国小学童正整数除法问题解题策略之分析研究.docx
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国小学童正整数除法问题解题策略之分析研究
國小學童正整數除法問題解題策略之分析研究
報告人：
鄭秋定92.2.14上午
壹、前言：
本研究旨在探討國小二、三、四年級學童在正整數除法問題解題策略使用情形。
研究過程，首先以自編的正整數除法問題試題，抽測屏東縣、高雄縣、高雄市、台南市學童，每一年級各600名學童，筆試資料經統計分析後，再選取較特殊的解題策略進行訪談，以探討其內隱的解題歷程。
以質量並重的研究方式，蒐集資料，統計分析，以下謹將研究結果敘述如下。
貳、二年級學童的正整數除法問題解題策略探討：
（一）二年級學童對正整數除法問題解題策略及解題記錄表徵方式分析：
二年級學童在筆試測驗資料中所使用的正整數除法問題解題策略，依據學童的解題記錄及參考教科書的用語，謹條列如下。
而其排列的先後順序，則依據教科書在除法問題教材編排，處理教學指導活動出現的先後順序而予以排列。
1.圖像表徵策略。
2.多步驟減法策略。
3.多步驟加法策略。
4.多步驟乘法策略。
5.乘加法策略。
6.乘加減法策略。
7.乘法算式填充題列式，乘、加、減法策略。
8.乘法算式填充題列式，除法橫式或除法直式策略。
9.除法算式填充題（或除法橫式）記錄問題策略。
10.除法算式填充題列式（或摘要記錄），乘、加、減法策略。
11.除法直式策略。
12.除法算式填充題列式（或摘要記錄），除法直式策略。
13.圖像表徵與算式合併策略。
在上面的二年級學童除法問題解題策略分類中，可看出有許多策略是在Kouba（1989）及林慧麗（民80）所定義的除法問題解題策略中未曾出現的解題策略，這是由於Kouba（1989）及林慧麗（民80）所研究的對象為尚未正式學習除法問題的幼童，所使用的除法問題解題策略，並未出現列式記錄問題或摘要記錄的解題過程，以及尚未學習除法直式運算的原故。
另外在本研究中發現，二年級學童較特殊的解題策略為圖像表徵與算式合併的策略，雖然使用的人數並不多，但此種策略也是Kouba（1989）及林慧麗（民80）未曾提及的策略。
將二年級學童在4個自編正整數除法問題試題的解題策略及解題記錄表徵方式的原始資料，做一整理及統計。
得知：
二年級學童在不同的問題中所使用的解題策略及解題記錄表徵方式，種類都不同。
其中以問題2（包含除問題），兒童使用的解題策略11種，解題記錄表徵方式56種最少；問題3（等分除問題）的解題記錄表徵方式64種最多。
（二）二年級學童正整數除法問題解題策略探討：
將二年級學童在四個自編正整數除法問題筆試測驗資料的解題策略其解題記錄原始資料整理後，發現以下幾個結果：
1、解題策略共有「圖像表徵策略」、「多步驟減法策略」、「多步驟加法策略」、「多步驟乘法策略」、「乘加法策略」、「乘加減法策略」、「乘法算式填充題列式，乘、加、減法策略」、「乘法算式填充題列式，除法橫式或除法直式策略」、「除法算式填充題（或除法橫式）記錄問題策略」、「除法算式填充題列式（或摘要記錄），乘、加、減法策略」、「除法直式策略」、「除法算式填充題列式（或摘要記錄），除法直式策略」、「圖像表徵與算式合併策略」等十三種策略。
2、在十三種解題策略中，依據是否使用算式填充題列式記錄問題，又可區分為三種情形。
第一種情形為未使用算式填充題列式記錄問題的解題策略；第二種情形為先以乘法算式填充題列式記錄問題再進行解題的策略；第三種情形為先以除法算式填充題列式記錄問題再進行解題的策略。
3、使用第一種情形的解題策略進行解題的學童約有70%，使用第二種情形的解題策略進行解題的學童約有6%，使用第三種情形的解題策略進行解題的學童約有10%。
4、在十三種解題策略中以使用「多步驟減法策略」來解題的學童為最多。
5、第2題包含除問題解題成功的學童人數最多。
6、雖然教科書尚未指導有「÷」的除法橫式算式及除法直式的運算，但是，發現已約有11%的學童會使用有「÷」的除法橫式算式及除法直式運算來記錄問題。
7、使用「除法算式填充題（或除法橫式）記錄問題策略」來解題的學童約有7%的學童，其內隱的解題運算另以訪談方式探討。
（三）訪談結果探討：
