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初中数学函数知识点整理[资料]
初中数学函数知识点整理
21.定义:
一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.xa,0）y,ax，bx，c（a,b,cy
22.二次函数的性质y,ax
2
（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.y,axy
2
（2）函数的图像与的符号关系.ay,ax
a,0?
当时抛物线开口向上顶点为其最低点;,,
a,0?
当时抛物线开口向下顶点为其最高点.,,
2（a,0）（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.y,axy
23.二次函数的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线.y,ax，bx，cy
224.二次函数用配方法可化成:
的形式，其中y,ax，bx，c，，y,ax,h，k
2b4acb,hk,,，,.2a4a
225.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式:
?
;?
;?
y,axy,ax，k
222;?
;?
.y,ax，bx，c，，，，y,ax,hy,ax,h，k
6.抛物线的三要素:
开口方向、对称轴、顶点.
a,0a,0a?
的符号决定抛物线的开口方向:
当时，开口向上;当时，开口向下;
a相等，抛物线的开口大小、形状相同.
x,hx,0?
平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.yy
a7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
22b4acb,,,28.求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法:
，yaxbxcax,，，,，，,,2a4a,,
2,b4acbb?
顶点是，对称轴是直线.（,，）x,,2a2a4a
2
（2）配方法:
运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点，，y,ax,h，k
hkx,h为（,），对称轴是直线.
（3）运用抛物线的对称性:
由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂
直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
29.抛物线中，的作用a,b,cy,ax，bx，c
2
（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.aay,ax
2b
（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线ay,ax，bx，c
bbbb,0,0x,,，故:
?
时，对称轴为轴;?
（即、同号）时，对称轴在aya2a
bb,0轴左侧;?
（即、异号）时，对称轴在轴右侧.ayya
2（3）c的大小决定抛物线与轴交点的位置.y,ax，bx，cy
2x,0当时，，?
抛物线与轴有且只有一个交点（0，c）:
y,ax，bx，cy,cy
c,0c,0c,0?
，抛物线经过原点;?
与轴交于正半轴;?
与轴交于负半轴.yy
b,0以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.ya
10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:
函数解析式开口方向对称轴顶点坐标
2（0,0）x,0（轴）yy,ax
2k）（0,x,0（轴）yy,ax，k
2hx,h（,0），，y,ax,h
a,0当时
2hkx,h（,），，y,ax,h，k开口向上
ba,0当时22x,,y,ax，bx，cb4acb,（）2a,，2a4a开口向下
11.用待定系数法求二次函数的解析式
2
（1）一般式:
.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.xy,ax，bx，cy
2
（2）顶点式:
.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.，，y,ax,h，k
（3）交点式:
已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式:
.x，，，，xy,ax,xx,xx1122
12.直线与抛物线的交点
2
（1）轴与抛物线得交点为（0,）.cy,ax，bx，cy
2x,h
（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点y,ax，bx，cy
2hah，bh，c（,）.
（3）抛物线与轴的交点x
2二次函数x的图像与x轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次y,ax，bx，cx12
2ax，bx，c,0方程的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方
程的根的判别式判定:
,0x?
有两个交点抛物线与轴相交;,,
,0xx?
有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切;,,
,0x?
没有交点抛物线与轴相离.,,
x（4）平行于轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相
2k等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.ax，bx，c,k
2Gl（5）一次函数的图像与二次函数的图像的，，y,kx，nk,0，，y,ax，bx，ca,0
y,kx，n交点，由方程组的解的数目来确定:
?
方程组有两组不同的解时2y,ax，bx，c
GGll与有两个交点;?
方程组只有一组解时与只有一个交点;?
方程组无解,,
Gl时与没有交点.,
2（6）抛物线与轴两交点之间的距离:
若抛物线与轴两交点为xxy,ax，bx，c
2，由于、是方程的两个根，故ax，bx，c,0，，，，xAx，0，Bx，0x1122
bcx，x,,x,x,,1212aa
22b4cb,4ac,,,22AB,x,x,x,x,x，x,4xx,,,,,，，，，,,12121212aaaa,,
一次函数与反比例函数考点一、平面直角坐标系（3分）
1、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向;两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意:
x轴和y轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念
点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵
a,b坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。
考点二、不同位置的点的坐标的特征（3分）
1、各象限内点的坐标的特征
点P（x,y）在第一象限,x,0,y,0
点P（x,y）在第二象限,x,0,y,0
点P（x,y）在第三象限,x,0,y,0
点P（x,y）在第四象限,x,0,y,0
2、坐标轴上的点的特征
点P（x,y）在x轴上，x为任意实数,y,0
x,0点P（x,y）在y轴上，y为任意实数
点P（x,y）既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）,
3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P（x,y）在第一、三象限夹角平分线上x与y相等,
点P（x,y）在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数,
4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数,
点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数,
点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数,
6、点到坐标轴及原点的距离
点P（x,y）到坐标轴及原点的距离:
y
（1）点P（x,y）到x轴的距离等于
x
（2）点P（x,y）到y轴的距离等于
22x，y（3）点P（x,y）到原点的距离等于考点三、函数及其相关概念（3~8分）
1、变量与常量
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的
值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。
2、函数解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点
（1）解析法
两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
（2）列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图像法
用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤
（1）列表:
列表给出自变量与函数的一些对应值
（2）描点:
以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
（3）连线:
按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
考点四、正比例函数和一次函数（3~10分）
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地，如果（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数。
y,kx，b,
中的b为0时，（k为常数，k0）。
这时，y叫做特别地，当一次函数y,kx，by,kx,x的正比例函数。
2、一次函数的图像
所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:
一次函数的图像是经过点（0，b）y,kx，b的直线;正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线。
y,kx
k的符号b的符号函数图像图像特征
y
图像经过一、二、三象限，y随x的b>00x增大而增大。
k>0
y
图像经过一、三、四象限，y随x的b<00x增大而增大。
y
图像经过一、二、四象限，y随x的b>0增大而减小0x
K<0
y
图像经过二、三、四象限，y随x的b<0增大而减小。
0x
注:
当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。
4、正比例函数的性质，，一般地，正比例函数有下列性质:
y,kx
（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大;
（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。
5、一次函数的性质，，一般地，一次函数有下列性质:
y,kx，b
（1）当k>0时，y随x的增大而增大
（2）当k<0时，y随x的增大而减小
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。
确定一y,kx,个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。
解这类问题的一y,kx，b,
般方法是待定系数法。
考点五、反比例函数（3~10分）
1、反比例函数的概念
ky,一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。
反比例函数的解析式也可以写,x
1成的形式。
自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实y,kx,
数。
2、反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。
由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x,,
轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
3、反比例函数的性质
反比例ky,（k,0）函数x
k的符号k>0k<0
yy
图像OxOx
?
x的取值范围是x0，?
x的取值范围是x0，,,
y的取值范围是y0;y的取值范围是y0;,,性质?
当k>0时，函数图像的两个分支分别?
当k<0时，函数图像的两个分支分别
在第一、三象限。
在每个象限内，y在第二、四象限。
在每个
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