二轮复习 函数与方程函数的应用.docx

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二轮复习函数与方程函数的应用

　二轮复习--函数与方程、函数的应用

适用学科

高中数学

适用年级

高中三年级

适用区域

通用

课时时长（分钟）

60

知识点

函数的根与函数零点；函数与方程的综合；函数模型的应用

教学目标

巩固复习知识点，掌握数形结合在函数、方程、不等式中的应用以及函数与方程思想、分类讨论思想在函数方程不等式中的应用

教学重点

函数与方程的综合；数形结合在函数、方程、不等式中的应用；函数与方程思想、分类讨论思想在函数方程不等式中的应用

教学难点

数形结合在函数、方程、不等式中的应用；函数与方程思想、分类讨论思想在函数方程不等式中的应用

教学过程

一、课堂导入

（1）以填空、选择题方式考查函数的零点存在范围、个数，或给出零点个数求参数的取值范围．

（2）函数的实际应用问题以大题方式呈现，或命制小巧的综合应用函数图象与性质解决的与实际生产生活联系密切的选择题、填空题，主要考查函数的单调性，导数的应用和均值不等式，不等式的求解与数列等知识．

利用转化思想解决方程问题，利用函数与方程思想解决函数应用问题，利用数形结合的思想方法研究方程根的分布问题是高考命题的趋势．

二、复习预习

函数的根与函数零点；函数与方程的综合；函数模型的应用

三、知识讲解

考点1

1.方程的根与函数的零点

方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点．

关于零点问题，要学会分析转化，能够把与之有关的不同形式的问题，化归为适当方程的零点问题．

（1）f（x）在[a，b]上连续单调，f（a）·f（b）<0⇔f（x）在[a，b]上存在唯一零点；

（2）f（x）在[a，b]上连续，f（a）·f（b）<0⇔f（x）在[a，b]上至少有一个零点；

（3）f（x）在[a，b]上的图象连续，f（a）·f（b）>0，f（x）在[a，b]上不一定没有零点，即零点情形不确定．

考点2

2.函数模型的实际应用题基本解题步骤

（1）阅读理解，审清题意：

读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知是什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．

（2）根据所给模型，列出函数关系式：

根据问题中的已知条件和数量关系建立函数关系式，在此基础上将实际问题转化为函数问题．

（3）利用数学方法将得到的常规函数（即数学模型）予以解答，求得结果．

（4）将所得结果转译成实际问题的解答．

四、例题精析

考点一函数的零点

例1　已知函数f（x）＝4x＋m·2x＋1有且只有一个零点，求实数m的取值范围，并求出零点

．

【规范解答】　

　由已知得方程4x＋m·2x＋1＝0有且只有一解．令2x＝t（t>0），

则方程t2＋m·t＋1＝0有且只有一个正根．

设方程t2＋mt＋1＝0的两根为t1、t2，则t1t2＝1>0，

∴t1与t2同号，因此方程只能有两个相等的实数解，

∴

∴m＝－2.

当m＝－2时，t＝1.∴x＝0，

故函数f（x）的零点是x＝0.

【总结与反思】

1．求f（x）的零点值时，直接令f（x）＝0解方程，当f（x）为分段函数时，要分段列方程组求解；

2．已知f（x）在区间[a，b]上单调且有零点时，利用f（a）·f（b）<0讨论；

3．求f（x）的零点个数时，一般用数形结合法；讨论函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象交点个数，即方程f（x）＝g（x）的解的个数，一般用数形结合法．

4．已知零点存在情况求参数的值或取值范围时，利用方程思想和数形结合思想，构造关于参数的方程或不等式求解．

考点二函数模型及其应用

例2经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天的销售量（件）与价格（元）均为时间t（天）的函数，且销售量近似满足g（t）＝80－2t（件），价格近似满足f（t）＝20－

|t－10|（元）．

（1）试写出该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数表达式；

（2）求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．

【规范解答】

（1）y＝g（t）·f（t）＝（80－2t）·（20－

|t－10|）＝（40－t）（40－|t－10|）

＝

（2）当0≤t<10时，y的取值范围是[1200,1225]，

当t＝5时，y取得最大值为1225；

当10≤t≤20时，y的取值范围是[600,1200]，

在t＝20时，y取得最小值为600.

答：

总之，第5天日销售额y取得最大值为1225元；第20天日销售额y取得最小值为600元．

【总结与反思】

1．给出图象的题目要注意从图象中提取信息，这类题目常常是先求解析式，再讨论有关函数的性质或求最值、解不等式等．

2．实际应用问题，要注意将背景中涉及题目解答的部分先行翻译为数学解题语言，并将条件和结论与学过的数学知识方法挂靠，依据相关知识与方法解决．

考点三数形结合在函数、方程、不等式中的应用

例3使关于x的不等式|x＋1|＋k

A．（－∞，－1）　　　　B．（－∞，1）

C．（－1，＋∞）D．（1，＋∞）

【规范解答】

根据题意不妨设y1＝|x＋1|，y2＝x.如图，将y1＝|x＋1|的图象向下平移大于一个单位长度即可，所以有k<－1.

【总结与反思】

关于函数零点的综合题，常常将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、二次函数揉合在一起组成一个大题，零点作为其条件的构成部分或结论之一，解题时主要依据题目特点：

①分离参数，将参数的取值范围转化为求函数的值域；②数形结合，利用图象的交点个数对参数取值的影响来讨论；③构造函数，借助于导数来研究．

考点四函数与方程思想、分类讨论思想在函数方程不等式中的应用

例4已知函数f（x）＝ax3＋（2－a）x2－x－1（a>0）．

（1）若a＝4，求f（x）的单调区间；

（2）设x1、x2为关于x的方程f（x）＝0的实根，且x1≠1，x2≠1，若

∈[

，2]，求a的取值范围．

【规范解答】　

（1）∵当a＝4时，f（x）＝4x3－2x2－x－1，

∴f′（x）＝12x2－4x－1＝（6x＋1）（2x－1），

由f′（x）>0得x<－

或x>

，

由f′（x）<0，得－

，

∴f（x）的单调递增区间为（－∞，－

），（

，＋∞），单调递减区间为（－

，

）．

（2）∵f（x）＝（x－1）（ax2＋2x＋1），

∴f（x）＝0一根为1，另两根为ax2＋2x＋1＝0的解，

由

得0

由韦达定理可知ax2＋2x＋1＝0的解均为负值．

∵

>0，x1、x2为ax2＋2x＋1＝0的根，

课程小结

和函数与方程思想密切关联的知识点

（1）函数与不等式的相互转化．对函数y＝f（x），当y>0时，就化为不等式f（x）>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．

（2）数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．

（3）解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．

（4）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数关系的方法加以解决，引进空间向量后，立体几何与函数的关系就更加密切．

（5）（理）函数f（x）＝（a＋bx）n（n∈N*）与二项式定理密切相关，利用这个函数，用赋值法和比较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题及求和问题.