4)如图2,过点N作NR⊥ME于点R.
∵NE=NM,∴∠NEM=∠NME,
∴ER=RM=1EM,
2
又∵∠EQM+∠EMQ=∠EMQ+∠EMN=90°,
∴∠EQM=∠EMN.
又∠QEM=∠NRM=90°,NM=QM,
∴△EQM≌△RMN(AAS),
∴EQ=RM,
∴EQ=1EM,
2
∵∠QEM=90°,∴∠BEQ+∠NEM=90°,
∴∠BEQ=∠EMB,
又∵∠EBM=∠QBE,
∴△BEQ∽△BME,
∴BQ
BE=EQ
1
.
BE
BMEM
2
设BQ=x,则BE=2x,BM=4x,
∴QM=BM–BQ=3x=MN=NE,
∴BN=BE+NE=5x,
∴BN=
5NM=
5ah
.
3
3a
3h
26.(2019巴中)△ABC在边长为1的正方形网格中如图所示.
①以点C为位似中心,作出△ABC的位似图形△A1B1C,使其位似比为1∶2.且△A1B1C位于点C的异侧,并
表示出A1的坐标.
②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C.
③在②的条件下求出点B经过的路径长.
解:
①如图,△A1B1C为所作,点A1的坐标为(3,-3).
②如图,△A2B2C为所作.
③OB=12
42
17,
点
B
经过的路径长=90π17
17
.
180
2
π
27.(2019衢州)如图,在
Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,∠BAC=60°,AD平分∠BAC交BC于点D,过点
D作DE∥AC交AB于点E,点M是线段AD上的动点,连结
BM并延长分别交DE,AC于点F、G.
(1)求CD的长.
(2)若点M是线段AD的中点,求EF的值.
DF
(3)请问当
DM的长满足什么条件时,在线段
DE上恰好只有一点
P,使得∠CPG=60°?
解:
(1)∵
平分∠
,∠
=60°,
AD
BACBAC
∴∠DAC1
∠BAC=30°,
2
在Rt△ADC中,DC=AC?
tan30°=6
3
3.
2
3
(2)由题意易知:
BC=63,BD=43,
∵DE∥AC,∴∠EDA=∠DAC,∠DFM=∠AGM,
∵AM=DM,∴△DFM≌△AGM(ASA),∴DF=AG,
由DE∥AC,得△BFE∽△BGA,
∴EFBEBD,AGABBC
∴EF
EF
BD
4
3
2
.
DF
AG
BC
6
3
3
(3)∵∠CPG=60°,过C,P,G作外接圆,圆心为Q,
∴△CQG是顶角为120°的等腰三角形.
①当⊙Q与DE相切时,如图1,过点Q作QH⊥AC于H,并延长HQ与DE交于点P.连结QC,QG.
设⊙Q的半径QP=r.则QH
1
r,r
1
r=23,
2
2
解得
r
4
3
,∴
CG
4
3
3
4
,
AG=2
3
3
,
易知△DFM∽△AGM,可得DM
DF
4
,
AM
AG
3
∴DM4
,∴DM163.
7
7
②当⊙Q经过点E时,如图2,过点C作CK⊥AB,垂足为K,
设⊙Q的半径QC=QE=r.则QK=33–r.
在Rt△EQK中,12+(33
r)2=r2,解得r
143,
9
∴CG143
3
14,
9
3
易知△DFM∽△AGM,可得DM143.
5
③当⊙Q经过点D时,如图3中,此时点M与点G重合,且恰好在点A处,可得DM=43.
∴综上所述,当
DM
163
或
143
≤4
3
时,满足条件的点
P
只有一个.
7
5
<DM
28.(2019荆门)如图,为了测量一栋楼的高度OE,小明同学先在操场上A处放一面镜子,向后退到B处,
恰好在镜子中看到楼的顶部
E;再将镜子放到
C处,然后后退到
D处,恰好再次在镜子中看到楼的顶部
E(O,
A,B,C,D在同一条直线上),测得
AC=2m,BD=2.1m,如果小明眼睛距地面髙度
BF,DG为
1.6m,试确
定楼的高度
OE.
解:
如图,设E关于O的对称点为M,由光的反射定律知,延长GC、FA相交于点M,连接GF并延长交OE
于点H,
∵GF∥AC,∴△MAC∽△MFG,
∴ACMAMO,FGMFMH
即:
AC
OE
OE
OE
,
BDMH
MOOH
OEBF
∴
OE
2,∴OE=32,
OE1.6
2.1
答:
楼的高度
OE为32米.
29.(2019安徽)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P为△ABC内部一点,且∠APB=∠BPC=135°.
(1)求证:
△PAB∽△PBC;
(2)求证:
PA=2PC;
(3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,求证h12=h2·h3.
证明:
(1)∵∠ACB=90°,AB=BC,
∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC,
又∠APB=135°,∴∠PAB+∠PBA=45°,
∴∠PBC=∠PAB,
又∵∠APB=∠BPC=135°,
∴△
∽△
.
PAB
PBC
(2)∵△PAB∽△PBC,∴PA
PB
AB,
PB
PC
BC
在Rt△ABC中,AB=AC,∴AB
2
,
BC
∴PB
2PC,PA
2PB,
∴PA=2PC.
(3)如图,过点P作PD⊥BC,PE⊥AC交BC、AC于点D,E,
∴PF=h1,PD=h2,PE=h3,
∵∠CPB+∠APB=135°+135°=270°,
∴∠APC=90°,
∴∠EAP+∠ACP=90°,
又∵∠ACB=∠ACP+∠PCD=90°,
∴∠EAP=∠PCD,
∴Rt△AEP∽Rt△CDP,