沪科版数学七年级上册第四章直线与角整合提升密码.docx

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沪科版数学七年级上册第四章直线与角整合提升密码

专训一：

线段或角的计数问题

名师点金：

　1.几何计数问题应用广泛，解决方法是“有序数数法”，数数

时要做到不重复、不遗漏．

2．解决计数类问题时有时要用到分类讨论思想及从特殊到一般的思想．

3．回顾前面线段、直线的计数公式，比较这些计数公式的区别与联系．

线段条数的计数问题

1．先阅读文字，再解答问题．

（第1题）

如图，在一条直线上取两点，可以得到1条线段，在一条直线上取三点可得到3条线段，其中以A1为左端点的线段有2条，以A2为左端点的线段有1条，所以共有2＋1＝3（条）．

（1）在一条直线上取四个点，以A1为左端点的线段有______条，以A2为左端点的线段有________________________________________________________________________条，

以A3为左端点的线段有______条，共有______＋______＋______＝______（条）；

（2）在一条直线上取五个点，以A1为左端点的线段有______条，以A2为左端点的线段有________条，以A3为左端点的线段有________条，以A4为左端点的线段有______条，共有______＋______＋______＋______＝______（条）；

（3）在一条直线上取n个点（n≥2），共有________条线段．

（4）某学校七年级共有6个班进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两个班赛一场），那么该校七年级这6个班的辩论赛共要进行多少场？

（5）乘火车从A站出发，中间经过5个车站后方可到达B站，那么A，B两站之间最多有多少种不同的票价？

需要安排多少种不同的车票？

平面内直线相交所得交点与平面的计数问题

2．为了探究同一平面内的几条直线相交最多能产生多少个交点，能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手，如图所示．

（第2题）

列表如下：

直线条数

最多交点个数

平面最多分成部分数

1

0

2

2

1

4

3

3

7

…

…

…

（1）当直线条数为5时，最多有________个交点，可写成和的形式为________；把平面最多分成________部分，可写成和的形式为________；

（2）当直线条数为10时，最多有________个交点，把平面最多分成________部分；

（3）当直线条数为n（n≥2）时，最多有多少个交点？

把平面最多分成多少部分？

关于角的个数的计数问题

3．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，已知∠BAC，如果过角的顶点A：

（1）如图①，在角的内部作一条射线，那么图中一共有几个角？

（2）如图②，在角的内部作两条射线，那么图中一共有几个角？

（3）如图③，在角的内部作三条射线，那么图中一共有几个角？

（4）在角的内部作n条射线，那么图中一共有几个角？

（第3题）

专训二：

分类思想在线段和角的计算中的应用

名师点金：

解答有关点和线的位置关系、线段条数或长度、角的个数或大小等问题时，由于题目中没有给出具体的图形，而根据题意又可能出现多种情况，就应不重不漏地分情况加以讨论，这种思想称为分类讨论思想．需要进行分类讨论的题目，综合性一般较强．）

分类思想在线段的计算中的应用

1．已知线段AB＝12，在AB上有C，D，M，N四点，且AC∶CD∶DB＝1∶2∶3，AM＝AC，DN＝DB，求线段MN的长．

2．如图，点O为原点，点A对应的数为1，点B对应的数为－3.

（1）若点P在数轴上（不与A，B重合），且PA＋PB＝6，求点P对应的数；

（2）若点M在数轴上（不与A，B重合），且MA∶MB＝1∶3，求点M对应的数；

（3）若点A的速度为5个单位长度/秒，点B的速度为2个单位长度/秒，点O的速度为1个单位长度/秒，A，B，O同时向右运动，几秒后，点O恰为线段AB的中点？

（第2题）

分类思想在角的计算中的应用

3．如图，已知∠AOC＝2∠BOC，∠AOC的余角比∠BOC小30°.

（1）求∠AOB的度数；

（2）过点O作射线OD，使得∠AOC＝4∠AOD，请你求出∠COD的度数．

（第3题）

4．已知OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC.

