年考研数学真题及答案.docx
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年考研数学真题及答案
年考研数学真题及答案
【篇一：
2010年考研数学一试题及答案】
=txt>一、选择题
?
?
x2
lim
（1）、极限?
?
x?
?
?
（x?
a）（x?
b）?
a、1b、ec、e【详解】
a?
b
x
?
（c）
d、e
b?
a
?
?
xlim?
e?
?
limx?
?
x?
?
?
（x?
a）（x?
b）?
?
lime
x?
?
?
?
a?
b?
x?
ab?
x?
?
（x?
a）（x?
b）?
?
?
?
2
x
?
?
x2
ln?
?
（x?
a）（x?
b）?
?
?
?
x
?
lime
x?
?
?
?
x2
x?
?
1?
?
（x?
a）（x?
b）?
?
?
?
a?
b?
x2?
abx
?
lime
x?
?
（x?
a）（x?
b）
?
ea?
b
（2）、设函数z?
z（x,y），由方程f（,）?
0确定，其中f为可微函数，且f2?
?
0，则x
（b）
a、xb、zc、?
xd?
z
yzxx?
z?
z?
y?
?
u?
y
?
?
?
?
?
?
【详解】等式两边求全微分得：
（fu1x?
f2vx）dx?
（fu1y?
f2vy）dy?
（fu1z?
f2vz）dz?
0，
所以有，
?
?
f?
vxf?
u?
f2?
z?
z1uy?
f2vy
，，?
?
?
?
1x
?
?
?
?
?
xf?
yf1uz?
f2vz1uz?
f2vz
1yz1u?
v?
?
v?
，，，，，，代入即可。
u?
0v?
0yxzzy
xx2x2x
其中，ux?
?
（3）、设m,n
是正整数，则反常积分
?
10
的收敛性（d）
（a）仅与m的取值有关（b）仅与n有关
（c）与m,n都有关（d）都无关【详解】：
显然x?
0,x?
1是两个瑕点，有
?
?
?
120
?
?
1122m
1n
2m
21?
mn
对于
120
的瑕点x?
0，当x?
0?
ln（1?
x）x等价于（?
1）x
?
，
而
?
x
21?
mn
21
dx收敛收敛；
（因m,n是正整数?
?
?
?
1），
故对于mn（?
1,?
）（0的瑕点x?
1，当x?
1
2121211mnmnm?
?
）?
而11（?
）x?
2ln（1?
x）?
2（1?
x），
22
显然收敛，故
收敛。
所以选择d.
n
n
（4）、lim
n
n?
?
?
?
22?
（d）i?
1j?
1（n?
i）（n?
j）
a、
?
1
1
dx?
x
1
（1?
x）（1?
y2）
b、
?
1
dx?
x
（1?
x）（1?
y）
c、
?
1
1
1
?
1
1
dx?
（1?
x）（1?
y）
d、
?
1
dx0
（1?
x）（1?
y2
）
【详解】：
n
n
lim1
x?
?
?
?
nn
?
i）（n2?
j2?
limi?
1j?
1（n）n?
?
?
11i?
1
（1?
i）n?
n11
?
j?
1（1?
（j）2）n
?
1
dx?
1
（1?
x）（1?
y2
）
nn
（5）设a为m?
n型矩阵，b为n?
m型矩阵，e为m阶单位矩阵，若ab=e，则（a）a、秩r（a）=m,秩r（b）=mb、秩r（a）=m,秩r（b）=nc、秩r（a）=n,秩r（b）=md、秩r（a）=n,秩r（b）=n【详解】
?
ab?
e?
r（ab）?
m
又r（ab）?
m?
min（r（a）,r（b））,即r（a）?
m,r（b）?
m而r（a）?
m,r（b）?
m?
r（a）?
m,r（b）?
m
（6）设a为4阶实对称矩阵，且a2
?
a?
0，若a的秩为3，则a相似于（d）
?
?
1?
?
1?
?
?
1?
a．?
?
b.?
1?
?
1?
?
?
?
0?
?
?
?
1?
?
0?
?
?
?
1?
?
?
?
?
1?
c.?
?
1?
?
d.?
?
1?
?
?
1?
?
?
?
0?
?
?
?
1?
?
0?
?
【详解】设a的特征值为r，因为a2?
a?
0为所以?
2?
?
?
0
即?
（?
?
1）?
0?
?
?
0或?
?
?
1
又?
r（a）?
3，a必可相似对角化，且对角阵的秩也是3.
