学年高中数学第七章复数711数系的扩充和复数的概念学案新人教A版.docx
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学年高中数学第七章复数711数系的扩充和复数的概念学案新人教A版
7．1.1 数系的扩充和复数的概念
考点
学习目标
核心素养
复数的有关概念
了解数系的扩充过程，理解复数的概念
数学抽象
复数的分类
理解复数的分类
数学抽象
复数相等
掌握复数相等的充要条件及其应用
数学运算
问题导学
预习教材P68－P70的内容，思考以下问题：
1．复数是如何定义的？
其表示方法又是什么？
2．复数分为哪两大类？
3．复数相等的条件是什么？
1．复数的有关概念
（1）复数的定义
形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1．
（2）复数集
全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集．
（3）复数的表示方法
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．
■名师点拨
对复数概念的三点说明
（1）复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi（a，b∈R）的形式，其中0＝0＋0i.
（2）复数的虚部是实数b而非bi.
（3）复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．
2．复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R），我们规定：
a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d．
3．复数的分类
（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）
（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
■名师点拨
复数bi（b∈R）不一定是纯虚数，只有当b≠0时，复数bi（b∈R）才是纯虚数．
判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．（ ）
（2）复数z1＝3i，z2＝2i，则z1＞z2.（ ）
（3）复数z＝bi是纯虚数．（ ）
（4）实数集与复数集的交集是实数集．（ ）
答案：
（1）×
（2）× （3）× （4）√
若z＝a＋（a2－1）i（a∈R，i为虚数单位）为实数，则a的值为（ ）
A．0 B．1
C．－1D．1或－1
答案：
D
以3i－
的虚部为实部，以－3＋
i的实部为虚部的复数是（ ）
A．3－3iB．3＋i
C．－
＋
iD.
＋
i
答案：
A
若（x－2y）i＝2x＋1＋3i，则实数x，y的值分别为________．
答案：
－
－
复数的概念
下列命题：
①若a∈R，则（a＋1）i是纯虚数；
②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；
③若（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i是纯虚数，则实数x＝±2；
④实数集是复数集的真子集．
其中正确的命题是（ ）
A．① B．②
C．③D．④
【解析】 对于复数a＋bi（a，b∈R），当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于①，若a＝－1，则（a＋1）i不是纯虚数，即①错误；两个虚数不能比较大小，则②错误；对于③，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i＝0不是纯虚数，则③错误；显然，④正确．故选D.
【答案】 D
判断与复数有关的命题是否正确的方法
（1）举反例：
判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．
（2）化代数形式：
对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部．
[提醒] 解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质．
对于复数a＋bi（a，b∈R），下列说法正确的是（ ）
A．若a＝0，则a＋bi为纯虚数
B．若a＋（b－1）i＝3－2i，则a＝3，b＝－2
C．若b＝0，则a＋bi为实数
D．i的平方等于1
解析：
选C.对于A，当a＝0时，a＋bi也可能为实数；
对于B，若a＋（b－1）i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；
对于D，i的平方为－1.故选C.
复数的分类
当实数m为何值时，复数z＝
＋（m2－2m）i：
（1）为实数？
（2）为虚数？
（3）为纯虚数？
【解】
（1）当
即m＝2时，复数z是实数．
（2）当m2－2m≠0且m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数．
（3）当
即m＝－3时，复数z是纯虚数．
解决复数分类问题的方法与步骤
（1）化标准式：
解题时一定要先看复数是否为a＋bi（a，b∈R）的形式，以确定实部和虚部．
（2）定条件：
复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可．
（3）下结论：
设所给复数为z＝a＋bi（a，b∈R），
①z为实数⇔b＝0；
②z为虚数⇔b≠0；
③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0.
1．若复数a2－a－2＋（|a－1|－1）i（a∈R）不是纯虚数，则（ ）
A．a＝－1B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1D．a≠2
解析：
选C.复数a2－a－2＋（|a－1|－1）i（a∈R）不是纯虚数，则有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1.故选C.
2．当实数m为何值时，复数lg（m2－2m－7）＋（m2＋5m＋6）i是：
（1）纯虚数；
（2）实数．
解：
（1）复数lg（m2－2m－7）＋（m2＋5m＋6）i是纯虚数，则
，解得m＝4.
