因为222×15—3194=136,222×16—3194=358,222×17-3194=580,222×18-3194=802,
其中只有3+5+8=16能满足①式,所以
=358.
14.某公园门票价格对达到一定人数的团队按团队票优惠.现有A、B、C三个旅游团共72人,如果各团单独购票,门票费依次为360元、384元、480元;如果三个团合起来购票,总共可少花72元.
(1)这三个旅游团各有多少人?
(2)在下面填写一种票价方案,使其与上述购票情况相符.
售票处
普通票
团体票(须满人)
每人
答案:
(1)360+384+480-72=1152(元),
1152÷72=16(元/人),即团体票是每人16元.
因为16不能整除360,所以A团未达到优惠人数.
若三个团都未达到优惠人数,则三个团的人数比为360:
384:
480=15:
16:
20,即三个团的人数分别为
,这都不是整数(只要指出其中某一个不是整数即可),不可能.所以B、C两团至少有一个团本来就已达到优惠人数.
这有三种可能:
①只有C团达到;②只有B团达到;③B、C两团都达到.
对于①,可得C团人数为480÷16=30,A、B两团共有42人,A团人数为15/31×42,不是整数,不可能.
刘于②,可得B团人数为384÷16=24,A、C两团共有48人,A团人数为15/35×48,不是整数,不可能.
所以必是③成立,即C团有30人,B团有24人,A团有18人.
售票处
普通票
团体票(须满20人)
每人20元
每人16元(或/或8折优惠)
15.在下边的加法算式中,每个口表示一个数字,任意两个数字都不同:
试求A和B乘积的最大值.
答案:
先通过运算的进位,将能确定的口确定下来,再来分析求出A和B乘积的最大值.
设算式为
显然,g=1,d=9,h=0.
a+c+f=10+B,b+e=9+A,∴A≤6.
2(A+B)+19=2+3+4+5+6+7+8=35,∴A+B=8.
要想A×B最大,∵A≤6,∴取A=5,B=3.此时b=6,e=8,a=2,c=4;f=7,
故A×B最大值为15.
16.任给一个自然数N,把N的各位数字按相反的顺序写出来,得到一个新的自然数N′,试证明:
能被9整数.
答案:
令N=
,则N′=
.所以,N除以9所得的余数等于a1+a2+…+an除以9所得的余数,而N′除以9所得的余数等于an+an-1+…+a1除以9所得的的余数.显然,a1+a2+…+an=an+an-1+…+a1.因此,N与N′除以9所得的余数相同,从而
能被9整除.
17.证明:
111111+112112十113113能被10整除.
答案:
要证明111111+112112十113113能被10整除,只需证明111111+112112十113113的末位数字为0,即证111111、112112、113113三个数的末位数字和为10.
证明:
111111的末位数字显然为1;112112=(1124)28,而1124的末位数字是6,所以112112的末位数字也是6;113113=(1134)28×113.1134的末位数字是1,所以113113的末位数字是3.
∴111111、112112、113113三个数的末位数字和为10,
∴111”’十112n’十113m能被10整除.
注:
本题是将证明被10整除转化为求三数的末位数字之和为10.解决数学问题时,常将未知的问题转化为熟知的问题,复杂的问题转化为简单的问题,这就是化归思想.
1.在下列数中,哪些能被4整除?
哪些能被9整除?
哪些能被3整除?
28、96、120、225、540、768、423、224、292
分析:
由可以被4、9、3整除的数的特征来考察这些数。
可被4整除的数要看数字的末两位。
可被9或3整除的数的特征相似,都是要先求出各个数位上的数字之和能否被9或3整除。
答案:
能被4整除的数:
28、96、120、540、768、224
能被9整除的数:
225、540、423
能被3整除的数:
96、120、225、540、768、423、294
2.
(1)五位数A1A72能被12整除;
(2)五位数4B97B能被12整除,求这两个五位数。
分析:
由于12=3×4,且3与4互质,那么能被12整除的数应具有的特点是既能被3整除也能被4整除。
答案:
(1)A1A72可被3整除则A+1+A+7+2=10+2A能被3整除,A取l、4。
因为末两位数72可被4整除,那么A1A72可被4整除。
所以这个五位数是1l172或41472。
(2)4B97B可被3整除,则4+B+9+7+B=20+2B能被3整除,B取2、5、8。
再由能被4整除的条件,末两位数7B要能被4整数,B可以取2或6。
同时符合上述两个条件的B取值只有2,所以这个五位数是42972。
3.有一个四位整数16□□,如果要让这个四位数同时能被2、3、4、5整除,那么这个四位数的末两位上应是什么数?
分析:
由于满足能被2、3、4整除的数比较多,所以先来看满足可以被5整除的数的特点,即个位数是0或5。
但若在个位填5,则不满足可以被2整除的条件,所以个位数字一定是0,若使这个四位数可以被4整除,则□0是4的整数倍,满足条件的有00、20、40、60、80。
最后再用可被3整除的条件来限制,找出正确的答案。
答案:
在1600、1620、1640、1660、1680这些数中易知1620与1680可以被3整除。
则这个四位数的末两位上是20或80。
4.要使六位数
能被36整除,而且所得的商最小,问这个六位数是多少?
