9 433 余角和补角.docx

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9433余角和补角

4.3.3　余角和补角

情景导入

置疑导入

归纳导入

复习导入

类比导入

悬念激趣

情景导入　举世闻名的比萨斜塔位于意大利的比萨小镇,是一座由白色云石建成的古塔.该塔发生倾斜但斜而不倒,比萨斜塔因此远近闻名.比萨斜塔始建于1173年,从地面到塔顶高55米,自建成以后曾发生多次倾斜,常人只凭眼睛也能察觉.意大利科学家伽利略曾在斜塔的顶层做过自由落体运动实验,开创了实验物理的新时代,斜塔也因而更加闻名遐迩.意大利政府曾想尽办法制止古塔的继续倾斜,但到目前为止未能成功.你知道斜塔的倾角是多少度吗?

你能用什么方法测量呢?

下面是某位游客设计的测量斜塔倾角的方案:

将斜塔看成一条线段OA,在正午太阳直射地面时标记塔顶的影子B,画出直线OB,想办法测出了∠AOB=85°.

图4-3-31

问题:

（1）斜塔OA倾斜了多少度?

（2）斜塔OA与OC所成的角是多少度?

（3）斜塔OA与直线OB所成的另外一个角（即∠AOD）是多少度?

[说明与建议]说明:

从学生的兴趣着手,激发学生的探究欲望,给学生一种轻松的心理氛围,易于学生学习新知识,让学生注重观察生活,知道数学来源于生活,并服务于生活.建议:

让学生自由组合,相互讨论,活跃课堂气氛,从他们的兴趣入手,让学生无形中参与到课堂的活动中,在学生的讨论探究中口头归纳出余角和补角的性质.

复习导入　（课件演示）计算:

（1）44°+46°=　90°　;

（2）30°20'34″+59°39'26″=　90°　; 

（3）10°+25°+55°=　90°　;（4）96°+84°=　180°　; 

（5）58°45'+121°15'=　180°　. 

学生计算并回答,总结它们的特点.

[说明与建议]说明:

通过计算复习上节课的知识,设置悬念,调动学生的积极性,更进一步促使学生渴望尽快寻求到答案,同时也为判断余角和补角做铺垫.建议:

教师应关注:

（1）计算的准确性;

（2）学生是否认真观察并思考.

教材母题——教材第137页例3

如图4-3-32,点A,O,B在同一条直线上,射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC,图中那些角互为余角?

图4-3-32

【模型建立】

互余与互补是指两个角的关系,互余和互补的两个角,只与它们的和有关,而与其位置无关,当有关余角、补角的计算不易直接算出时,可尝试列出方程解答.

【变式变形】

1.若∠α与∠β互为余角,∠β是∠α的2倍,则∠α的度数为（B）

A.20°　　　　　B.30°　　　　　C.40°　　　　　D.60°

2.如图4-3-33,∠1和∠2都是∠α的余角,则下列关系不正确的是（D）

图4-3-33

A.∠1+∠α=90°B.∠2+∠α=90°

C.∠1=∠2D.∠1+∠2=90°

3.如图4-3-34所示,点O在直线l上,∠1与∠2互余,∠α=116°,则∠β的度数是（C）

图4-3-34

A.144°B.164°C.154°D.150°

4.如图4-3-35,AB,CD相交于点O,OM平分∠BOD,∠MON是直角,∠AOC=∠BOD=50°.

（1）求∠AON的度数;

（2）求∠CON的度数.

图4-3-35

解:

（1）因为OM平分∠BOD,∠BOD=50°,

所以∠BOM=∠DOM=25°.

又因为∠MON=90°,

所以∠AON=180°-（∠MON+∠BOM）=180°-（90°+25°）=65°.

（2）因为∠AON=65°,∠AOC=50°,

所以∠CON=∠AON+∠AOC=115°.