?
?
?
?
1是三重特征根
?
?
1?
?
?
?
1?
?
a~?
?
?
1?
?
?
所以正确答案为（d）
0?
?
?
0
x?
0
x?
（7）设随机变量的分布函数f（x）?
?
?
10?
x?
1?
2
，则{x=1}=（c）
?
?
1?
e
?
xx?
1
a．0Ｂ.12c.12
?
e?
1d.1?
e?
1
【详解】p{x?
1}?
f
（1）?
f（1?
0）?
1?
e?
1
?
1?
1?
e?
1
22
.所以选c
（8）设f1（x）为标准正态分布的概率密度，f2（x）为[?
1,3]上的均匀分布的概率密度，f（x）?
?
?
af1
（x）
x?
0?
bf2（x）
x?
0
（a?
0,b?
0）为概率密度，则a,b应满足：
（a）
a、2a?
3b?
4b、3a?
2b?
4c、a?
b?
1d、a?
b?
2【详解】由概率密度的性质
?
?
?
?
?
f（x）dx?
1，有
a?
0
?
?
f1（x）dx?
b?
3
f2（x）dx?
1
?
13
2a?
4
b?
1
?
2a?
3b?
4
所以选a。
二、填空题t
2（9）、设x?
e?
t
y?
?
ln（1?
2
dy
0u）du,求d2
x
?
【详解】
若
ln?
1?
t2y?
?
t?
dy
?
?
dxx?
t?
e?
t
?
d2yd?
dy?
d?
dy?
dt
?
?
?
?
?
?
dx2dx?
dx?
dt?
dx?
dx?
ln?
1?
t2?
?
?
1
?
?
?
?
?
x?
t?
e?
t?
?
2t
e?
t?
ln?
1?
t2?
e?
t21
?
?
?
2?
t?
t?
e?
e?
2t2?
e2t（?
ln（1?
t））2
1?
t
d2y2
故dx
（10）
、
?
0
?
2
?
?
?
4?
【详解】
?
?
2
?
?
4?
?
t,原式为
2?
t2costdt?
2t2sint|?
?
?
2tsintdt?
?
4?
tsintdt?
4tcost|?
00?
?
0costdt?
?
4?
000
?
?
?
?
?
?
?
?
点是（1,0）,则曲线积分（11）、已知曲线l的方程为y?
1?
x,x?
[?
1,1],起点是（?
1,0）终
?
l
xydx?
x2dy?
【详解】令
?
x?
t?
x?
t
l1:
?
?
1?
t?
0l2:
?
0?
t?
1
?
y?
1?
t?
y?
1?
t
?
l
xydx?
x2dy
?
?
?
?
l10
xydx?
x2dy?
?
l2
xydx?
x2dy
10
?
1
t?
1?
t?
?
t2dt?
?
1
?
t?
1?
t?
?
t2dt
10
?
23t2?
?
?
t?
?
32?
?
?
0
?
t223?
?
?
?
?
t?
3?
2?
22
（12）、设?
?
{（x,y,z）x?
y?
z?
1},则?
的形心坐标z?
2
3
【详解】
?
?
?
?
zdxdydz
?
?
?
?
dxdydz
?
d?
rdr?
?
?
d?
?
rdr?
r
2
1
2?
11
2
2?
?
1
3
dzr2
2
?
zdz
?
（13）设?
1?
（1,2,?
1,0）t,?
2?
（1,1,0,2）t,?
3?
（2,1,1,?
）t,若由形成的向量空间维数是2，则?
【详解】由题意知向量组?
1,?
2,?
3线性相关，而其中两个向量线性无关，所以r（?
1,?
2,?
3）?
2，即
?
112?
?
1?
?
?
r?
2r
?
211?
21?
0?
?
101?
r?
?
03?
r1?
?
?
?
02?
?
?
0?
?
?
?
?
?
6?
0?
?
?
6
2?
2?
?
11?
?
?
r?
r?
1?
3?
32?
0?
1?
3?
?
?
?
r134?
2r2000?
?
?
?
?
?
?
2?
?
?
00?
?
6?
c
k?
0,1,2,?
，则ex2?
k!
1
（14）设随机变量x概率分布为p{x?
k}?
?
【详解】由概率密度的性质
?
p{x?
k}?
1，有
k?
0
c?
1
?
1?
c?
e?
k!
k?
0
e?
1
k?
0,1,2,?
为参数为1的泊松分布，则有即p{x?
k}?
k!
?
ex?