（1）如图，若OC在∠AOB内部，探究∠MON与∠AOB的数量关系；

（2）若OC在∠AOB外部，且OC不与OA，OB重合，请你画出图形，并探究∠MON与∠AOB的数量关系．（提示：

分三种情况讨论）

（第4题）

专训三：

几种常见的热门考点

名师点金：

本章知识从大的方面可分为两部分，第一部分是立体几何的初步知识，第二部分是平面图形的认识，这些都是几何学习的基础．本章主要考查立体图形的识别，图形的展开与折叠，直线、射线、线段及角的有关计算．立体图形的平面展开图是中考中常见考点，通常以选择，填空形式呈现．

立体图形的识别

1．在①球体；②柱体；③圆锥；④棱柱；⑤棱锥中，必是多面体（指由四个或四个以上多边形所围成的立体图形）的是（　　）

A．①②③④⑤　　　　　　B．②和③

C．④D．④和⑤

2．如图所示的立体图形中，是柱体的是________．（填序号）

（第2题）

图形的展开与折叠

3．小亮为今年参加中考的好友小杰制作了一个正方体礼品盒（如图），六个面上各有一个字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它的表面展开图可能是（　　）

　　　（第3题）

4．如图是一个长方体形状包装盒的表面展开图．折叠制作完成后得到长方体

（第4题）

的容积是（包装材料厚度不计）（　　）

A．40×40×70

B．70×70×80

C．80×80×80

D．40×70×80

直线、射线、线段

5．下列关于作图的语句中正确的是（　　）

A．画直线AB＝10厘米

B．画射线OB＝10厘米

C．已知A，B，C三点，过这三点画一条直线

D．过直线AB外一点画一条直线和直线AB相交

6．如图，已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA＝3AB，则线段CA与线段CB的长度之比为（　　）

（第6题）

A．3∶4　　B．2∶3　　C．3∶5　　D．1∶2

7．开学整理教室时，老师总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，一会儿一列课桌摆在一条线上，整整齐齐，这是因为________________________．

8．乘火车从A站出发，沿途经过4个车站方可到达B站，那么需要安排________种不同的车票．

9．如图，已知AB和CD的公共部分BD＝AB＝CD，线段AB，CD的中点E，F之间的距离是10cm，求AB，CD的长．

（第9题）

角及角的有关计算

10．有下列说法：

（1）两条射线所组成的图形叫做角；

（2）一条射线旋转而成的图形叫做角；

（3）两边成一条直线的角是平角；

（4）平角是一条直线．

其中正确的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

11．4点10分，时针与分针的夹角为（　　）

A．55°B．65°

C．70°D．以上结论都不对

12．如图所示，两块三角板的直角顶点O重合在一起，且OB恰好平分∠COD，则∠AOD的度数是________度．

（第12题）

13．若一个角的余角比它的补角的少20°，则这个角的度数为________．

14．如图，O是直线AB上一点，OC，OD是从O点引出的两条射线，OE平分∠AOC，∠BOC∶∠AOE∶∠AOD＝2∶5∶8，求∠BOD的度数．

（第14题）

数学思想方法的应用

a．数形结合思想

15．往返于A，B两个城市的客车，中途有三个停靠站．

（1）共有多少种不同的票价（任何两站票价均不相同）?

（2）要准备多少种车票？

b．方程思想

16．互为补角的两个角的度数之比是5∶4，这两个角的度数分别是多少．

17．如图，C，D，E将线段AB分成2∶3∶4∶5四部分，M，P，Q，N分别是AC，CD，DE，EB的中点，且MN＝21，求线段PQ的长度．

（第17题）

c．分类讨论思想

18．已知同一平面内四点，过其中任意两点画直线，仅能画4条，则这四个点的位置关系是（　　）

A．任意三点不在同一条直线上

B．四点在同一条直线上

C．最多三点在同一条直线上

D．三点在同一条直线上，第四点在这条直线外

19．已知一条射线OA，若从点O再引两条射线OB和OC，使∠AOB＝80°，∠BOC＝40°，若OD平分∠AOC，则∠BOD等于________．

d．转化思想

20．如图所示，一观测塔的底座部分是四棱柱，现要从下底面A点修建钢筋扶梯，经过点M，N到点D′，再进入顶部的观测室，已知AB＝BC＝CD，试确定使扶梯的总长度最小的点M，N的位置．

