北师大版九年级数学下册第三章32 圆的对称性2课时.docx

北师大版九年级数学下册第三章32 圆的对称性2课时.docx

《北师大版九年级数学下册第三章32 圆的对称性2课时.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版九年级数学下册第三章32 圆的对称性2课时.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

北师大版九年级数学下册第三章32圆的对称性2课时

圆的对称性

（一）

　　课时安排

　　2课时

　　从容说课

　　圆是一种特殊的图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形．学生已经通过前面的学习，能用折叠的方法得到圆是一个轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．同时结合图形让学生认识一些和圆相关的概念．

　　本节课的重点是垂点定理及其逆定理和圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理．

　　本节课的难点是垂点定理及其逆定理的证明与“圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理”中的“在同圆或等圆”的前提条件的理解及定理的证明．

　　 课题

　　§3．2．1 圆的对称性

（一）

　　 教学目标

（一）教学知识点

　　1．圆的轴对称性．

　　2．垂径定理及其逆定理．

　　3．运用垂径定理及其逆定理进行有关的

　　计算和证明．

（二）能力训练要求

　　1．经历探索圆的对称性及相关性质的过

　　程，进一步体会和理解研究几何图形的各种

　　方法．

　　2．培养学生独立探索，相互合作交流的

　　精神．

　　（三）情感与价值观要求

　　通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．

　　教学重点

　　垂径定理及其逆定理．

　　教学难点

　　垂径定理及其逆定理的证明．

　　教学方法

　　指导探索和自主探索相结合．

　　教学过程

　　I．创设问题情境，引入新课，

　　[师]前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义?

，

　　[生]如果一个图形沿着某一条直线折叠后。

直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．

　　[师]我们是用什么方法研究了轴对称图形?

　　[生]折叠．

　　[师]今天我们继续用前面的方法来研究圆的对称性．

　　Ⅱ．讲授新课

　　[师]同学们想一想：

圆是轴对称图形吗?

如果是，它的对称轴是什么?

你能找到多少条对称轴?

　　[生]圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．

　　[师]是吗?

你是用什么方法解决上述问题的?

大家互相讨论一下．

　　[生]我们可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便可知圆有无数条对称轴．

　　[师]很好．

　　教师板书：

　　圆是轴对称图形图形，对称轴是任意一条过圆心的直线．

　　下面我们来认识一下弧、弦、直径这些与圆有关的概念．

　　1．圆弧：

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧（arc）．

　　2．弦：

连接圆上任意两点的线段叫做弦（chord）． 

　　3．直径：

经过圆心的弦叫直径（diameter）．如图。

以A、B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”；线段AB是⊙O的一条弦，弧CD是⊙O的一条直径．

　　注意：

　　1．弧包括优弧（majorarc）和劣弧（minorare），大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．如上图中，以A、D为端点的弧有两条：

优弧ACD（记作ACD），劣弧ABD（记作AD）．半圆，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆．半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．

　　2．直径是弦，但弦不一定是直径．

　　下面我们一起来做一做：

（出示投影片§3．2．1A）按下面的步骤做一做：

　　1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．

　　2．得到一条折痕CD．

　　3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足．

　　4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如上图

　　[师]老师和大家一起动手．

　　（教师叙述步骤，师生共同操作）

　　[师]通过第一步，我们可以得到什么?

　　[生齐声]可以知道：

圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴．

　　[师]很好．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧?

　　[生]我发现了，AM＝BM，弧AC=弧BC=弧AD=弧BD.

　　[师]为什么呢?

　　[生]因为折痕AM与BM互相重合，A点与D点重合．

　　[师]还可以怎么说呢?

能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系?

　　[师生共析]如图所示，连接OA、OB得到等腰△OAB，即OA＝OB．因CD⊥AB，故△OAM与△OBM都是Rt△，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM＝BM．又⊙O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，弧AC与弧BC重合.因此AM=BM，弧AC=弧BC=弧AD=弧BD.

　　[师]在上述操作过程中，你会得出什么结论?

　　[生]垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

　　[师]同学们总结得很好．这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质——垂径定理．在这里注意：

①条件中的“弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦．

　　下面，我们一起看一下定理的证明：

　　（教师边板书，边叙述）

　　如上图，连结OA、OB，则OA＝OB．

　　在Rt△OAM和Rt△OBM中，

　　∵OA=OB，OM＝OM，

　　∴Rt△OAM≌Rt△OBM，

　　∴AM＝BM．

　　∴点A和点墨关于CD对称．

　　∵⊙O关于直径CD对称，

　　∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，

　　弧AC与弧BC重合，弧AD与弧BD重合.

　　∴∴AC=∴BC,弧AD与弧BD重合

　　[师]为了运用的方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：

一条直线若满足：

（1）过圆心；

（2）垂直于弦，那么可推出：

①平分弦，②平分弦所对的优弧，③平分弦所对的劣弧．

　　即垂径定理的条件有两项，结论有三项．用符号语言可表述为：

　　如图3—7，在⊙O中，

　　下面，我们通过求解例1，来熟悉垂径定理：

　　[例1]如图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD的圆心），其中CD=600m，E为弧CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m．求这段弯路的半径．

　　[师生共析]要求弯路的半径，连结OC，只要求出OC的长便可以了．因为已知OE⊥CD，所以CF＝

CD＝300cm，OF＝OE-EF，此时就得到了一个Rt△CFO，哪位同学能口述一下如何求解?

