版数学浙江省学业水平考试专题复习选修215.docx
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版数学浙江省学业水平考试专题复习选修215
知识点一 空间向量的有关概念
名称
概念
表示
零向量
长度为0的向量
0
单位向量
模为1的向量
相等向量
方向相同且模相等的向量
a＝b
相反向量
与向量a长度相等而方向相反的向量
－a
共线向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
a∥b
共面向量
平行于同一个平面的向量
知识点二 共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理
1．共线向量定理
对空间任意两个向量a，b（b≠0），a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
推论：
如图所示，对空间任意一点O，点P在l上的充要条件是存在实数t，使
＝
＋ta，①
其中a叫做直线l的方向向量．在l上取
＝a，则①可化为
＝
＋t
.
2．共面向量定理的向量表达式：
p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量，推论的表达式为
＝x
＋y
或对空间任意一点O，有
＝
＋x
＋y
或
＝x
＋y
＋z
，其中x＋y＋z＝1.
3．空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底．
知识点三 空间向量的数量积及运算律
1．数量积及相关概念
（1）两向量的夹角
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作
＝a，
＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π.如果〈a，b〉＝
，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b.
（2）两向量的数量积
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
2．空间向量数量积的运算律
（1）（λa）·b＝λ（a·b）；
（2）交换律：
a·b＝b·a；
（3）分配律：
a·（b＋c）＝a·b＋a·c.
知识点四 空间向量的坐标运算
设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则：
（1）a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3）．
（2）a－b＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3）．
（3）λa＝（λa1，λa2，λa3）．
（4）a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.
（5）若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
（6）若b≠0，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3.
（7）|a|＝
＝
.
（8）cos〈a，b〉＝
＝
.
（9）若A（a1，a2，a3），B（b1，b2，b3），则
＝（b1－a1，b2－a2，b3－a3），dAB＝|
|＝
.
知识点五 立体几何中的向量方法
1．直线的方向向量与平面的法向量的确定
（1）直线的方向向量：
在直线上任取一非零向量即可作为它的方向向量．
（2）平面的法向量可利用方程组求出：
设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为
2．用向量证明空间中的平行关系
（1）设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2（或l1与l2重合）⇔v1∥v2.
（2）设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量为v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.
（3）设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.
（4）设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.
3．用向量证明空间中的垂直关系
（1）设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.
（2）设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.
（3）设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.
4．空间向量与空间角的关系
（1）设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cosθ＝|cos〈m1，m2〉|.
（2）设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成角θ满足sinθ＝|cos〈m，n〉|.
（3）求二面角的大小
①如图①所示，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈
，
〉．
②如图②③所示，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．
题型一 空间向量及其运算
例1 已知空间中三点A（－2,0,2），B（－1,1,2），C（－3,0,4），设a＝
，b＝
.
（1）求向量a与向量b的夹角的余弦值；
（2）若ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值．
解
（1）∵a＝
＝（1,1,0），b＝
＝（－1,0,2），
∴a·b＝1×（－1）＋1×0＋0×2＝－1.
又|a|＝
＝
，
|b|＝
＝
，
∴cos〈a，b〉＝
＝
＝－
，
即向量a与向量b的夹角的余弦值为－
.
（2）∵ka＋b＝（k－1，k,2），ka－2b＝（k＋2，k，－4），
∴（ka＋b）·（ka－2b）＝（k－1，k,2）·（k＋2，k，－4）
＝（k－1）（k＋2）＋k2－8
＝2k2＋k－10＝0，
∴k＝－
或k＝2.
感悟与点拨
（1）空间向量的运算法则及求解思想与平面向量相同，因此，可参照平面向量的运算法则和求解思想进行处理．
（2）空间向量的问题可通过坐标运算和非坐标的线性运算两种途径来处理，另外，要抓住垂直与平行两种特殊位置关系．
跟踪训练1
（1）（2018年4月学考）在三棱锥O－ABC中，若D为BC的中点，则
等于（ ）
A.
＋
－
B.
＋
＋
C.
＋
－
D.
＋
＋
（2）（2016年4月学考）已知空间向量a＝（2，－1,5），b＝（－4,2，x）（x∈R），若a⊥b，则x等于（ ）
A．－10B．－2C．2D．10
（3）已知向量a＝（1,2,3），b＝（x，x2＋y－2，y），并且a，b同向，则x，y的值分别为________．
答案
（1）C
（2）C （3）1,3
解析
（2）∵a⊥b，
∴a·b＝2×（－4）＋（－1）×2＋5x＝0，
得x＝2.
