高中数学湘教版必修1第一章 集合与函数124.docx

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高中数学湘教版必修1第一章集合与函数124

1．2.4　从解析式看函数的性质

[学习目标]　1.理解函数单调性的定义，了解有界函数、无界函数的定义.2.运用函数单调性的定义判断函数的单调性.3.通过对一些熟悉函数图象的观察、分析，体会函数最大值、最小值与单调性之间的关系及其几何意义.4.会利用函数的单调性求函数的最值．

[知识链接]

以下说法中：

①函数y＝2x在R上为增函数；

②函数y＝

的单调递增区间为（－∞，0）∪（0，＋∞）；

③函数y＝x2＋2x－3的单调递增区间为（1，＋∞）．

正确的有________．

答案　①

[预习导引]

1．函数的上界和下界

（1）上界和下界：

设D是函数f（x）的定义域，如果有实数B使得f（x）≤B对一切x∈D成立，称B是函数f的一个上界，如果有实数A使得f（x）≥A对一切x∈D成立，称A是函数f的一个下界．

（2）有上界又有下界的函数叫有界函数，否则叫无界函数．

2．函数的最大值与最小值

（1）函数的最大值定义：

设D是函数f（x）的定义域，如果有a∈D，使得不等式f（x）≤f（a）对一切x∈D成立，就说f（x）在x＝a处取到最大值M＝f（a），称M为f（x）的最大值，a为f（x）的最大值点．

（2）函数的最小值定义：

设D是函数f（x）的定义域，如果有b∈D，使得不等式f（x）≥f（b）对一切x∈D成立，就说f（x）在x＝b处取到最小值f（b），称f（b）为f（x）的最小值，b为f（x）的最小值点．

3．函数的单调性

（1）函数的单调性定义：

设I是f（x）定义域D的一个非空子集，如果对于I上任意两个值x1，x2，当x1＜x2时都有f（x1）＜f（x2），那么就说f（x）是区间I上的递增函数；如果对于I上任意两个值x1，x2，当x1＜x2时都有f（x1）＞f（x2），那么就说f（x）是区间I上的递减函数．

（2）如果函数y＝f（x）是区间I上的递增函数或递减函数，就说f（x）在I上严格单调，区间I叫作f（x）的严格单调区间．

（3）对于函数f（x），设h＞0，差式f（x＋h）－f（x）叫作函数在区间I上的差分．差分为正的函数就是递增函数，差分为负的函数就是递减函数.

要点一　判断或证明函数的单调性

例1　证明函数f（x）＝x＋

在（1，＋∞）上是递增函数．

证明　f（x＋h）＝x＋h＋

，

∴f（x＋h）－f（x）＝x＋h＋

－x－

＝h＋

－

＝h－

＝

.

∵h＞0，x＞1，∴hx2＋h2x－h＞0，x（x＋h）＞0.

∴

＞0.

即差分f（x＋h）－f（x）＞0，

∴f（x）＝x＋

在（1，＋∞）上是递增函数．

规律方法　证明函数单调性的步骤是：

（1）作差分f（x＋h）－f（x）；

（2）变形整理；（3）判断差分的符号；（4）下结论．

跟踪演练1　

（1）设（a，b），（c，d）都是函数f（x）的递增区间，且x1∈（a，b），x2∈（c，d），x1＜x2，则f（x1）与f（x2）的大小关系是（　　）

A．f（x1）＜f（x2）　　　　　B．f（x1）＞f（x2）

C．f（x1）＝f（x2）D．不能确定

（2）证明函数f（x）＝

在（0，＋∞）上为单调递减函数．

（1）答案　D

解析　因为在函数的定义中特别强调了x1，x2两个值必须属于同一个单调区间，不是同一单调区间时不能比较函数值的大小，因此，f（x1）与f（x2）的大小关系无法确定，故选D.

（2）证明　f（x＋h）－f（x）＝

－

＝

，

∵x＞0，h＞0，∴

＜0.