5.如图4-3-36,∠AOB与∠BOC互为补角,OD是∠AOB的平分线,OE在∠BOC内,∠BOE=

∠EOC,∠DOE=72°,求∠EOC的度数.

图4-3-36

解:

设∠EOB=x,则∠EOC=2x,则∠BOD=

（180°-3x）.

因为∠BOE+∠BOD=∠DOE,所以x+

（180°-3x）=72°,

解得x=36°,故∠EOC=2x=72°.

　　[命题角度1]直接运用余角与补角的概念求角的度数

在计算时要紧扣余角、补角的定义进行计算.注意互余的两个角都是锐角,互补的两个角可能是一个锐角和一个钝角;也可能两个角都是直角.

例　求35°42'角的余角和补角的度数.

解:

其余角的度数为90°-35°42'=54°18';其补角的度数为180°-35°42'=144°18'.

[命题角度2]根据余角、补角的性质解决问题

余角、补角的性质:

同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等.这个性质也为说明两个角相等提供了思路.认真观察分析图形,挖掘出图形中隐含的数量关系是关键.

例1　已知∠1与∠2互补,∠3与∠4互补,如果∠1=∠3,那么∠2与∠4有什么关系?

说说理由.

解:

由∠1与∠2互补,∠3和∠4互补,得∠1+∠2=180°,∠3+∠4=180°.又∠1=∠3,根据等角的补角相等,可知∠2=∠4.

例2　如图4-3-37,点E,O,A在同一直线上,∠AOB=∠COD=90°,那么图中与∠AOD互补的角为　∠DOE,∠BOC　. 

图4-3-37

[解析]因为∠DOE+∠AOD=180°,所以∠DOE与∠AOD互为补角.根据∠AOB=∠COD=∠BOE=90°,可得出∠DOE=∠BOC,所以∠BOC+∠AOD=180°,所以∠BOC与∠AOD互为补角.这样,∠AOD的补角有两个,分别是∠DOE,∠BOC.

[命题角度3]用角度表示方向

方位角是以南北方向为起始方向,一般是以北偏东,南偏西等加上角度来表示的.特殊的方位角如下:

方向

图例

射线

描述

东北

OA

以正北方向的射线为始边,向东旋转45°

西北

OB

以正北方向的射线为始边,向西旋转45°

东南

OC

以正南方向的射线为始边,向东旋转45°

西南

OD

以正南方向的射线为始边,向西旋转45°

例　如图4-3-38,OA表示什么方向的一条射线?

并画出表示下列方向的射线.

图4-3-38

（1）北偏西60°;

（2）南偏东30°;（3）西南方向.

[答案:

OA表示北偏东30°的射线　

（1）射线OB　

（2）射线OC　（3）射线OD（如图4-3-39所示）]

图4-3-39

P138练习

1．图中给出的各角中，哪些互为余角？

哪些互为补角？

[答案]10°与80°互为余角；30°与60°互为余角；10°与170°互为补角；30°与150°互为补角；60°与120°互为补角；80°与100°互为补角．

2．一个角是70°39′，求它的余角和补角．

[答案]余角：

90°－70°39′＝19°21′，补角：

180°－70°39′＝109°21′.

3．∠α的补角是它的3倍，∠α是多少度？

[答案]设这个角为x°，则它的补角为180°－x°.根据题意，得3x＝180－x，解这个方程，得x＝45.所以∠α＝45°.

4．一个角是钝角，它的一半是什么角？

[答案]锐角．

P139习题4.3

复习巩固

1．如果把钟表的时针在任一时刻所在的位置作为起始位置，那么时针旋转出一个平角及一个周角，至少各需要多长时间？

[答案]6小时，12小时．

2．凭你的感觉画出30°，45°，90°，120°，135°的角，再用量角器量一量，你画的准确度如何？

[答案]略．

3．计算：

（1）48°39′＋67°31′；　　

（2）21°17′×5.

[答案]

（1）116°10′；

（2）106°25′.