（3）∵a∥b，∴
＝
＝
，
解得
或
当
时，a＝－
b，不符合要求，舍去，
当
时，a＝b，符合要求，
∴
题型二 利用空间向量证明平行与垂直
例2 如图所示，已知在直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．求证：
（1）DE∥平面ABC；
（2）B1F⊥平面AEF.
证明
（1）如图建立空间直角坐标系Axyz，
令AB＝AA1＝4，
则A（0,0,0），E（0,4,2），F（2,2,0），B（4,0,0），B1（4,0,4）．
设AB的中点为N，连接CN，
则N（2,0,0），C（0,4,0），D（2,0,2），
∴
＝（－2,4,0），
＝（－2,4,0），
∴
＝
，∴DE∥NC，
又∵NC⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，
∴DE∥平面ABC.
（2）∵
＝（－2,2，－4），
＝（2，－2，－2），
＝（2,2,0）．
∴
·
＝（－2）×2＋2×（－2）＋（－4）×（－2）＝0，
·
＝（－2）×2＋2×2＋（－4）×0＝0.
∴
⊥
，
⊥
，即B1F⊥EF，B1F⊥AF，
又∵AF∩FE＝F，AF，FE⊂平面AEF，
∴B1F⊥平面AEF.
感悟与点拨
（1）用向量证明线面平行的方法：
①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；
②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；
③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示．
（2）用向量证明垂直的方法：
①线线垂直：
证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证明它们的数量积为零；
②线面垂直：
证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示；
③面面垂直：
证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．
跟踪训练2 在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．
（1）求证：
EF⊥CD；
（2）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．
（1）证明 如图所示，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，
设AD＝a，则D（0,0,0），A（a,0,0），
B（a，a,0），C（0，a,0），E
，
P（0,0，a），F
，
∴
＝
，
＝（0，a,0）．
∵
·
＝－
×0＋0×a＋
×0＝0，
∴
⊥
，即EF⊥CD.
（2）解 点G为AD的中点．
证明如下：
设G（x,0，z），
则
＝
.
若使GF⊥平面PCB，
则由
·
＝
·（a,0,0）
＝a
＝0，得x＝
；
由
·
＝
·（0，－a，a）
＝
＋a
＝0，得z＝0.
∴点G的坐标为
，即点G为AD的中点．
题型三 利用空间向量求空间角
例3 如图，在矩形ABCD中，AB＝2
，AD＝
，M为DC的中点，将△DAM沿AM折到△D′AM的位置，AD′⊥BM.
（1）求证：
平面D′AM⊥平面ABCM；
（2）若E为D′B的中点，求二面角E－AM－D′的余弦值．
（1）证明 由题意知，在矩形ABCD中，∠AMD＝∠BMC＝45°，
所以∠AMB＝90°，即AM⊥BM.
又D′A⊥BM，D′A∩AM＝A，D′A，AM⊂平面AD′M，
所以BM⊥平面D′AM，
又BM⊂平面ABCM，
所以平面ABCM⊥平面D′AM.
（2）解 由
（1）知，在平面D′AM内过M作直线NM⊥MA，
则NM⊥平面ABCM，
故以M为原点，
，
，
分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则M（0,0,0），A（2,0,0），
B（0,2,0），D′（1,0,1），
于是E
，
＝（2,0,0），
＝
，
设平面EAM的法向量为m＝（x，y，z），
则
令y＝1，得z＝－2，
则平面EAM的一个法向量m＝（0,1，－2），
显然平面D′AM的一个法向量为n＝（0,1,0），
故cos〈m，n〉＝
，
由图知，二面角为锐角，
即二面角E－AM－D′的余弦值为
.
感悟与点拨
（1）用向量方法求两条异面直线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来求解．
（2）用向量法求线面角，是通过直线的方向向量和平面的法向量来求解．
（3）求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
跟踪训练3
（1）如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M为PB的中点，PA＝AD＝2.若AB＝1，则二面角B－AC－M的余弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 因为BC⊥平面PAB，AD∥BC，所以AD⊥平面PAB，PA⊥AD，
又PA⊥AB，且AD∩AB＝A，AD，AB⊂平面ABCD，
所以PA⊥平面ABCD.
以点A为坐标原点，分
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