1,dx?
1
?
ex2?
dx?
（ex）2?
2
三、解答题（15）（本题满分10分）
求微分方程y?
?
?
3y?
?
2y?
2xe的通解
【详解】齐次方程y?
?
?
3y?
?
2y?
0的特征方程为?
2?
3?
?
2?
0由此得?
1?
2,?
2?
1.对应齐次方程的通解为y?
c1e2x?
c2ex
x
a?
?
1,b?
?
2y?
ax?
bxe?
?
设非齐次方程的特解为代入原方程得从而所求解为
x
y?
c1e2x?
c2ex?
（?
x2?
2x）ex
（16）（本题满分10分）求函数f（x）?
x2
?
1
（x2?
t）e?
tdt的单调区间与极值
x2
2
【详解】由
f?
（x）?
2x?
e?
tdt?
0
1
，可得，x?
0，?
1
【篇二：
2015年考研数学
（一）真题及答案详解】
p>一、选择题:
1
8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项
符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.．．．
（1）设函数f（x）在?
?
?
?
?
?
内连续，其中二阶导数f?
?
（x）的图形如图所示，则曲线
y?
f（x）的拐点的个数为（）
（a）0（b）1（c）2（d）3
曲线y?
（2）（a）
（b）（c）（d）
.
2
所以2,1为特征方程r?
ar?
b?
0的根，从而a?
?
（1?
2）?
?
3，b?
1?
2?
2，从而原方
程变为y?
?
?
3y?
?
2y?
ce，再将特解y?
xe代入得c?
?
1.故选（a）
（3）若级数
xx
?
a
n?
1
?
x?
3依次为幂级数n条件收敛，则x?
?
na（x?
1）
n
n?
1
?
n
的（）
（a）收敛点，收敛点
（b）收敛点，发散点（c）发散点，收敛点（d）发散点，发散点【答案】（b）
【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质.【解析】因为
n
x?
2条件收敛，即为幂级数的条件收敛点，所以aa（x?
1）?
n?
nn?
1
n?
1
?
?
?
a（
xnn?
1?
n
?
?
na（n?
1
（a）（b）
（c）
（d）
x
（5）设矩阵，b?
?
d?
，若集合，则线性方程组有
?
?
?
14a2?
?
d2?
?
?
?
?
无穷多解的充分必要条件为（）
（a）a?
?
d?
?
（b）a?
?
d?
?
（c）a?
?
d?
?
（d）a?
?
d?
?
【答案】（d）
?
111?
【解析】（a,b）?
?
12a
?
14a2?
1?
?
1111?
?
?
?
d?
?
?
01a?
1d?
1?
2?
?
d?
?
00（a?
1）（a?
2）（dd?
2）?
?
，
由r（a）?
r（a,b）?
3，故a?
1或a?
2，同时d?
1或d?
22（6）设二次型f?
x1,x2,x3?
在正交变换为x?
py1其中2?
p?
?
e1,e2,e3?
，若q?
?
e1,?
e3,e2?
，则f?
x1,2x3?
?
（）
222（a）2y1?
y2?
y3222（b）2y1?
y2?
y3222（c）2y1?
y2?
y322（d）2y1?
y2?
y3
【答案】（a）
222x?
f?
ta
xyt（ptap）y?
2y1.?
y2?
y3
?
?
t
且p?
.
?
1?
?
?
?
100?
?
?
由已知可得:
q?
p?
001?
?
pc
?
0?
10?
?
?
?
200?
?
?
ttt
故有qaq?
c（pap）c?
?
0?
10?
?
001?
?
?
222
所以f?
xtax?
yt（qtaq）y?
2y1.选（a）?
y2?
y3
（7）若a,b为任意两个随机事件，则（）（a）p?
ab?
?
p?
a?
p?
b?
（b）p?
ab?
?
p?
a?
p?
b?
（c）p?
ab?
?
【答案】（c）
【解析】由于ab?
a,ab?
b，按概率的基本性质，我们有p（ab）?
p（a）且
p?
a?
p?
b?
p?
a?
p?
b?
（d）p?
ab?
?
22
p（ab）
（8）（）
（a）（9）.
?
?
.方法二：
lim?
lim?
lim?
limx?
0x?
0x?
0x?
0x2x2x2x22
（10）
sinx（?
?
?
21?
cosx?
x）dx?
________.
2
?
【答案】
4
【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.
?
2sinx?
?
?
【解析】?
2?
?
?
x?
dx?
2?
2xdx?