（第20题）

答案

专训一

1．解：

（1）3；2；1；3；2；1；6　

（2）4；3；2；1；4；3；2；1；10　（3）

（4）七年级进行辨论赛的有6个班，类似于一条直线上有6个点，每两个班赛一场，类似于两点之间有一条线段，那么七年级这6个班的辩论赛共要进行＝15（场）．

（5）从A站出发，中间经过5个车站后方可到达B站，类似于一条直线上有7个点，此时共有线段＝21（条），即A，B两站之间最多有21种不同的票价．因为来往两站的车票起点与终点不同，所以A，B两站之间需要安排21×2＝42（种）不同的车票．

2．解：

（1）10；1＋2＋3＋4；16；1＋1＋2＋3＋4＋5

（2）45；56

（3）当直线条数为n（n≥2）时，

最多有1＋2＋3＋…＋（n－1）＝（个）交点；

把平面最多分成1＋1＋2＋3＋…＋n＝部分．

3．解：

（1）显然这条射线会和∠BAC的两条边都组成一个角，这样一共就有1＋2＝3（个）角．

（2）再在图①的角的内部增加一条射线，即为图②，显然这条射线会和图①中的三条射线再组成三个角，所以图②中共有1＋2＋3＝6（个）角．

（3）在角的内部作三条射线，即在图②中再增加一条射线，同样这条射线会和图②中的四条射线再组成四个角，所以图③中共有1＋2＋3＋4＝10（个）角．

（4）综上可知，如果在一个角的内部作n条射线，则图中共有1＋2＋3＋…＋n＋（n＋1）＝（个）角．

专训二

1．解：

因为AB＝12，AC∶CD∶DB＝1∶2∶3，

所以AC＝AB＝12×＝2，CD＝AB＝12×＝4，DB＝AB＝12×＝6.

因为AM＝AC，DN＝DB，

所以MC＝AC＝2×＝1，DN＝DB＝6×＝.

①当点N在点D右侧时，如图①，

MN＝MC＋CD＋DN＝1＋4＋＝；

（第1题）

②当点N在点D左侧时，如图②，

MN＝MC＋CD－DN＝1＋4－＝.

综上所述，线段MN的长为或.

点拨：

首先要根据题意，画出图形．由于点N的位置不确定，故要考虑分类讨论．

2．解：

（1）①当点P在A，B之间时，不合题意，舍去；

②当点P在A点右边时，点P对应的数为2；

③当点P在B点左边时，点P对应的数为－4.

（2）①当点M在线段AB上时，点M对应的数为0；

②当点M在线段BA的延长线上时，点M对应的数为3；

③当点M在线段AB的延长线上时，不合题意，舍去．

（3）设运动x秒时，点B运动到点B′，点A运动到点A′，点O运动到点O′，此时O′A′＝O′B′，点A′，B′在点O′两侧，则BB′＝2x，OO′＝x，AA′＝5x，

所以点B′对应的数为2x－3，点O′对应的数为x，点A′对应的数为5x＋1，

所以O′A′＝5x＋1－x＝4x＋1，O′B′＝x－（2x－3）＝3－x，所以4x＋1＝3－x，解得x＝0.4.

即0.4秒后，点O恰为线段AB的中点．

3．解：

（1）设∠BOC＝x，则∠AOC＝2x，

由题意得90°－2x＋30°＝x，解得x＝40°.所以∠BOC＝40°.

因为∠AOC＝2∠BOC，所以∠AOB＝∠BOC＝40°.

（2）情况一：

当OD在∠AOC内部时，如图①，

由

（1）易得∠AOC＝80°.