（2）复数lg（m2－2m－7）＋（m2＋5m＋6）i是实数，则
解得m＝－2或m＝－3.
复数相等
（1）（2019·浙江杭州期末考试）若z1＝－3－4i，z2＝（n2－3m－1）＋（n2－m－6）i（m，n∈R），且z1＝z2，则m＋n＝（ ）
A．4或0B．－4或0
C．2或0D．－2或0
（2）若log2（x2－3x－2）＋ilog2（x2＋2x＋1）>1，则实数x的值是________．
【解析】
（1）由z1＝z2，得n2－3m－1＝－3且n2－m－6＝－4，解得m＝2，n＝±2，所以m＋n＝4或0，故选A.
（2）因为log2（x2－3x－2）＋ilog2（x2＋2x＋1）>1，
所以
即
解得x＝－2.
【答案】
（1）A
（2）－2
复数相等的充要条件
复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤是：
分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解．
[注意] 在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立．
已知A＝{1，2，a2－3a－1＋（a2－5a－6）i}，B＝{－1，3}，A∩B＝{3}，求实数a的值．
解：
由题意知，a2－3a－1＋（a2－5a－6）i＝3（a∈R），
所以
即
所以a＝－1.
1．若复数z＝ai2－bi（a，b∈R）是纯虚数，则一定有（ ）
A．b＝0 B．a＝0且b≠0
C．a＝0或b＝0D．ab≠0
解析：
选B.z＝ai2－bi＝－a－bi，由纯虚数的定义可得a＝0且b≠0.
2．若复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为实数，则实数m的值为（ ）
A．－1B．2
C．1D．－1或2
解析：
选D.因为复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为实数，
所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.
3．若复数z＝（m＋1）＋（m2－9）i＜0，则实数m的值等于____________．
解析：
因为z＜0，所以
解得m＝－3.
答案：
－3
4．已知
＝（x2－2x－3）i（x∈R），则x＝________．
解析：
因为x∈R，所以
∈R，
由复数相等的条件得
解得x＝3.
答案：
3
[A 基础达标]
1．以－3＋i的虚部为实部，以3i＋i2的实部为虚部的复数是（ ）
A．1－i B．1＋i
C．－3＋3iD．3＋3i
解析：
选A.－3＋i的虚部为1，3i＋i2＝－1＋3i的实部为－1，故所求复数为1－i.
2．在复平面内，复数z＝（a2－2a）＋（a2－a－2）i是纯虚数，则（ ）
A．a＝0或a＝2B．a＝0
C．a≠1且a≠2D．a≠1或a≠2
解析：
选B.因为复数z＝（a2－2a）＋（a2－a－2）i是纯虚数，所以a2－2a＝0且a2－a－2≠0，所以a＝0.
3．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝（ ）
A．－2＋iB．2＋i
C．1－2iD．1＋2i
解析：
选B.由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，则由题意得1＋xi＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.
4．复数z＝a2－b2＋（a＋|a|）i（a，b∈R）为实数的充要条件是（ ）
A．|a|＝|b|B．a<0且a＝－b
C．a>0且a≠bD．a≤0
解析：
选D.复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，得a≤0，故选D.
5．下列命题：
①若z＝a＋bi，则仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数；
②若z
＋z
＝0，则z1＝z2＝0；
③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
解析：
选A.在①中未对z＝a＋bi中a，b的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝i，则z
＋z
＝1－1＝0，但z1≠z2≠0，故②错误；在③中忽视0·i＝0，故③也是错误的．故选A.
6．如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，x，y为实数，则x＝________，y＝________．
解析：
由复数相等可知
所以
答案：
1
7．复数z1＝（2m＋7）＋（m2－2）i，z2＝（m2－8）＋（4m＋3）i，m∈R，若z1＝z2，则m＝________.
解析：
因为m∈R，z1＝z2，所以（2m＋7）＋（m2－2）i＝（m2－8）＋（4m＋3）i.由复数相等的充要条件得
解得m＝5.