.
0?
4?
2?
1?
cosx
?
（11）若函数z?
z（x,y）由方程ex?
xyz?
x?
cosx?
2确定，则dz【答案】?
dx
【分析】此题考查隐函数求导.
【解析】令f（x,y,z）?
ez?
xyz?
x?
cosx?
2，则
（0,1）
?
________.
fx?
（
（12）?
?
?
（x?
?
.?
?
?
?
1?
.?
?
?
4?
（13）
n【答案】2
n?
1
?
2
【解析】按第一行展开得
【篇三：
历年考研数学一真题及答案（1987-2014）】
ss=txt>（经典珍藏版）
1987年全国硕士研究生入学统一考试
数学
（一）试卷
一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上）
（1）当x=_____________时,函数y?
x?
2x取得极小值.
（2）由曲线y?
lnx与两直线y?
e?
1?
x及y?
0所围成的平
面图形的面积是_____________.
1?
x
（3）与两直线y?
?
1?
t
z?
2?
t
及
x?
1y?
1?
2z?
1
1?
1
都平行且过原点的平面方程为
_____________.
（4）设
l
为取正向的圆周x2
?
y2
?
9,则曲线积分
?
?
l
（2xy?
2y）dx?
（x2?
4x）dy=_____________.
（5）已知三维向量空间的基底为
坐标是_____________.
二、（本题满分8分）
求正的常数a与b,使等式lim1x2
x?
0bx?
sinx?
0
?
1成立.
三、（本题满分7分）
（1）设f、g为连续可微函数,u?
f（x,xy）,v?
g（x?
xy）,
求
?
u?
x,?
v?
x
.
（2）设矩阵
a
和
b
满足关系式
ab=a?
2b,
其中
?
?
301?
a?
?
110?
求矩阵b.
?
4?
?
01?
?
四、（本题满分8分）
求微分方程y?
?
?
?
6y?
?
?
（9?
a2）y?
?
1的通解,其中常数a?
0.
五、选择题（本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1）设lim
f（x）?
f（a）
x?
a
（x?
a）
2
?
?
1,则在x?
a处（a）f（x）的导数存在,且f?
（a）?
0（b）f（x）取
得极大值
（c）f（x）取得极小值（d）f（x）
的导数不存在
（2）设f（x）
为已知连续函数s
i?
t?
t0
f（tx）dx,其中t?
0,s?
0,
则i的值
（a）依赖于s和t（b）依赖于s、
t和x
（c）依赖于t、x,不依赖于s（d）依赖于s,不依赖于t
（3）设常数?
k?
0,则级数?
（?
1）nk?
nn
2
n?
1（a）发散（b）绝对收敛
（c）条件收敛（d）散敛性与k的取值有关
（4）设a为n阶方阵，且a的行列式|a|?
a?
0,而a*
是a的伴
随矩阵，则|a*|等于
（a）a（b）1a
（c）an?
1
（d）an
六、（本题满分10分）
求幂级数?
?
1n?
1n?
2n
x的收敛域，并求其和函数.n?
1
七、（本题满分10分）求曲面积分
i?
?
?
x（8y?
1）dydz?
2（1?
y2）dzdx?
4yzdxdy,
?
其中?
是由曲线f（x）?
?
?
z?
1?
y?
3?
绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于?
.
2x?
0?
?
八、（本题满分10分）
设函数f（x）在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f（x）的值都在开区间（0,1）内,且f?
（x）?
1,证明在（0,1）内有且仅有一个x,使得f（x）?
x.
九、（本题满分8分）问a,b为何值时,现线性方程组
x1?
x2?
x3?
x4?
0x2?
2x3?
2x4?
1?
x2?
（a?
3）x3?
2x4?
b3x1?
2x2?
x3?
ax4?
?
1
有唯一解,无解,有无穷多解?
并求出有无穷多解时的通解.
十、填空题（本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上）
（1）设在一次实验中,事件a发生的概率为p,现进行n次独立试验,则a至少发生一次的概率为____________;而事件a至多发生一次的概率为____________.
（2）有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球,第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1
个球放到
第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________.（3）已知连续随机变量x
的概率密度函数为f（x）?
十一、（本题满分6分）
设随机变量x,y相互独立,其概率密度函数分别为
fx（x）?
?
x
2
?
2x?
1
则x的数学期望为____________,x的方差为____________.
1
0?
x?
1其它
?
y
y?
0,求zfy（y）?
y?
0?
2x?
y
的概率密度函数.
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