部编人教版数学九年级下册《解直角三角形》省优质课一等奖教案.docx

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部编人教版数学九年级下册《解直角三角形》省优质课一等奖教案

28．2　解直角三角形及其应用

28．2.1　解直角三角形

教学目标：

1．使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．

2．渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．

直角三角形的解法．

三角函数在解直角三角形中的灵活运用．

一、创设情景　明确目标

如何用我们学过的三角函数关系式来解决引言提出的有关比萨斜塔问题呢？

二、自主学习　指向目标

1．自主学习教材第72至74页．

2．学习至此，请完成学生用书相应部分．

三、合作探究　达成目标

探究点一　解直角三角形

活动一：

1.直角三角形ABC中，∠C＝90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？

（1）边角之间关系

sinA＝；cosA＝；tanA＝；

sinB＝；cosB＝；tanB＝；

如果用∠α表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成．

sinα＝；cosα＝；tanα＝；cotα＝

（2）三边之间关系a2＋b2＝c2（勾股定理）．

（3）锐角之间关系∠A＋∠B＝90°.

展示点评：

一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．

2．阅读教材73页例1和例2

解：

例1　∵tanA＝＝＝，

∴∠A＝60°，∴∠B＝90°－∠A＝30°，∴c＝2b＝2

例2　∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55°，

∵tanB＝，∴a＝＝≈28.6

∵sinB＝，∴c＝＝≈34.9

小组讨论1：

在例1和例2中，除直角外，分别已知几个元素？

要求哪些元素？

反思小结：

根据直角三角形的已知元素（至少有一个边），求出其它所有求知元素的过程，即解直角三角形．

【针对训练】

同学生用书

探究点二　构造直角三角形解题

活动二：

2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置？

这样的最远点与P点的距离是多少？

（地球半径约为6400km，结果精确到0.1km）

解：

在上图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形，

∵cosα＝＝＝0.95，∴α≈18°，∴弧PQ的长为×6400≈3.14×640＝2009.6

由此可知，当飞船在p点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约2009.6km.

小组讨论2：

如何运用切线的性质将此题转化成解直角三角形问题呢？

反思小结：

一般情况下，直角三角形是求解或运用三角函数值的前提条件，故当题目中提供的并非直角三角形时，需添加辅助线构造直角三角形，然后运用三角函数解决问题．

【针对训练】

同学生用书

四、总结梳理　内化目标

1．知识小结——运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．

2．思想方法小结——转化数学思想．

五、达标检测　反思目标

1．Rt△ABC中，∠C＝90°.若sinA＝，AB＝10，那么BC＝__8__，tanB＝____．

2．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，那么sinA等于（B）

A.　　　B.　　　C.　　　D.

3．在Rt△ABC中，∠C为直角，a＝4，C＝8，解这个三角形．

4．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝8，∠ABD＝30°，∠CAD＝45°，求BC的长．

解：

∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.

在Rt△ABD中，∵AB＝8，∠ABD＝30°，

∴AD＝AB＝4，BD＝AD＝4.

在Rt△ADC中，∵∠CAD＝45°，∠ADC＝90°，

∴DC＝AD＝4，∴BC＝BD＋DC＝4＋4.

作业布置：

1．上交作业　课本第77页习题28.2复习巩固第1题、第2题．

2．课后作业　见学生用书．

教学反思：

本节课的设计，力求体现新课程理念给学生自主探索的时间和宽松和谐的氛围，让学生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养探索能力、创新精神和合作精神，激发学生学习数学的积极性和主动性．

28．2.2　应用举例

第1课时　与视角有关的实际问题

教学目标：

1．使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．

2．逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

3．渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识．

将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．

实际问题转化成数学模型．

一、创设情景　明确目标

平时我们观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？

（三种，重叠、向上和向下）结合示意图给出仰角和俯角的概念．

二、自主学习　指向目标

1．自主学习教材第75页．

2．学习至此，请完成学生用书相应部分．

三、合作探究　达成目标探究点一　测量物体的高度问题

活动：

例1　热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋离楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m.这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）．

解：

如图，α＝30°β＝60°，AD＝120，∵tanα＝，tanβ＝，∴BD＝AD·tanα＝120×tan30°＝120×＝40，CD＝AD·tanβ＝120×tan60°＝120×＝120，∴BC＝BD＋CD＝40＋120＝160≈277.1m答：

这栋楼高约为277.1m.

