六年级下册小升初全复习第18讲计数问题 北师大秋含答案.docx

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六年级下册小升初全复习第18讲计数问题北师大秋含答案

第十八讲计数问题

计数问题是小学数学的重要板块，设计内容十分广泛，如图形中的计数、数论中的计数、排列与组合中的计数、容斥原理中的计数、染色问题中的计数等等；方法也多种多样，常用的有枚举法、分类计数法和分布计数法、递推计数法、排列与组合法计数、规律计数法、集合思想计数法等等。

关键是避免出现重复或者遗漏的情况。

例1:

1~200这200个整数中不含数字7的有多少个？

巩固练习1

1.各数位的数字之和是24的三位数共有多少个？

2.如果两个四位数的差等于8921，那么就说这两个四位数组成一个数对，问这样的数对共有多少个？

3.取三个自然数，是它们的乘积为24，共有多少种不同的取法？

（三个数可以是相同的数，也可以是不同的数）

例2:

从2、3、5、7、11这5个数中，每次取出两个数，分别作分子和分母，共可以组成多少个数值不同的真分数？

巩固练习2

4.把7支完全相同的钢笔分给甲、乙、丙三人，每人至少分一支，共有多少种不同的分发？

5.有5元、10元、20元、50元纸币各一张，可以用它们组成多少种不同的币值？

6.分子小于6，分母小于60的最简真分数有多少个？

排列：

一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列（Arrangement）。

特别地，当m=n时，这个排列被称作全排列（Permutation）。

定义:

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Anm（或Pnm，或nPm）表示。

注：

两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同。

例如，abc与abd的元素不完全相同，它们是不同的排列；又如abc与acb，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列。

公式推导：

排列公式是建立一个模型，从n个不相同元素中取出m个排成一列（有序），第一个位置可以有n个选择，第二个位置可以有n-1个选择（已经有1个放在前一个位置），则同理可知第三个位置可以有n-2个选择，以此类推第m个位置可以有n-m+1个选择，则排列数

　　由阶乘的定义可知Anm=[n*（n-1）*（n-2）...*（n-m+1）]*[（n-m）*（n-m-1）...*1]/[（n-m）*（n-m-1）...*1]

　　上下合并可得Anm=n!

/（n-m）!

由n个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积。

正整数一到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!

表示。

我们规定0！

=1

组合：

一般地，从m个不同的元素中，任取n（n≤m）个元素为一组，叫作从m个不同元素中取出n个元素的一个组合。

【数】一般地，从m个不同的元素中，任取n（n≤m）个元素为一组，叫作从m个不同元素中取出n个元素的一个组合。

我们把有关求组合的个数的问题叫作组合问题。

其所有不同组合的种数用符号

  表示，  =m（m-1）（m-2）…（m-n+1）/n!

=m!

/（n!

（m-n）!

）。

此外，规定C01一=1。

例3：

用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数？

巩固练习3—4

7.用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶数？

8.用1、2、3、4、5这五个数字，不需重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？

9.用0到9十个数字组成没有重复的四位数；若将这些四位数从小到大的顺序排列，则5687是第几个数？

10.一种电子表在6时24分30秒时显示为6:

24:

30，那么从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个？

11.某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由是个非0数码组成，且四个数码和是9，那么确保打开保险柜至少要试几次？

例5：

由35个单位小正方形组成的长方形中，如图所示有两个“”，求同时包含两个“”在内的由小正方形组成的长方形（正方形）共有多少个？

巩固练习5

12.在图中（单位:

厘米）

①一共有多少个长方形？

②所有这些长方形面积的和是多少？

13.

由20个边长为1的小正方形拼成一个4X5长方形中有一格有“”，图中含“”的所有长方形（含正方形）共有多少个？

14.数一数图中一共有多少个梯形？

（图中ABCD是一个梯形，且每条竖线都不平行于AB和CD，每条横线都平行于AD和BC）

例6：

四年级60名同学中，有三分之二的同学爱打乒乓球，四分之三的同学爱踢足球，五分之四的同学爱打篮球，这三项运动都爱好的有22人。

那么四年级最多有多少这三项运动都不爱好?

巩固练习6

15.某班学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打羽毛球。

那么这个班至少有多少学生这三项运动都会？

16.从1~200中，能被3整除，能被5整除，但不能被15整除的自然数共有多少个？

17.将1~13分别填入下图四个圆相互分割成的13个区域中，然后把每个园内的7个数相加，最后把四个圆的和再相加。

总和最大是多少？

例7：

用4种颜色给右边的5个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻区域然不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？

巩固练习7

18.用5种颜色给右边的5个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？

19.用4种颜色给右边的A、B、C、D四个圆圈染色，每个圆圈涂一种颜色，要使每条连线两端的两个圆圈的颜色不同，一共有多少种不同的染色方法？

20.用3X3方格纸上的每个方格染成红色、黄色或蓝色，要使得每行、每列都有三种颜色，共有多少种不同的染法？

（方格纸片旋转后颜色相同，算同一种染法）

综合练习十八

21.21.用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？

22.从1~10的10个数中，每次取2个数，要使它们的和大于10，一共有多少种取法？

23.有10颗糖果，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？

24.小红有10块糖果，每天至少吃一块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法？

25.小明有10块大白兔奶糖，从今天起，每天至少吃一块。

那么他一共有多少种不同的吃法？

26.10个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？

27.甲、乙比赛乒乓球，五局三胜。

已知甲胜了第一盘，并最终获胜。

各盘的胜负情况有多少种？

28.由数字1、2、3组成五位数，要求这五位数中1、2、3至少各出现一次，那么这样的五位数共有多少个?

29.由4个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会的编排方法共有多少种？

30.用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。

共有多少种不同的染色方法?

31.如下图，A、B、C、D、E五个区域分别用红黄蓝黑四种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？

32.一个六位数能被11整除，它的各位数字非零且互不相同。

将这个六位数的6个数字重新排列，最少还能排出多少个能被11整除的六位数？

33.如图，某城市的街道由5条东西与7条南北向马路组成。

现在要从西南角的A处沿最短线路走到东北角的B处，由于修路十字路口C不能通过，那么共有多少种不同走法？

34.用3根等长的火柴可以摆成等边三角形。

如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形。

如果这个大等边三角形的每边由2根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?

35.8人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，有几种坐法？

36.在1-100中任意取两个不同的数相加,其和是偶数的共有多少种不同的取法?

37.

右图中共有多少个梯形?

38.

右图中有9个相等的正方形,他们一共有16个格点,不在同一条直线上的三个格点可以构成一个三角形,在这些三角形中与阴影部分面积相同的共有多少个?

39.

图一是由19个六边形组成的图形,在六边形内的蚂蚁只可以选图二中箭头所指方向之一爬到相邻的六边形内.一只蚂蚁从A出发,选择不经过C的路线到达六边形B.那么,这样的路线共有多少条?

第十八讲计数问题

巩固练习1:

（1）10

（2）79（3）6

巩固练习2:

（1）15

（2）15（3）197

巩固练习3-4:

（1）60

（2）177（3）2344（4）1260（5）56

巩固练习5:

（1）100,12384

（2）48（3）100

巩固练习6:

（1）4

（2）80（3）240

巩固练习7:

（1）540

（2）72（3）12

综合练习十八:

（21）20（22）25（23）36（24）84（25）512（26）35（27）6（28）150（29）432（30）360（31）48（32）71（33）120（34）630（35）1200（36）2450（37）48（38）48（39）122