分析:
由于
能被36整除,36=4×9,且4与9互质,所以这个六位数既能被4整除,又能被9整除。
再考虑“所得的商最小”这个条件,应首先是A尽量小,其次是B尽量小,最后是C尽量小。
答案:
使
能被4整除,则
能被4整除,因此C可能取1、3、5、7、9。
使
能被9整除,则1+8+A+B+C+6=15+A+B+C能被9整除。
要使所得的商最小,就要使
这个六位数尽可能小,即
尽量小。
因此首先是A尽量小,其次是B尽量小,最后是C尽量小。
先试取A=0。
此六位数的数字之和为A+B+C,欲使B、C尽量小,而且(15+B+C)能被9整除,则(B+C)取3,因为B+C=3,且C只能取l、3、5、7、9。
则C=3,B=0。
当A=0,B=0,C=3时,此六位数能被36整除,而且所得的商最小,为180036÷36=5001。
5.已知2002年的1月l日是星期二,那么
(1)2002年的12月5日是星期几?
(2)20年后的1月l日将是星期几?
分析:
因为星期是按规律重复出现的现象,星期一、星期二、……星期日、星期—……每7天重复一次。
所以要知道12月5日是星期几,须知从1月1日到12月5日之间有多少个7天。
求20年后的某天是星期几的算法相同。
答案:
(1)在2002年中从1月至12月,其中2月是28天,l、3、5、7、8、10月都是31天,4、6、9、11月都是30天,因此从1月1日到12月5日总共有,28+6×31+4×30+5=339(天)
由于一星期有7天,339=7×48+3,所以从1月1日到12月5日的339天中,共有48星期零3天,这3天就是从星期二起的3天,第三天是星期四。
所以12月5日是星期四。
(2)先求出这20年总共有多少天。
由于每年有365天,20年就有20×365=7300(天),而每四年有一个闰年,20年中有5个闰年,所以20年总共有20×365+5=7305(天)。
由于一个星期有7天,7305=7×1043+4说明20年中有1043个星期零4天,2002年1月1日是星期二,所以20年后的1月1日从星期二往后推4天,应该是星期六。
6.检验下面的算式是否正确:
(l)65343+35892+38462=139587
(2)2708×358=968464。
分析:
根据余数的特征,我们可以利用“弃九数”,不经过计算判断正误。
等号左右两边若弃九数相等,则等式可能成立。
若弃九数不等,则等式一定不成立。
而且两个因数的弃九数相乘,所得的数的弃九数应当等于两个因数的乘积的九余数。
如果不等,则乘法计算有错误。
答案:
(1)求各个加数的弃九数:
65343(6+5+3+4+3)÷9=2……3
35892(3+5+8+9+2)÷9=3……0
38462(3+8+4+6+2)÷9=2……5
139587(1+3+9+5+8+7)÷9=3……6
等号左边弃九数的和:
3+5=8,右边弃九数为6。
8≠6,则原算式计算有误。
(2)2708(2+7+0+8)÷9=l……8
358(3+5+8)÷9=1……7
8×7=56(5+6)÷9=1……2
968464(9+6+8+4+6+4)÷9=4……l
左边乘积的弃九数为2,右边结果弃九数为1。
2≠1,所以此算式有误。
7.已知两个整数相除商是13,余数是8,并且被除数与除数的差是308,求这两个整数。
分析:
由题中条件有:
被除数÷除数=13……8
被除数-除数=308,即被除数比除数大12倍多8,那么308=除数×12+8,则两数可求。
答案:
除数=(308-8)÷(13-l)
=25
被除数=308+25=333
答:
被除数是333,除数是25。
8.有一列数字:
l,2,9,4,7,1,2,9,4,7…
(1)第307个数是多少?
(2)这307个数相加的和是多少?
分析:
观察这一列数的循环规律,是按照l、2、9、4、7这个顺序每五个数依次重复排列的,一个循环是5个数,要看307个数中有几个这样的循环。
答案:
(1)307=5×61+2可知307里面有61个(1、2、9、4、7),还余两个数,所以第307个数是2。
(2)每个循环之和:
l+2+9+4+7=22,307个数中有61个循环及一个l、一个2。
所以这307个数的和为:
22×61+l+2=1345
答:
第307个数是2,307个数的和为1345。
1.在□内填上适当的数字,使
(1)34□□能同时被2、3、4、5、9整除;
(2)7□36□能被24整除;(3)□1996□□能同时被8、9、25整除.
分析:
(1)题目要求34□□能同时被2、3、4、5、9整除,因为能被4整除的数一定能被2整除,能被9整除的数一定能被3整除,所以34□□只要能被4、9、5整除,就一定能被2、3、4、5、9整除.先考虑能被5整除的条件.个位是0或5,再考虑能被4整除的条件,由于4不能整除34□5,所以个位必须是0,最后考虑能被9整除的条件,34□0的各个数位上的数字和是9的倍数,3+4+□+0=7+□,这时十位数字只能是2,问题得以解决.
(2)题目要求7□36□能被24整除,24=3×8,而3与8互质,根据整除的性质,考虑被24整除,只要分别考虑被3、8整除就行了.先考虑被8整除的条件,7□36□的末三位数所组成的数36□能被8整除,所以个位数字只能是0或8,当个位数字为0时,由于要求7□360能被3整除,所以7+□+3+6+0=16+□能被3整除,这样千