　　[生]连结OC，设弯路的半径为Rm，则

　　OF＝（R-90）m，∵OE⊥CD，

　　∴CF＝CD=×600＝300（m）．

　　据勾股定理，得

　　OC2＝CF2+OF2，

　　即R2＝3002+（R-90）2．

　　解这个方程，得R＝545．

　　∴这段弯路的半径为545m．

　　[师]在上述解题过程中使用了列方程的方法，用代数方法解决几何问题，这种思想应在今后的解题过程中注意运用．

　　随堂练习：

P92．1．略

　　下面我们来想一想

　　如下图示，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M．

　　[师]右图是轴对称图形吗?

如果是，其对称轴是什么?

　　[生]它是轴对称图形，其对称轴是直径CD所在的直线．

　　[师]很好，你是用什么方法验证上述结论的?

大家互相交流讨论一下，你还有什么发现?

　　[生]通过折叠的方法，与刚才垂径定理的探索方法类似，在一张纸上画一个⊙O，作一条不是直径的弦AB，将圆对折，使点A与点D重合，便得到一条折痕CD与弦AB交于点M．CD就是⊙O的对称轴，A点、B点关于直径CD对称．由轴对称可知，AB⊥CD，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD

　　[师]大家想想还有别的方法吗?

互相讨论一下．

　　[生]如上图，连接OA、OB便可得到一个等腰△OAB，即OA＝OB，又AM＝MB，即M点为等腰△OAB底边上的中线．由等腰三角形三线合一的性质可知CD⊥AB，又CD是⊙O的对称轴，当圆沿CD对折时，点A与点B重合，弧AC与弧BC重合，弧AD与弧BD重合．

　　[师]在上述的探讨中，你会得出什么结论?

　　[生]平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．

　　[师]为什么上述条件要强调“弦不是直径”?

　　[生]因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的．

　　[师]我们把上述结论称为垂径定理的一个逆定理．

　　[师]同学们，你能写出它的证明过程吗?

　　[生]如上图，连结OA、OB，则OA＝OB．

　　在等腰△OAB中，∵AM＝MB，

　　∴CD⊥AB（等腰三角形的三线合一）．

　　∵⊙O关于直径CD对称．

　　∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，弧AC与弧BC重合，弧AD与弧BD重合．

　　∴弧AC=弧BC，弧AD=弧BD

　　[师]接下来，做随堂练习：

P92

　　 2．如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗?

为什么?

　　答：

相等．

　　理由：

如图示，过圆心O作垂直于弦的直径EF，由垂径定理设弧AF=弧BF，弧CF=弧DF，用等量减等量差相等，得弧AF-弧CF=弧BF-弧DF，即弧AC=弧BD，故结论成立．

　　符合条件的图形有三种情况：

（1）圆心在平行弦外，

（2）在其中一条线弦上，（3）在平行弦内，但理由相同．

　　Ⅲ．课时小结

　　1．本节课我们探索了圆的对称性．

　　2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理．

　　3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．

　　Ⅳ．课后作业

（一）课本P93，习题3．2，1、2

（二）1．预习内容：

P94～97

　　2．预习提纲：

（1）圆是中心对称图形．

（2）圆心角、弧、弦之间相等关系定理．

　　Ⅴ．活动与探究

　　1．银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm，问修理人员应准备内径多大的管道?

　　[过程]让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线构造垂径定理基本结构图，进而发展学生的思维．

　　[结果]

　　如图所示，连结OA，过O作OE⊥AB，垂足为E，交圆于F，则AE=

AB=30cm．令⊙O的半径为R，则OA=R，OE＝OF-EF＝R-10．在Rt△AEO中，OA2=AE2+OE2，即R2=302+（R-10）2．解得R=50cm．修理人员应准备内径为100cm的管道．

　　板书设计

　　§3．2．1 圆的对称性

（一）

　　一、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直径．

　　二、与圆有关的概念：

　　1．圆弧

　　2．弦

　　3．直径

　　注意：

弧包括优弧、劣弧、半圆．

　　三、垂径定理：

垂直干弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

　　例1：

略

　　四、垂径定理逆定理：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．

　　注意：

弦不是直径．

　　五、课堂练习

　　六、课时小结

　　七、课后作业

　　备课资料

　　参考练习

　　1．已知点P到⊙O的最长距离为6cm，最短距离为2cm．求⊙O的半径．

　　答案：

4cm或2cm．

　　2．⊙O的半径为10cm，弦AB//CD，AB＝12cm，CD=16cm．则AB和CD的距离为…………………………………（）

　　A．2cm  B．14cm C.2cm或14cm D．10cm或20cm

　　答案：

C

圆的对称性

（二）

　　课题　§3．2．2 圆的对称性

（二）

　　教学目标

（一）教学