由上面結果得知約有7%的學童使用只有「÷」的算式填充題做解題記錄，為探討其內隱的解題運算，研究者找了7位在施測試題上全部只以有「÷」的算式填充題記錄解題結果的學童，及1位全部以有「÷」的算式填充題及使用除法直式做解題的學童進行訪談。
由訪談得知下面幾點：
1、學生從家庭教育（父母）及社會教育（心算班、安親班、補習班）事先學會使用「÷」來記錄解題結果。
2、在如：
「72÷6＝12」的算式中，12的求算，是透過多步驟乘法（逐步或跳躍）或乘加方式來算出答案，只是學生將其過程內隱未呈現，而以最精簡的算式72÷6＝12來表示問題的結果。
3、有的父母使用傳統除法直式算則來指導子女，使其用最有效率的方式來解決除法問題。
4、在訪談的8位學童中，用多步驟乘法策略解題的有7位學童，用乘加策略的有1位學童，其中有1位學童用除法直式解題，在說明中可看出已具有除法直式算則的初步概念。
參、三年級學童的正整數除法問題解題策略探討：
（一）三年級學童對正整數除法問題解題策略及解題記錄表徵方式分析：
三年級學童在筆試測驗資料中所使用的正整數除法問題解題策略，依據學童的解題記錄及參考教科書的用語，謹條列敘述如下。
而其排列的先後順序，則依據教科書在除法問題教材編排，處理教學指導活動出現的先後順序而予以排列。
1.圖像表徵策略。
2.多步驟減法策略。
3.多步驟加法策略。
4.加減法策略。
5.多步驟乘法策略。
6.乘加法策略。
7.乘減法策略。
8.乘加減法策略。
9.乘法算式填充題列式，乘、加、減法策略。
10.除法算式填充題（或除法橫式）記錄問題策略。
11.除法算式填充題列式（或摘要記錄），乘、加、減法策略。
12.除法直式估商活動策略。
13.除法算式填充題列式（或摘要記錄），除法直式估商活動策略。
14.除法直式策略。
15.除法算式填充題列式（或摘要記錄），除法直式策略。
16.綜合策略。
17.圖像表徵與算式合併策略。
上面17種解題策略的定義，是研究者依據學童解題時所記錄的內容，再參考各版本教科書所使用的用語而予以界定。
這些解題策略的定義方式與Kouba（1989）、林慧麗（民81）、李光榮（民86）所使用的定義方式有些不同，而有些則是他們未曾提及的，如「除法直式估商活動策略」、「綜合策略」、「圖像表徵與算式合併策略」這幾個解題策略的命名，是研究者依學童的解題記錄及研究分類的需要而予以定義。
將三年級學童在4個自編正整數除法問題試題的解題策略及解題記錄表徵方式的原始資料，做一整理及統計。
發現：
三年級學童在四個除法問題解題策略的表現上，以問題1使用16種解題策略及109種解題記錄表徵方式最多，問題4使用56種解題記錄表徵方式最少。
（二）三年級學童正整數除法問題解題策略探討：
將三年級學童在四個自編正整數除法問題筆試測驗資料的解題策略，其解題記錄原始資料整理。
發現有以下幾個結果：
1、解題策略共有「圖像表徵策略」、「多步驟減法策略」、「多步驟加法策略」、「加減法策略」、「多步驟乘法策略」、「乘加法策略」、「乘減法策略」、「乘加減法策略」、「乘法算式填充題列式，乘、加、減法策略」、「除法算式填充題（或除法橫式）記錄問題策略」、「除法算式填充題列式（或摘要記錄），乘、加、減法策略」、「除法直式估商活動策略」、「除法算式填充題列式（或摘要記錄），除法直式估商活動策略」、「除法直式策略」、「除法算式填充題列式（或摘要記錄），除法直式策略」、「綜合策略」、「圖像表徵與算式合併策略」等十七種策略。
2、在十七種解題策略中，依據是否使用算式填充題列式記錄問題，又可區分為三種情形。
第一種情形為未使用算式填充題列式記錄問題的解題策略；第二種情形為先以乘法算式填充題列式記錄問題再進行解題的策略；第三種情形為先以除法算式填充題列式記錄問題再進行解題的策略。
3、在三種情形的解題策略中，使用第一種情形的解題策略的學童約有41.58%的學童，使用第二種情形的解題策略的學童約有3.96%的學童，使用第三種情形的解題策略的學童約有34%的學童。
4、在十七種解題策略的使用方面，以使用「除法算式填充題列式（或摘要記錄），除法直式策略」解題的學童最多，約有13.83%的學童。
5、經整理資料，發現三年級學童使用第三種情形的解題策略的學童人數%，因教材內容的處理情形不同，學童的解題策略在使用「÷」進行解題的人數%方面，各版本的人數%不同。