因为∠AOC＝4∠AOD，所以∠AOD＝20°，

所以∠COD＝∠AOC－∠AOD＝80°－20°＝60°.

（第3题）

情况二：

当OD在∠AOC外部时，如图②，

由

（1）易得∠AOC＝80°.

因为∠AOC＝4∠AOD，所以∠AOD＝20°，

所以∠COD＝∠AOD＋∠AOC＝20°＋80°＝100°.

综上所述，∠COD的度数为60°或100°.

4．解：

（1）因为OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC，

所以∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC.

所以∠MON＝∠MOC＋∠NOC＝∠AOC＋∠BOC＝（∠AOC＋∠BOC）＝∠AOB.

（2）情况一：

如图①，

因为OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC，

所以∠MOC＝∠AOC＝（∠AOB＋∠BOC），∠NOB＝∠BOC.

所以∠MON＝∠MOB＋∠NOB＝∠MOC－∠BOC＋∠BOC＝∠MOC－∠BOC＝（∠AOB＋∠BOC）－∠BOC＝∠AOB.

（第4题）

情况二：

如图②，

因为OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC，

所以∠AOM＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC＝（∠AOB＋∠AOC）＝∠AOB＋∠AOC.

所以∠MON＝∠AOM＋∠AON＝∠AOC＋（∠NOC－∠AOC）＝∠NOC－∠AOC＝∠AOB＋∠AOC－∠AOC＝∠AOB.

情况三：

如图③，

因为OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC，

所以∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC.

所以∠MON＝∠MOC＋∠NOC＝∠AOC＋∠BOC＝（∠AOC＋∠BOC）＝（360°－∠AOB）＝180°－∠AOB.

综上所述，∠MON与∠AOB的数量关系是∠MON＝∠AOB或∠MON＝180°－∠AOB.

专训三

1．D　2.②③　3.C　4.D　5.D　6.A

7．两点确定一条直线　8.30

9．解：

因为BD＝AB＝CD，所以CD＝AB.

因为F是CD的中点，所以DF＝CD＝×AB＝AB.

因为E是AB的中点，所以EB＝AB，

所以ED＝EB－DB＝AB－AB＝AB.

所以EF＝ED＋DF＝AB＋AB＝AB＝10cm，

所以AB＝12cm，所以CD＝AB＝16cm.

10．A　11.B　12.135　13.40°

14．解：

设∠BOC＝2x°，则∠AOE＝5x°，∠AOD＝8x°.

因为O是直线AB上一点，所以∠AOB＝180°，

所以∠COE＝（180－7x）°.

因为OE平分∠AOC，所以∠AOE＝∠COE，

即5x＝180－7x，解得x＝15，

所以∠AOD＝8×15°＝120°，所以∠BOD＝180°－∠AOD＝180°－120°＝60°.

15．解：

（1）根据题意画出示意图，如图所示，线段有AC，AD，AE，AB，CD，CE，CB，DE，DB，EB，共有10条，因此有10种不同的票价．

（2）同一路段，往返时起点和终点正好相反，所以要准备20种车票．

（第15题）

16．解：

设这两个角的度数分别为5x°、4x°.

由题意得5x＋4x＝180，

9x＝180，

x＝20.

5x＝100，4x＝80.

答：

这两个角的度数分别为100°和80°.

17．解：

设AC＝2x，则CD＝3x，DE＝4x，EB＝5x，由M，N分别是AC，EB的中点，得MC＝x，EN＝2.5x.由题意，得MN＝MC＋CD＋DE＋EN＝x＋3x＋4x＋2.5x＝21，即10.5x＝21，所以x＝2，则PQ＝CD＋DE＝3.5x＝7.

点拨：

解答此题的关键是设出未知数，利用线段长度的比及中点建立方程，求出未知数的值，进而求解．体现了方程思想在解题中的应用．

18．D　19.60°或20°

20．解：

画出四棱柱的侧面展开图，点M，N的位置如图

（2）所示，则M，N的位置在四棱柱的位置如图

（1）所示．

（第20题）