答案：
5
8．设z＝log2（1＋m）＋ilog
（3－m）（m∈R）是虚数，则m的取值范围是________．
解析：
因为z为虚数，所以log
（3－m）≠0，
故
解得－1答案：
（－1，2）∪（2，3）
9．已知复数z＝（m2＋5m＋6）＋（m2－2m－15）i（m∈R）．
（1）若复数z是实数，求实数m的值；
（2）若复数z是虚数，求实数m的取值范围；
（3）若复数z是纯虚数，求实数m的值；
（4）若复数z是0，求实数m的值．
解：
（1）当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，
所以m＝5或－3.
（2）当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数．
所以m≠5且m≠－3.
所以实数m的取值范围为{m|m≠5且m≠－3}．
（3）当
时，复数z是纯虚数，所以m＝－2.
（4）当
时，复数z是0，所以m＝－3.
10．已知关于x，y的方程组
有实数解，求实数a，b的值．
解：
设（x0，y0）是方程组的实数解，由已知及复数相等的条件，得
由①②得
代入③④得
所以实数a，b的值分别为1，2.
[B 能力提升]
11．“复数4－a2＋（1－a＋a2）i（a∈R）是纯虚数”是“a＝－2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：
选B.因为1－a＋a2＝
＋
＞0，所以若复数4－a2＋（1－a＋a2）i（a∈R）是纯虚数，则4－a2＝0，即a＝±2；当a＝－2时，4－a2＋（1－a＋a2）i＝7i为纯虚数，故选B.
12．满足方程x2－2x－3＋（9y2－6y＋1）i＝0的实数对（x，y）表示的点的个数为________．
解析：
由题意知
解得
或
所以实数对（x，y）表示的点有
，
，共有2个．
答案：
2
13．已知复数z＝m2＋3m＋1＋（m2＋5m＋6）i<0（m∈R），则m的值为________．
解析：
因为z<0，所以z∈R，
所以m2＋5m＋6＝0，
解得m＝－2或m＝－3.
当m＝－3时，z＝1>0，不符合题意，舍去；
当m＝－2时，z＝－1<0，符合题意．
故m的值为－2.
答案：
－2
14．已知集合M＝{（a＋3）＋（b2－1）i，8}，集合N＝{3i，（a2－1）＋（b＋2）i}，且M∩NM，M∩N≠∅，求整数a，b的值．
解：
若M∩N＝{3i}，则（a＋3）＋（b2－1）i＝3i，即a＋3＝0且b2－1＝3，得a＝－3，b＝±2.
当a＝－3，b＝－2时，M＝{3i，8}，N＝{3i，8}，M∩N＝M，不合题意，舍去；
当a＝－3，b＝2时，M＝{3i，8}，N＝{3i，8＋4i}．符合题意．
所以a＝－3，b＝2.
若M∩N＝{8}，则8＝（a2－1）＋（b＋2）i，
即a2－1＝8且b＋2＝0，得a＝±3，b＝－2.
当a＝－3，b＝－2时，不合题意，舍去；
当a＝3，b＝－2时，M＝{6＋3i，8}，N＝{3i，8}，符合题意．
所以a＝3，b＝－2.
若M∩N＝{（a＋3）＋（b2－1）i}＝{（a2－1）＋（b＋2）i}，则
即
此方程组无整数解．
综上可得a＝－3，b＝2或a＝3，b＝－2.
[C 拓展探究]
15．已知复数z1＝－a2＋2a＋ai，z2＝2xy＋（x－y）i，其中a，x，y∈R，且z1＝z2，求3x＋y的取值范围．
解：
由复数相等的充要条件，得
，消去a，得x2＋y2－2x＋2y＝0，即（x－1）2＋（y＋1）2＝2.
法一：
令t＝3x＋y，则y＝－3x＋t.
分析知圆心（1，－1）到直线3x＋y－t＝0的距离d＝
≤
，
解得2－2
≤t≤2＋2
，
即3x＋y的取值范围是[2－2
，2＋2
]．
法二：
令
得
（α∈R）
所以3x＋y＝
sinα＋3
cosα＋2＝2
sin（α＋φ）＋2（其中tanφ＝3），于是3x＋y的取值范围是[2－2
，2＋2
]．
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