6、康軒版在第五冊（三上）即引入除法直式的教材，整理各題中各版本使用除法直式（含除法直式估商活動）解題的學童人數%。
發現康軒版因教材內容在除法直式教學活動的安排處理，使得使用康軒版的學童使用除法直式解題的學童人數%，明顯的比使用其他兩個版本的學童人數%多。
7、約有7.375%的學童以「除法算式填充題（或除法橫式）記錄問題策略」來解題，這些學童內隱的解題策略究竟是什麼，另以訪談的內容加以探討。
（三）訪談結果探討：
國編版的教科書在三年級中並未指導使用「÷」及除法直式的解題記錄方式，但是在施測的試卷中，發現約有20%的學生會使用「÷」及除法直式估商、除法直式算式來解決問題，因此找了3位在筆試測驗資料中以使用「÷」及除法直式估商、除法直式算式來解決問題的國編版學童進行訪談，以了解其學習的途徑及內隱的解題的過程。
由談話內容得知：
1、童透過家庭中的父母或學校外面的補習班老師的指導學會「÷」及除法直式算則。
2、用有「÷」的除法算式填充題記錄問題的學生，有些是使用多步驟乘法或乘減混合策略求算答案，但是都內隱，使用心算的方式來思考運算過程。
3、除法直式記錄的學生，其處理方式也有些不同，有的已使用算則的方式在解題，有的尚停留在乘減的過程中。
肆、四年級學童的正整數除法問題解題策略探討：
（一）四年級學童對正整數除法問題解題策略及解題記錄表徵方式分析：
四年級學童在筆試測驗資料中所使用的正整數除法問題解題策略，依據學童的解題記錄及參考教科書的用語，謹條列敘述如下，而其排列順序則依據教科書在除法問題教材編排，處理教學指導活動出現的先後次序而予以排列。
1.乘、加、減法策略。
2.除法算式填充題（或除法橫式）記錄問題策略。
3.除法算式填充題列式（或摘要記錄），乘、加、減法策略。
4.除法直式估商活動策略。
5.除法算式填充題列式（或摘要記錄），除法直式估商活動策略。
6.除法直式策略。
7.除法算式填充題列式（或摘要記錄），除法直式策略。
上面7種解題策略的定義，是研究者依據學童解題時所記錄的內容，再參考各版本教科書的用語而予以界定。
在李光榮（民86）所定義的解題策略中，並未使用「除法直式估商活動策略」，但卻有「先分配子全體再合成策略」，其運算過程有相似的地方，而用語不同。
因此，對「解題策略」的定義，會因研究者的看法而有所不同。
將四年級學童在八個自編正整數除法問題解題策略及解題記錄表徵方式的原始資料，做一統計整理。
發現，四年級學童在8個正整數除法問題解題策略及解題記錄表徵方式的使用上，以第1題使用7種解題策略及85種解題記錄表徵方式為最多，,而第5題及第7題只使用7種解題策略及29種解題記錄表徵方式為最少。
（二）四年級學童正整數除法問題解題策略探討：
將四年級學童在8個自編正整數除法問題筆試測驗資料的解題策略，其解題記錄原始資料整理，發現以下幾個結果：
1、解題策略共有「乘、加、減法策略」、「除法算式填充題（或除法橫式）記錄問題策略」、「除法算式填充題列式（或摘要記錄），乘、加、減法策略」、「除法直式估商活動策略」、「除法算式填充題列式（或摘要記錄），除法直式估商活動策略」、「除法直式策略」、「除法算式填充題列式（或摘要記錄），除法直式策略」等七種策略。
2、解題策略依據是否使用算式填充題列式記錄問題，又可區分為三種情形，第一種情形為未使用算式填充題列式記錄問題的解題策略；第二種情形為先使用乘法算式填充題列式記錄問題再進行解題的解題策略則沒有；第三種情形為先使用除法算式填充題列式記錄問題再進行解題的解題策略。
3、在第一種情形以未呈現算式填充題列式記錄問題而直接解題的學童約有28.29%的學童；第三種情形以先呈現除法算式填充題列式再解題的學童約有53.54%的學童。
4、在七種解題策略的使用方面，發現以使用「除法算式填充題列式（或摘要記錄），除法直式策略」解題的學童最多，約有29.5%的學童使用此策略解題。
5、經研究結果，發現第1題（三位數÷一位數＝三位數，整除的等分除問題），各版本學童成功解題的人數%，分別為國編版有89%的學童，南一版有84.5%的學童，康軒版有89.5%的學童，發現並無多大差別；但是，在第5題（三位數÷三位數＝一位數…三位數，有餘數的包含除問題），各版本學童成功解題的人數%，則分別為國編版有81.5%的學童，南一版有69.5%的學童，康軒版有73.5%的學童，發現使用南一版的學童在解決三位數÷三位數＝一位數…三位數的除法問題時會遭遇困難。