即差分f（x＋h）－f（x）＜0，故f（x）＝

在（0，＋∞）上为单调递减函数．

要点二　求函数的单调区间

例2　分别作出下列函数图象，写出它们的单调区间．

（1）y＝x2＋2x；

（2）y＝2|x|；（3）y＝－x2＋2|x|＋3.

解　

（1）函数y＝x2＋2x在（－∞，－1]上是递减函数，在[－1，＋∞）上是递增函数．

（2）y＝2|x|＝

图象如图：

函数y＝2|x|在（－∞，0]上是递减函数，在[0，＋∞）上是递增函数．

（3）∵f（x）＝

图象如图：

函数y＝－x2＋2|x|＋3在（－∞，－1]，[0,1]上是递增函数，在[－1,0]，[1，＋∞）上是递减函数．

规律方法　利用函数的图象确定函数的单调区间，具体的做法是，先化简函数的解析式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间．书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格的规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，若函数在区间端点处无定义，则必须写成开区间．

跟踪演练2　作出函数y＝x|x|＋1的图象并写出其单调区间．

解　由题意可知y＝

作出函数的图象如图所示，所以原函数在（－∞，＋∞）上为单调递增函数．

要点三　函数单调性的应用

例3　已知函数f（x）是定义在[－1,1]上的递增函数，且f（x－2）＜f（1－x），求x的取值范围．

解　因为f（x）是定义在[－1,1]上的递增函数，

且f（x－2）＜f（1－x），

所以有

解得

即x的取值范围是1≤x＜

.

规律方法　1.单调性的应用主要体现在求解参数的取值范围、解不等式以及求解最值等题型上，解题时注意采用数形结合的方法求解．已知函数在某个区间上的单调性求解x的取值范围时，要求自变量首先应在定义域内，这是一个容易出现错误的地方，然后在此基础上利用函数的单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系求解．

2．利用函数的单调性求最值时，首先要证明或判断函数的单调性，若f（x）在[a，b]上单调递增，则f（x）在[a，b]上的最小值为f（a），最大值为f（b）；若f（x）在[a，b]上单调递减，则最小值为f（b），最大值为f（a）．

跟踪演练3　

（1）若函数y＝x2－2ax＋2在[1，＋∞）上为递增函数，求实数a的取值范围；

（2）求函数f（x）＝

在[2,4]上的最值．

解　

（1）由题意可知原函数为y＝（x－a）2＋2－a2，其开口向上，且对称轴为x＝a，若使得原函数在[1，＋∞）为递增函数，则只需对称轴x＝a在直线x＝1的左侧或与其重合，即满足a≤1即可，所以实数a的取值范围是a≤1.

（2）∵f（x＋h）－f（x）＝

－

＝

＝

，

又∵h＞0，x＞2，∴

＞0.

故f（x）在[2,4]上单调递增．

于是f（x）在[2,4]上的最大值是f（4）＝

，最小值是f

（2）＝0.

1．函数y＝－x2的单调递增区间为（　　）

A．（－∞，0]B．[0，＋∞）

C．（0，＋∞）D．（－∞，＋∞）

答案　A

解析　由图象可知，y＝－x2的单调递增区间是（－∞，0]，选A.

2．函数f（x）（－2≤x≤2）的图象如图所示，则函数的最大值，最小值分别为（　　）

A．f

（2），f（－2）B．f（

），f（－1）

C．f（

），f（－

）D．f（

），f（0）

答案　C

3．设一次函数f（x）＝（2a－1）x＋b是R上的递减函数，则a的取值范围为（　　）

A．a＞

B．a＜

C．a≥

D．a≤

答案　B

解析　f（x＋h）－f（x）＝[（2a－1）（x＋h）＋b]－[（2a－1）x＋b]＝（2a－1）h，

依题意（2a－1）h＜0，而h＞0，

∴2a－1＜0，即a＜

，选B.