4．如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，则∠1________∠3；

如果∠1>∠2，∠2>∠3，则∠1________∠3.

[答案]＝　>

5．如图，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且∠DBC＝∠ECB＝31°，求∠ABC和∠ACB的度数，它们相等吗？

[答案]∠ABC＝2∠DBC＝2×31°＝62°，∠ACB＝2∠ECB＝2×31°＝62°.所以∠ABC＝∠ACB.

6．按图填空：

（1）∠AOB＋∠BOC＝________；

（2）∠AOC＋∠COD＝________；

（3）∠BOD－∠COD＝________；

（4）∠AOD－________＝∠AOB.

[答案]

（1）∠AOC；

（2）∠AOD；（3）∠BOC；（4）∠BOD.

7．如图，要测量两堵围墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量？

[答案]延长AO或BO，先量出∠AOB的补角的度数，再计算出∠AOB的度数．

8．按照上北下南，左西右东的规定画出表示东南西北的十字线，然后在图上画出表示下列方向的射线：

（1）北偏西30°；

（2）南偏东60°；

（3）北偏东15°；

（4）西南方向（南偏西45°）．

[答案]

（1）如图所示，射线OA表示北偏西30°；

（2）如图所示，射线OB表示南偏东60°；

（3）如图所示，射线OC表示北偏东15°；

（4）如图所示，射线OD表示西南方向．

综合运用

9．如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．

（1）如果∠AOB＝40°，∠DOE＝30°，那么∠BOD是多少度？

（2）如果∠AOE＝140°，∠COD＝30°，那么∠AOB是多少度？

[答案]

（1）∠BOD＝70°；

（2）∠AOB＝40°.

10．如图，一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，这个夹角是多少度？

如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是多少度（精确到分）?

[答案]360°÷15＝24°；360°÷22≈16°22′.

答：

齿轮有15个齿时，相邻两齿中心线间的夹角为24°；有22个齿时，其夹角约为16°22′.

11．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，在哪种摆放方式中∠α与∠β互余？

在哪种摆放方式中∠α与∠β互补？

在哪种摆放方式中∠α与∠β相等？

[答案]在

（1）中∠α与∠β互余；在

（2）（3）中∠α与∠β相等；在（4）中∠α与∠β互补．

12．如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东60°方向有一艘船，同时，从B地发现这艘船在它北偏东30°方向．试在图中确定这艘船的位置．

[答案]如图所示，图中O点即为这艘船的位置．

13．

（1）互余且相等的两个角，各是多少度？

（2）一个锐角的补角比这个角的余角大多少度？

[答案]

（1）都是45°；

（2）90°.

拓广探索

14．画几个不同的四边形，使每个四边形中都有30°，90°，105°的角，量一量这些四边形中另一个角的度数，你能发现什么规律？

[答案]图略，每一个四边形的另一个角都等于135°.

规律：

四边形的四个内角的和为360°.

15．

（1）图

（1）中，射线AD，BE，CF构成∠1，∠2，∠3，量出∠1，∠2，∠3，并计算∠1＋∠2＋∠3.画出几个类似的图，计算相应的三个角的和，你有什么发现？

（2）类似地，量出图

（2）中∠1，∠2，∠3，∠4，计算∠1＋∠2＋∠3＋∠4.再换几个类似的图试试，你有什么发现？

综合

（1）

（2）的发现，你还能进一步得到什么猜想？

[答案]

（1）∠1＋∠2＋∠3＝360°.发现：

无论是怎样的三角形，与每个内角相邻的三个外角的和都为360°.

（2）∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°，发现：

无论是怎样的四边形，与每个内角相邻的四个外角的和都为360°.

综合

（1）

（2）发现，多边形的外角和都为360°

[当堂检测]

1.下列说法:

（1）互余的两个角都是锐角;

（2）若两角都是锐角，则这两角互余;（3）∠A+∠B+∠C=90°，则∠A、∠B、∠C互余;（4）同一个锐角的