6、發現約有10.13%的學童，在解題後，僅以除法算式填充題（或除法橫式）記錄解題，而內隱其真正的解題過程。
（三）訪談結果探討：
在上面的研究結果中發現約有10%的學生使用有「÷」的算式填充題記錄解題結果，而未呈現其他任何的解題過程，因此，找了1位僅使用有「÷」的算式填充題記錄解題結果，而未呈現其他任何的解題過程的使用國編版教科書的學生進行訪談，以了解其內隱的解題過程。
從訪談的內容中得知：
1、學生用除法直式求出答案而以精簡的有「÷」的算式填充題來記錄問題結果。
2、學生在使用除法直式時，由訪談中發現學童使用除法直式算則在運思，對於加、減、乘的基礎已非常穩固。
伍、二、三、四年級學童的正整數除法問題解題策略之比較：
（一）二、三年級學童正整數除法問題解題策略比較：
1、二年級、三年級學童在三種情形的解題策略使用人數%：
二、三年級解題策略統計表
年級
人
數%
類
別
二
三
說 明
第一種情形的策略
70
42
第一種情形的解題策略為未呈現算式填充題列式而直接解題的策略
第二種情形的策略
6
4
第二種情形的解題策略為先使用乘法算式填充題列式再進行解題的策略
第三種情形的策略
10
34
第三種情形的解題策略為先使用除法算式填充題列式再進行解題的策略
對二、三年級學童在三種情形的解題策略，進行χ2考驗的結果，發現：
二、三年級學童在三種情形的解題策略其χ2達顯著差異，且第一種情形及第三種情形的差異均達顯著水準。
2、根據前面結果可發現：
在個別的解題策略的使用上，二、三年級學童有所不同。
二年級學童以使用「多步驟減法策略」解題的學童最多，約有31%的學童使用此策略；三年級學童則以使用「除法算式填充題列式（或摘要記錄），除法直式策略」解題的學童最多，約有13.8%的學童使用此種策略。
3、根據前面結果發現二年級學童在解題策略的種類及解題記錄表徵方式的種類都比三年級學童少。
綜合上述三點研究結果，可發現二、三年級學童在正整數除法問題的解題策略表現上有所不同。
（二）三、四年級學童的正整數除法問題解題策略比較：
1、三年級、四年級學童在三種情形的解題策略使用人數%：
三、四年級解題策略統計表
年級
人
數%
類
別
三
四
說 明
第一種情形的策略
42
28
第一種情形的解題策略為未呈現算式填充題列式而直接解題的策略
第二種情形的策略
4
0
第二種情形的解題策略為先使用乘法算式填充題列式再進行解題的策略
第三種情形的策略
34
54
第三種情形的解題策略為先使用除法算式填充題列式再進行解題的策略
對三、四年級學童在三種情形的解題策略，進行χ2考驗其結果達顯著差異，
進行事後比較的結果為：
第一種情形的策略未達顯著水準；第二種情形的策略未達顯著水準；第三種情形的策略達顯著水準。
2、根據前面結果可發現：
在個別的解題策略的使用上，三、四年級學童都以使用「除法算式填充題列式（或摘要記錄），除法直式策略」來解題的人數為最多。
但是，在使用人數%上有差異，三年級學童使用的人數約為13.83%的學童，而四年級則約有29.5%的學童使用此策略解題。
3、根據前面結果可發現四年級學童在解題策略種類及解題記錄表徵方式種類都比三年級學童少。
三年級學童解題記錄表徵方式最多為109種，最少為57種；四年級學童解題記錄表徵方式最多為85種，最少為29種。
4、由前面結果發現三年級學童因受使用版本教科書教材內容處理的影響，在除法直式算式使用上的人數%各版本使用學童的人數%有明顯的不同；而由
前面結果中也發現，四年級學童在除法直式算式使用上的人數%各版本的人數%其差異較小。
綜合上述四點研究結果，可發現三、四年級學童在正整數除法問題的解題策略表現上也有不同。
（三）二、三、四年級學童正整數除法問題解題策略比較：
1、二、三、四年級學童在三種情形的解題策略人數%：
二、三、四年級解題策略統計表
年級
人
數%
類
別
二
三
四
說 明
第一種情形的策略
70
42
28
第一種情形的解題策略為未呈現算式填充題列式而直接解題的策略