4．若函数f（x）在区间I上是单调递增函数，则对任意的x1，x2∈I（x1≠x2），必有（　　）

A．（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0

B．（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0

C．（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]≤0

D．（x1－x2）[f（x1－f（x2））]≥0

答案　B

解析　由于f（x）在I上单调递增，所以当x1＜x2时有f（x1）＜f（x2）；当x1＞x2时有f（x1）＞f（x2），因此必有（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0，选B.

5．若f（x）是R上的单调递减函数，且f（x1）＞f（x2），则x1与x2的大小关系是________．

答案　x1＜x2

解析　由定义知当f（x1）＞f（x2）时一定有x1＜x2.

1.函数的单调区间必须是定义域的子集．因此讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域．

2．研究函数的单调性，必须注意无意义的特殊点，如函数f（x）＝

在（－∞，0）和（0，＋∞）上都是递减函数，但不能说函数f（x）＝

在定义域上是递减函数．

3．求单调区间的方法：

（1）图象法；

（2）定义法；（3）利用已知函数的单调性．

4．用单调性的定义证明函数的单调性分四个主要步骤：

即“取值——作差变形——定号——判断”这四个步骤．

若f（x）＞0，则判断f（x）的单调性可以通过作比的方法去解决，即“取值——作比变形——与1比较——判断”．

5．求函数的最值，若能作出函数的图象，由最值的几何意义不难得出．

6．运用函数的单调性求最值是求最值的重要方法，特别当函数图象作不出来时，单调性几乎成为首选方法.

一、基础达标

1．下列说法中，正确的有（　　）

①若任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，

＞0，则y＝f（x）在I上是增函数；

②函数y＝x2在R上是增函数；

③函数y＝－

在定义域上是增函数；

④函数y＝

的单调区间是（－∞，0）∪（0，＋∞）．

A．0个　　　B．1个　　　C．2个　　　D．3个

答案　B

解析　当x1＜x2时，x1－x2＜0，由

＞0知f（x1）－f（x2）＜0，

∴f（x1）＜f（x2），①正确；②、③、④均不正确．

2．下列函数中，在区间（0,1）上是增函数的是（　　）

A．y＝|x|B．y＝3－x

C．y＝

D．y＝－x2＋4

答案　A

解析　（排除法）函数y＝3－x在R上为减函数，函数y＝

在（0，＋∞）上是减函数，函数y＝－x2＋4在[0，＋∞）上是减函数．

3．若函数f（x）＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是（　　）

A．（－∞，40）B．[40,64]

C．（－∞，40]∪[64，＋∞）D．[64，＋∞）

答案　C

解析　对称轴为x＝

，则

≤5或

≥8，解得k≤40或k≥64.

4．若f（x）为R上的增函数，kf（x）为R上的减函数，则实数k的取值范围是（　　）

A．k为任意实数B．k＞0

C．k＜0D．k≤0

答案　C

解析　由函数单调性的定义，设x是任意实数，且h＞0，x＜x＋h，则f（x）＜f（x＋h），且kf（x＋h）＜kf（x），得出f（x）－f（x＋h）＜0，k[f（x）－f（x＋h）]＞0，则k＜0.

5．函数y＝x|x－1|的单调递增区间是________________．

答案　（－∞，

]，[1，＋∞）

解析　画出函数y＝x|x－1|＝

的图象，

如图，可得函数的增区间为（－∞，

]，[1，＋∞）．

6．已知函数f（x）＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞）时是增函数，当x∈（－∞，2]时是减函数，则f

（1）＝________.

答案　－3

解析　f（x）＝2（x－

）2＋3－

，

由题意得

＝2，∴m＝8，则f（x）＝2x2－8x＋3，

∴f

（1）＝2×12－8×1＋3＝－3.

7．证明：

f（x）＝－2x＋5在R上是单调递减函数．

证明　f（x＋h）－f（x）＝[－2（x＋h）＋5]－（－2x＋5）＝－2h＜0，

即f（x＋h）－f（x）＜0.

故f（x）在R上是单调递减函数．

二、能力提升

8．如果函数f（x）＝