金版学案高考数学理科二轮复习习题专题第二讲 点直线平面之间的位置关系含答案.docx
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金版学案高考数学理科二轮复习习题专题第二讲点直线平面之间的位置关系含答案
专题五 立体几何
第二讲 点、直线、平面之间的位置关系
1.公理1 如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.此公理可以用来判断直线是否在平面内.
2.公理2 过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面.
3.公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么这两个平面有且只有一条过该点的公共直线.
4.公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行.
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
(1)如果两个不重合的平面α,β有一条公共直线a,就说平面α,β相交,并记作α∩β=a.(√)
(2)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于A点的任意一条直线.(×)
(3)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于A点,并记作α∩β=A.(×)
(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.(×)
(5)经过两条相交直线,有且只有一个平面.(√)
1.给出下列命题,正确命题的个数是(B)
①梯形的四个顶点在同一平面内 ②有三个公共点的两个平面必重合 ③三条平行直线必共面 ④每两条都相交且交点不相同的四条直线一定共面
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2.若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线a与c(D)
A.一定平行
B.一定相交
C.一定是异面直线
D.一定垂直
3.(2015·北京卷)设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α,“m∥β”是“α∥β”的(B)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:
当m∥β时,过m的平面α与β可能平行也可能相交,因而m∥βD/⇒α∥β;当α∥β时,α内任一直线与β平行,因为m⊂α,所以m∥β.综上知,“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件.
4.(2015·广东卷)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是(D)
A.l与l1,l2都不相交
B.l与l1,l2都相交
C.l至多与l1,l2中的一条相交
D.l至少与l1,l2中的一条相交
解析:
由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行,故l1,l2中至少有一条与l相交.
一、选择题
1.l1,l2是两条异面直线,直线m1,m2与l1,l2都相交,则m1,m2的位置关系是(D)
A.异面或平行B.相交
C.异面D.相交或异面
解析:
若m1,m2过直线l1或l2上的同一个点,则m1,m2相交;若m1,m2与直线l1,l2有四个不同交点,则m1,m2异面.
2.在下列命题中,不是公理的是(A)
A.平行于同一个平面的两个平面相互平行
B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面
C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内
D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么他们有且只有一条过该点的公共直线
3.(2015·福建卷)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的(B)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:
∵m⊥α,若l∥α,则必有l⊥m,即l∥α⇒l⊥m.
但l⊥m
l∥α,∵l⊥m时,l可能在α内.
故“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件.
4.已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则(D)
A.α∥β,且l∥α
B.α⊥β,且l⊥β
C.α与β相交,且交线垂直于l
D.α与β相交,且交线平行于l
解析:
结合给出的已知条件,画出符合条件的图形,然后判断得出.
根据所给的已知条件作图,如图所示.
由图可知α与β相交,且交线平行于l.故选D.
5.如图,已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ACD,PA=2AB,则下列结论正确的是(D)
A.PB⊥AD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.直线BC∥平面PAE
D.直线PD与平面ABC所成的角为45°
解析:
解法一 由三垂线定理,因AD与AB不相互垂直,排除A;作AG⊥PB于G,因平面PAB⊥平面ABCDEF,而AG在平面ABCDEF上的射影在AB上,而AB与BC不相互垂直,故排除B;由BC∥EF,而EF是平面PAE的斜线,故排除C.故选D.
解法二 设底面正六边形边长为a,则AD=2a,PA=2AB=2a,由PA⊥平面ABC可知PA⊥AD,又PA=AD,所以直线PD与平面ABC所成的角为∠PDA=45°.故选D.
6.下图是某个正方体的侧面展开图,l1,l2是两条侧面对角线,则在正方体中,l1与l2(D)
A.互相平行B.异面且互相垂直
C.异面且夹角为
D.相交且夹角为
二、填空题
7.设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题:
①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;
②若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行;
③设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直;
④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直.
上面命题中,真命题的序号是①②.
解析:
考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理.
8.如图,边长为a的正三角形ABC中线AF与中位线DE相交于G,已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形,现给出下列命题,其中正确的命题有①②③(填序号).
①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上
②三棱锥A′FED的体积有最大值
③恒有平面A′GF⊥平面BCED
④异面直线A′E与BD不可能互相垂直
解析:
由题意知AF⊥DE,∴A′G⊥DE,FG⊥DE,
∴DE⊥平面A′FG,DE⊂平面ABC,
∴平面A′FG⊥平面ABC,交线为AF,
∴①③均正确.
当A′G⊥平面ABC时,A′到平面ABC的距离最大.
故三棱锥A′FED的体积有最大值.故②正确.
当A′F2=2EF2时,EF⊥A′E,
即BD⊥A′E,故④不正确.
三、解答题
9.(2015·江苏卷)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1,设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E.
求证:
(1)DE∥平面AA1C1C;
(2)BC1⊥AB1.
解析:
(1)由题意知,E为B1C的中点,
又D为AB1的中点,因此DE∥AC.
又因为DE⊄平面AA1C1C,AC⊂平面AA1C1C,
所以DE∥平面AA1C1C.
(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱,
所以CC1⊥平面ABC.
因为AC⊂平面ABC,所以AC⊥CC1.
又因为AC⊥BC,CC1⊂平面BCC1B1,BC⊂平面BCC1B1,
BC∩CC1=C,
所以AC⊥平面BCC1B1.
又因为BC1⊂平面BCC1B1,所以BC1⊥AC.
因为BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,
因此BC1⊥B1C.
因为AC,B1C⊂平面B1AC,AC∩B1C=C,
所以BC1⊥平面B1AC.
又因为AB1⊂平面B1AC,所以BC1⊥AB1.
10.(2014·福建卷)在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD.将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图所示.
(1)求证:
AB⊥CD;
(2)若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.
分析:
第
(1)问根据面面垂直、线面垂直的性质,证明线线垂直;第
(2)问利用第
(1)问的结论,建立空间直角坐标系,写出点与向量的坐标,再用向量法求线面角的正弦值.
解析:
(1)∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB⊂平面ABD,AB⊥BD,∴AB⊥平面BCD.
又CD⊂平面BCD,∴AB⊥CD.
(2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD,如图.
由
(1)知AB⊥平面BCD,BE⊂平面BCD,BD⊂平面BCD,
∴AB⊥BE,AB⊥BD.
以B为坐标原点,分别以
,
,
的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系.
依题意,得B(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1),
M
,则
=(1,1,0),
=
,
=(0,1,-1).
设平面MBC的法向量n=(x0,y0,z0),
则
即
取z0=1,得平面MBC的一个法向量n=(1,-1,1).
设直线AD与平面MBC所成角为θ,则sinθ=|cos(n,
)|=
=
,
即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为
.