第二種情形的策略
6
4
0
第二種情形的解題策略為使用乘法算式填充題列式再進行解題的策略
第三種情形的策略
10
34
54
第三種情形的解題策略為使用除法算式填充題列式再進行解題的策略
由上表中可發現第一種情形及第二種情形的解題策略的使用人數%由二年級至四年級逐年降低，而第三種情形的解題策略的使用人數%，則由二年級至四年級逐年增加。
對二、三、四年級學童在三種情形的解題策略，進行χ2考驗的結果，發現：
二、三、四年級學童在三種情形的解題策略其χ2達顯著差異；且二、四年級在第一種情形、第二種情形及第三種情形的差異均達顯著水準。
2、在個別的解題策略的使用上各年級亦不同。
二年級學童以使用「多步驟減法策略」來解題的學童（約31%學童）為最多。
三年級學童以使用「除法算式填充題列式（或摘要記錄），除法直式策略」來解題的學童（約13.8%的學童）為最多。
四年級學童以使用「除法算式填充題列式（或摘要記錄），除法直式策略」來解題的學童（約29.5%的學童）為最多。
3、在二、三、四年級學童的解題記錄表徵方式總數上，以三年級學童在第1題的解題記錄表徵方式的109種最多。
四年級學童在第5題及第7題的解題表徵方式的29種最少。
綜合上述三點，可發現二、三、四年級學童在正整數除法問題在解題過程、解題策略、解題記錄表徵方式的表現上都有不同。
陸、綜合討論
在前面的敘述已經將學童解題策略及解題記錄表徵方式的研究結果做整理，本部分將學童在解題記錄原始資料所呈現的內容提出討論。
（一）乘法算式填充題列式的探討：
1、依據學童解題記錄之原始資料，二年級學童在各問題的乘法算式填充題列式方面，在4個問題中，學童將除法問題不論是包含除問題或等分除問題都轉換成缺乘數的乘法算式填充題列式，可發現二年級學童對乘法算式意義的掌握並不很清楚、正確，有混淆乘式意義的情形，這個研究發現和游麗卿（民88）的研究結果相符合。
2、依據學童解題記錄之原始資料。
三年級學童在各問題的乘法算式填充題列式方面，在4個問題中，三年級學童與二年級學童沒有差別，不論是包含除、等分除問題都轉換成缺乘數的乘法算式填充題，而在問題2，3題，有餘數的除法問題。
學童在解題記錄表徵方式上，以自創的型式表現，顯示出學童在乘法算式填充題理解不清楚，有混淆乘式意義的情形，這個發現與游麗卿（民88）的研究結果相符合。
（二）除法直式算式的探討：
1、依據三年級學童解題記錄之原始資料，三年級學童的除法直式算式可分成兩類：
（一）除法直式估商活動，
（二）一般的除法直式。
從原始資料中發現學童在除法直式算式的表現上非常多元化，在以往的研究上並未曾見過提及學童在除法直式表徵情形的說明，這是本研究中較突出的研究成果。
2、依據四年級學童解題記錄之原始資料，四年級學童的除法直式也可分成兩類，
（1）除法直式估商活動
（2）一般的除法直式。
由資料中發現四年級學童在除法直式的表現上比三年級學童還要多元化，這是因為四年級的除法問題的球算位數較多的緣故。
在此要提出討論思考的課題是：
除法直式教材在四年級的教學活動要不要引導至約定成俗的規格化記錄（也就是除法直式算則的指導要不要引導的問題）呢？
（三）橫式算式及除法直式算式連結的探討：
三年級、四年級除法直式形成的過渡期中，如何由乘法算式或乘減算式引入除法直式估商活動及除法直式呢？
例如：
72÷6＝（ ）
（1）
由乘減算式
除法直式估商
除法直式
6×10＝60
72－60＝12
6×2＝12
12－12＝0
2
10
6）72
60
12
12
0
12
6）72
6
12
12
0
（2）
由跳躍式乘法
除法直式
6×10＝60
6×11＝66
6×12＝72
12
6）72
72
0
在文獻上並未發現有此部分的研究，且在本研究資料成果上也未發現學童能將其橫式算式記錄連結成除法直式的筆試資料；但是，在訪談三年級學童時發現，第2位學生其筆試資料呈現，
柒、結語：
提供此份研究報告的主要目的是讓各位老師對於二、三、四年級學生除法問題解題策略的發展有較系統性的了解，希望在處理教學活動的過程中能更準確的掌握學生的解題活動脈動。
也期盼對未來的研究有所幫助。
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