第二章平稳随机过程的谱分析平稳随机过程.docx
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第二章平稳随机过程的谱分析平稳随机过程
第二章平稳随机过程的谱分析平稳随机过程
第二章平稳随机过程的谱分析
本章要解决的问题：
●
随机信号是否也可以应用频域分析方法?
●
傅里叶变换能否应用于随机信号？
●相关函数与功率谱的关系●功率谱的应用●采样定理
●白噪声的定义
2.1随机过程的谱分析
2.1.1预备知识
1、付氏变换:
对于一个确定性时间脉冲x（t），设x（t）是时间t的非周期实函数，且x（t）满足狄利赫利条件（有限个极值，有限个断点，断点为有限值）且绝对可积，能量有限，则x（t）傅里叶变换存在。
即：
满足上述三个条件的x（t）的傅里叶变换为：
其反变换为：
2、帕赛瓦等式
由上面式子可以重新得到：
——称为非周期性三十天拉热函数的帕塞瓦（Parseval）等式。
物理意义：
若x（t）表示的是电压（或电流），则上式左边代表x（t）在时间（-∞,∞）区间的总能量（单位阻抗）。
因此，等式右边的被积函数
XX（ω）
2
表示了信号x（t）能量按频率分布的情况，故称
XX（ω）
2
为
能量谱密度。
2.1.2、随机过程的功率谱密度
变换一个信号的惟教变换是否存在，可能需要满足三个条件，那么随机信号是否满足这三个条件从而存在付氏呢？
随机信号持续时间无限长，因此，对于非0的样本函数，它的能量
一般也是无限的，因此，其付氏变换不牵涉到。
但是注意到它的平均功率是有限的，在特定的条件下，仍然洪可以利用博里叶变换这一工具。
为了将傅里叶变换方法常量应用于随机过程，必须对过程的待测函数做某些限制，最简单的一种方法是应用截取函数。
截取函数
xT（t）:
图2.1x（t）及其截取函数
当x（t）为有限值时，裁取函数
xT（t）满足绝对可积条件。
因此，
xT（t）的傅里叶变换存在，有
很明显，式的变化）
xT（t）也应满足帕塞瓦等式，即：
（注意积分区间和表达
用2T除上式等号用的两端，可以得到
等号于两边取集合平均，可以得到:
令T
→∞，再取极限，便可得到随机过程的平均功率。
交换求数学期望和积分的次序，可以得到：
（注意这里由一条样本函数推广到更一般的随机过程，变量即下面式子对所有的抽样函数均适用）
E[XX（T,ω）]1T1∞2
limE[X（t）]dt=⎰-∞limdω⎰-TT→∞2T2πT→∞2T
上式等号的左边表示的正是另一组过程消耗在单位电阻上的整个过程平均功率（内含时间平均和统计平均），以后我们将简称它为随机的功率并记为Q。
再看等式的右边，它当然也存在，并且等于Q。
2
E[XX（T,ω）]又因为XX（T,ω）非负，所以极限lim必定
T→∞2T
2
2
存在，记为SX（
ω）：
1T1∞2
Q=limE[X（t）]dt=S（ω）dωX⎰⎰T→∞2T-T2π-∞
注意：
（1）Q为确定性值，不是随机变量
（2）SX（ω）为确定性实函数。
（见式）
●两个结论：
1．Q
=A
1
式中，A=lim表示时间平均。
它说明，随机过
T
→∞2T
程的平均功率可以通过对过程的均方值求时间平均来得到，即对于一般的随机过程（例如，非平稳随机过程）求平均功率，需要既求时间平均，又求统计平均。
显然，Q不是随机变量。
若随机过程为平稳的，则
Q=A=E[X2（t）]＝RX（0）
这是因为均方值与时间t无关，其时间平均为它自身。
由于已经对
XX（T,ω）
2
求了数学期望，所以SX（ω）不再具有
随机性，它是ω的确定性函数。
●功率谱密度：
SX（ω）描述了随机过程X（t）的功率
在各个不同频率上所的分布——称SX（ω）为随机过程X（t）的功率谱密度。
●对SX（ω）在X（t）的从上到下频率范围内积分，便可得
到X（t）的功率。
●对于平稳随机整个过程，则有：
1
E[X（t）]=
2π
2
⎰-∞SX（ω）dω
∞
2.1.3、功率谱密度的性质
证明：
证明：
因为
XX（T,ω）
2
进行了取模运算，这是ω的实函数，所以
SX（ω）也是ω的实函数，且为确定性实函数。
证明：
因此：
即：
得：
证明：
对于平稳随机过程，有：
1
E[X（t）]=
2π
2
⎰-∞SX（ω）dω
∞
2.2联合平稳随机过程的互功率谱密度
2.2.1、互谱密度
可由单个随机过程的转速谱密度的概念，以及相应的分析方法
推广而来。
考虑两个相对平稳实随机过程X（t）、Y（t），它们的样本函数分别为
x（t）和y（t），定义两个截取函数xT（t）、yT（t）为：
因为xT变换存在。
在时间范围（-T，T）内，二个随机过程的互功率QXY（T）为:
（注意
（t）、yT（t）都满足绝对可积的条件，所以它们的傅里叶
xT（t）、yT（t）为确定性函数，所以求平均功率只需取时间平均）
由于xT
也适用，即:
