<0<
;
当0
<
,
所以能使
<
成立的充分条件有①②④.
9.指出下列各组命题中,p是q的什么条件:
(1)在△ABC中,p:
A>B,q:
BC>AC;
(2)p:
a=3,q:
(a+2)(a-3)=0;
(3)p:
a
<1.
解 在
(1)中,由大角对大边,且A>B知BC>AC,反之也正确,所以p既是q的充分条件,也是q的必要条件;
在
(2)中,若a=3,则(a+2)(a-3)=0,但(a+2)(a-3)=0不一定a=3,所以p是q的充分条件但不是必要条件;
在(3)中,当a=-2,b=-1时,
=2>1;当a=2,b=-1时,
=-2<1,所以p既不是q的充分条件,也不是必要条件.
10.
(1)是否存在实数m,使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件?
(2)是否存在实数m,使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件?
解
(1)欲使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件,
则只要
⊆{x|x<-1或x>3},
即只需-
≤-1,所以m≥2.
故存在实数m≥2,使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件.
(2)欲使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件,则只要{x|x<-1或x>3}⊆
,
这是不可能的.
故不存在实数m,使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件.
11.对任意实数a,b,c,下列命题中,真命题是( )
A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件
C.“ac>bc”是“a>b”的充分条件
D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件
答案 B
解析 “a=b”⇒“a-b=0”⇒“(a-b)c=0”⇒“ac=bc”,∴“ac=bc”是“a=b”的必要条件.
12.已知集合A={x∈R|-1A.m≥2B.m≤2
C.m>2D.-2答案 A
解析 因为x∈B成立的一个充分条件是x∈A,
所以A⊆B,所以3≤m+1,即m≥2.
13.若A={x|a3},且A是B的充分条件,则实数a的取值范围为_______________.
答案 {a|a≤-3,或a≥3}
解析 因为A是B的充分条件,
所以A⊆B,
又A={x|a3}.
因此a+2≤-1或a≥3,
所以实数a的取值范围是{a|a≤-3,或a≥3}.
14.已知条件p:
x<-1或x>3,条件q:
x<-m+1或x>m+1(m>0),若条件p是条件q的充分不必要条件,则实数m的取值范围是________.
答案 {m|0解析 由题意,设集合A={x|x<-1或x>3},B={x|<-m+1或x>m+1},
因为条件p是条件q的充分不必要条件,即集合A是集合B的真子集,
所以
或
解得m<2,
又m>0,所以实数m的取值范围是015.设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,那么( )
A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件
B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件
C.丙既是甲的充分条件,又是甲的必要条件
D.丙既不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件
答案 A
解析 因为甲是乙的必要条件,所以乙⇒甲.
又因为丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,所以丙⇒乙,但乙⇏丙,
如图.
综上,有丙⇒甲,但甲⇏丙,
即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件.
16.若p:
-2关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的不等正根,则p是q的什么条件?
解 若a=-1,b=
,则Δ=a2-4b<0,关于x的方程x2+ax+b=0无实根,故p⇏q.
若关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的不等正根,不妨设这两个根为x1,x2,且0于是0<-a<2,0
即-2所以p是q的必要条件,但不是充分条件.