展示点评：

当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．

小组讨论：

对于双直角三角形问题，你有哪些解题思路？

和同伴说一说．

反思小结：

利用直角三角形中的边角关系求线段的长度，如果涉及两个或是两个以上的三角形时，可以通过__设求知数__，利用线段之间的__等量关系__列出方程，从而求解．

【针对训练】

同学生用书

四、总结梳理　内化目标

1．知识小结——了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．

2．思想方法小结——实际问题转化成数学模型，将钝角三角形转化为解直角三角形．

五、达标检测　反思目标

1．（中考·哈尔滨）如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞行高度AC＋1200m，从飞机上看地面指挥台B的俯角α＝30°，则飞机A与指挥台B的距离为（D）

A．1200m　　　　　　B．1200m

C．1200mD．2400m

第1题图

第2题图

2．某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB的高度为__9__米．

3．如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M仰角为45°；小红眼睛与地面的距离（CD）是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°.两人相距28m且位于旗杆两侧（点B、N、D在同一条直线上）．求出旗杆MN的高度．（参考数据：

≈1.4，≈1.7，结果保留整数．）

解：

过点A作AE⊥MN于E，过点C作CF⊥MN于F，

则EF＝AB－CD＝1.7－1.5＝0.2（m），

在Rt△AEM中，∵∠AEM＝90°，∠MAE＝45°，

∴AE＝ME.

设AE＝ME＝xm，则MF＝（x＋0.2）m，FC＝（28－x）m.

在Rt△MFC中，∵∠MFC＝90°，∠MCF＝30°，

∴MF＝CF·tan∠MCF，

∴x＋0.2＝（28－x），

解得x≈10.0，

∴MN＝ME＋EN≈10＋1.7≈12米．

答：

旗杆MN的高度约为12米．

作业布置：

1．上交作业　课本第78页习题28.2复习巩固第3、4、7题．

2．课后作业　见学生用书．

教学反思：

备课时尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学过程中的每一个细节．上课前多揣摩，让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，舍得把课堂让给学生，让学生做课堂这个小小舞台的主角．使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作，不断总结得失，不断进步．只有这样，才能真正提高课堂教学效率．

第2课时　与方向角、坡度有关的实际问题

教学目标：

1．理解坡度与方位角的概念．

2．能应用坡度与方位角的概念，解决有关坡度与方位角的简单实际问题．

用三角函数有关知识解决方位角问题和坡度问题．

实际问题转化成数学模型．

一、创设情景　明确目标

1．叫同学们在练习薄上画出方向图（表示东南西北四个方向的）．

2．依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线．

二、自主学习　指向目标

1．自主学习教材第76至77页．

2．学习至此，请完成学生用书相应部分．

三、合作探究　达成目标

探究点　方位角问题

活动：

例　　

如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？

解：

如图，在Rt△APC中，PC＝PA·cos（90°－65°）＝80×cos25°≈72.8在Rt△BPC中，∠B＝34°，∵sinB＝，∴PB＝＝≈130.23

因此．当海轮到达位于灯塔P的南偏东340方向时，它距离灯塔P大约130.23海里．海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01海里）．

展示点评：

选取适当的顶点向对边作垂线，构造新的直角三角形，然后将实际问题转化为数学问题，找出对应的边和角是问题关键．

小组讨论：

利用解直角三角形知识解决方位角问题的一般步骤和方法是怎样的？

反思小结：

方位角是一种表示方向的角，在航海，测绘等位置确定中非常重要．解决方位角问题，首先明确概念，通过添加适当辅助线，把具体问题抽象成“__直角三角形__”模型，利用直角三角形的边角关系以及勾股定理来解题．

【针对训练】

同学生用书

四、总结梳理　内化目标

1．知识小结——能应用坡度与方位角的概念，解决有关坡度与方位角的简单实际问题．

2．思想方法小结——实际问题转化成数学模型．

五、达标检测　反思目标

1．一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近．同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（D）

A．10海里/小时　　　　B．30海里/小时

C．20海里/小时D．30海里/小时

第1题图

第2题图

2．钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）

解：

过点B作BD⊥AC于D.由题意可知，∠BAC＝45°，∠ABC＝90°＋15°＝105°，∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝30°，在Rt△ABD中，BD＝AB·sin∠BAD＝20×＝10（海里），在Rt△BCD中，BC＝＝＝20（海里）．

答：

此时船C与船B的距离是20海里．

3．如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：

背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i＝1∶2.

（1）求加固后坝底增加的宽度AF的长；

（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？

解：

（1）分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H，∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，∴DH平行且等于EG，故四边形EGHD是矩形，∴ED＝GH，在Rt△ADH中，AH＝DH÷tan∠DAH＝8÷tan45°＝8（米），在Rt△FGE中，i＝1∶2＝，∴FG＝2EG＝16（米），∴AF＝FG＋GH－AH＝16＋2－8＝10（米）；

（2）加宽部分的体积V＝S梯形AFED×坝长＝×（2＋10）×8×400＝19200（立方米）．答：

（1）加固后坝底增加的宽度AF为10米；

（2）完成这项工程需要土石19200立方米．

作业布置：

1．上交作业　课本第78页习题28.2复习巩固第5、8、9题．

2．课后作业　见学生用书．

教学反思：

将解直角三角形应用到实际生活中，有利于培养学生的空间想象能力，即要求学生通过对实物的观察或根据文字语言中的某些条件，画出适合它们的图形．这一方面在教学过程应由学生展开，并留给学生思考的时间，给学生充分的自主思考空间和时间，让学生积极主动地学习．