（t）、yT（t）的傅里叶变换存在，故帕塞瓦定理对它们
注意到上式中，x（t）和y（t）是任一样本函数，因此，具
有随机性，取数学期望，并令T
→∞，得：
T→∞
limE[QXY（T）]=QXY
1T
=limE[⎰-Tx（t）y（t）dt]T→∞2T
1T
＝lim[RXY（t,t）dt]⎰-TT→∞2T
1＝
2π
E[X*（T,ω）X（T,ω）]dω⎰-∞Tlim→∞2T
∞
界定互功率谱密度为：
得：
同理，有：
又知
以上定义了互功率和互功率谱密度，并且导出了它们之间的暧昧关系。
2.2.2、互谱密度和彼此之间关微分函数的关系
平稳随机过程的自相关函数与其功率谱密度之间互为变换，互相关函数与互谱密度之间也存在着关系。
定义：
对于两个实随机整个过程X（t）、Y（t），其互谱密度SXY（ω）与互相关函数RXY（t,t
+τ）之间的关系为
若X（t）、Y（t）各自平稳且共同平稳，则有
即：
式中，A表示时间平均。
显然：
证明：
略，参见自相关函数和功率谱密度关系的证明。
结论：
对于两个联合相对平稳（至少是广义联合平稳）的实随机过程，它们的
互谱密度与其互相关函数互为傅里叶变换。
2.3.3、互谱密度的性质
互功率谱密度和功率谱密度不同，它不再是频率ω的正
的、实的和偶函数。
性质1：
SXY（ω）=SYX（-ω）=SYX（ω）证明：
SXY（ω）=＝＝
∞
-jωτ
R（τ）edτ⎰-∞XY∞
*
-jωτR（-τ）edτ令τ=-τ⎰-∞YX
*jωτ
＝SR（τ）edτYX（ω）⎰-∞YX
∞
＝性
质
2
-j（-ω）τ
R（τ）edτ＝SYX（-ω）⎰-∞YX
∞
：
Re[SXY（ω）]=Re[SXY（-ω）
；
Re[SYX（ω）]=Re[SYX（-ω）
证明：
式中Re[·]表示实部。
虽即互谱密度的实部为ω的偶函
数。
SXY（ω）=⎰-∞RXY（τ）e
＝
∞
∞
-jωτ
dτ
⎰-∞RXY（τ）[cosωτ+jsin（-ωτ）]dτ
∞
所以：
Re[SXY（ω）]
=⎰-∞RXY（τ）
cosωτdτ
令
τ=-τ
＝
⎰-∞RXY（-τ）cosωτdτ
∞
＝
Re[SXY（-ω）]
其它同理可证。
性质3：
证明：
类似性质2证明。
性质4：
若X（t）与Y（t）正交，则有
证明：
若X（t）与Y（t）正交，则RXY（t1,t2）=所以，SXY（ω）=SYX（ω）=0
性质5：
若X（t）与Y（t）不相关，X（t）、Y（t）分别具有常数均值mX
和mY,则
R
YX（t1,t2）=0
证明：
因为
X（t）与
Y（t）不相关，所以
E[X（t1）Y（t2）]=mXmY
SXY（ω）=⎰-∞RXY（τ）e
∞
-jωτ
dτ
＝mXmY
⎰-∞e
∞
-jωτ
d
τ
＝2πmXmYδ（ω）（注意12πδ（ω））性质6：
式中，A表示时间平均。
这给出了一般的随机整个过程（包含平稳）的互谱密度与函数互相关表达式的关系式。
[例2.2]
设两个随机过程X（t）和Y（t）联合平稳，其互相关
函数RXY（τ）为:
求互谱密度SXY（ω）,SYX（ω）解：
先求SXY（ω）：
再求SYX（ω）
2.3功率谱之间浓度与自相关函数之间的关系确定信号：
x（t）X（jω）。
随机信号：
平稳随机过程的自相关函数功率谱密度。
1．定义：
若随机过程X（t）是平稳的，自相关函数绝对一阶，则自相关函数与
功率谱近似密度构成一对付氏变换，即：
这一关系就是著名的维纳—辛钦定理、或称为维纳—辛钦公式。
2.证明：
下面就来推导这一物理量。
证明原理类似式的证明。
因为：
由（3.1.14）式
E[XX（T,ω）]
SX（ω）=lim
T→∞2T
2
＝
1=limE[XX（T,ω）X*X（T,ω）]T→∞2T
TT1jωt1
limE[⎰-TX（t1）edt1⎰-TX（t2）e-jωt2dt2]T→∞2T
交换积分和数学期望顺序
1TT-jω（t2-t1）
＝limE[X（t1）X（t2）]edt1dt2⎰⎰-T-TT→∞2T
1TT-jω（t2-t1）＝limR（t-t）edtdtX2112⎰⎰T→∞2T-T-T
设τ
=t2-t1，u=t2+t1，则t2=
τ+u
u-τ
，t1=22
1
∂（t1,t2）
所以：
J==2
∂（τ,u）-1
21
2=1122
τ
τ
+τ
图2.2
2T-τ112T
则SX（ω）=lim{⎰0dτ⎰-2T+τRX（τ）e-jωτdu
T→∞2T2
1-jωτ
+⎰dτR（τ）edu}X⎰-2T-2T-τ2
2T-112T-jωτ
＝lim{dτR（τ）edu}X⎰⎰-2T-2T+T→∞2T2
2T+τ
12T-jωτ＝lim（2T-）R（τ）edτX⎰-2TT→∞2T
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