华东理工大学高等数学下册第11章作业.docx
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华东理工大学高等数学下册第11章作业
第11章（之1）（总第59次）
教材内容：
§11.1多元函数
1．解以下各题：
**
（1）.
函数f（x,y）
ln（x2
y2
）
．
1
连续地域是
答：
x2
y2
1
函数f（x,y）
xy
y2
x2
y2
0
**
（2）.
x2
x2
y2
，
则（
）
0
0
（A）
各处连续
（B）
各处有极限，但不连续
（C）
仅在（0,0
）点连续
（D）
除（0,0）点外各处连续
答：
（A）
2.画出以下二元函数的定义域：
（1）uxy；
解：
定义域为：
（x,y）yx，见图示阴影部分：
（2）f（x,y）ln（1xy）；解：
（x,y）xy1，第二象限双曲线xy1的上方，第四象限双曲线xy1的下方（不
包括界线，双曲线xy1用虚线表示）．
（3）z
x
y
x
．
y
解：
x
y
0
xyxy0
xy．
x
y
xy0
xy
46
***3.求出满足fxy,y
x2
y2的函数fx,y.
x
s
x
y
x
s
1
t
解：
令
y
，
∴
st
t
x
y
1
t
∴f
s,t
s2
s2t2
s21
t，
即
f
x,y
x2
1
y．
1
t2
1
t
1
y
***
4.
求极限：
lim
0,0
1
xy
2
1．
x,y
x
2
y
1
xy
1
xy
1
x2
y2
解：
0
2
x2
y2
1xy1x2
y2
1xy1x2
y2
x2
y2
0
（x,y
0,0
）
2
1
xy
1
∴
lim
1
xy
1
0．
2
2
x,y
0,0
x
y
**5.
说明极限
lim
x2
y2
不存在．
x2
y2
x,y
0,0
解：
我们证明
x,y
沿不同样的路径趋于
0,0
时，极限不同样．
第一，x
0
时，极限为
lim
x2
y2
y2
1，
x
2
y
2
y
2
x
0
x,y
0,0
其次，y
0时，极限为
lim
x2
y2
x2
1，
x
2
y
2
x
2
y
0
x,y
0,0
故极限
lim
x2
y2
不存在．
x,y
0,0x2
y2
**6.
设f（x,y）
ysin2x
，试问极限
lim
f（x,y）可否存在？
为什么？
xy
1
1
（x,y）（0,0）
解：
不存在，由于不吻合极限存在的前提，在（0,0）点的任一去心邻域内函数
ysin2x
其实不总有定义的，
x轴与y轴上的点处函数
f（x,y）就没有定义．
f（x,y）
xy1
1
47
***7.试谈论函数z
arctanx
y的连续性．
1
xy
解：
由于arctanx
y是初等函数，因此除
xy1以外的点都连续，但在
xy1上的点处
1
xy
不连续．
**8.试求函数f（x,y）
xy
的中止点．
sin2x
sin2
y
解：
显然当（x,y）
（m,n）
m,n
Z时，f（x,y）没定义，故不连续．
又f（x,y）
xy
是初等函数．
x
sin2
sin2
y
因此除点（m,n）（其中
m,n
Z）以外各处连续．
第11章（之2）（总第60次）
教材内容：
§11.2偏导数[§11.2.1]
1.解以下各题：
（1）函数f（x,y）
x2
3
（
）
y在（0,0）点处
（A）fx
（0,0）
和fy（0,0）
都存在；
（B）fx（0,0）
和fy（0,0）
都不存在；
（C）fx
（0,0）
存在，但
fy（0,0）不存在；
（D）fx（0,0）
不存在，但
fy（0,0）存在．
答：
（D）．
（2）设z
x（y
2）arcsin
x，那么
z
（
）
y
y（!
2）
（A）0；
（B）1；
（C）
；
（D）
．
2
4
答：
（D）．
（3）设fx,y
xy
，则fx'（0,0）
______，fy'（0,0）
__________．
解：
由于f（x,0）
0，
fx'（0,0）
0，同理fy'（0,0）
0．
48
**2.设zx
2
y
ln
x2
y2
exy
zx,zy．
3
，求
解：
zx
1
x
y2
3yexy
，
zy
2
y
y2
3xexy
．
x
2
x
2
**3.求函数z
arctany对各自变量的偏导数.
x
解：
zx
y
2,zy
x
2．
x
2
y
x
2
y
**4.设f（x,y）
x2ln（x2
y2）
x2
y2
0
0，求fx（0,0）,fy（0,0）．
0
x2
y2
解：
fx（0,0）lim
x2lnx2
0，
fy（0,0）
lim00
0．
x0
x
y
0
y
***5.求曲线
z
x2
xy
y2
在1,1,1点处切线与y轴的夹角．
x
1
解：
由于曲线在平面
x
1内，故由
zy1,1
x2y1,1
1，
得切线与y
轴的夹角为
arctan1
．[也可求出切向量为
0,1,1]
4
∴夹角=arccos
0,1,1
0,1,0
arccos
2
．
12
12
12
2
4
***6.设函数（x,y）在点（0,0）连续，已知函数f（x,y）xy（x,y）在点（0,0）偏导数fx（0,0）存在，
（1）证明（0,0）0；
（2）证明fy（0,0）也必然存在．
解：
（1）lim
f（x,0）f（0,0）
x
（x,0）
lim
，
x
0
x
x0
x
由于fx（0,0）
存在，因此lim
x（
x,0）
x（x,0）
x
lim
x
x
0
x
0
即（0,0）
（0,0），故
（0,0）
0．
49
（2）由于
（x,y）在点（0,0）
连续，且
（0,0）
0，因此y
0时，
（0,y）是无量小量，
y
f（0,y）
f（0,0）
y
（0,y）
，即fy（0,0）0．
而
是有界量，因此lim
lim
0
y
y0
y
x0
y
第11章（之3）（总第61次）
教材内容：
§11.2偏导数[§~11.2.4]
**1.求函数f
x,y,z
xchz
yshx的全微分，并求出其在点
P
0,1,ln2
处的梯度向
量．
解：
dfx,y,z
dxchz
d
yshx
chzdx
xshzdz
shxdyychxdx
chz
ychxdx
shxdy
xshzdz
∴df
x,y,z
0,1,ln2
1dx，
f
x,y,z
0,1,ln2
1,0,0．
4
4
**2.求函数z
arctanx
y的全微分：
1
xy
解：
dz
darctanx
y
d（arctanx
arctany）
1
xy
d（arctanx）
d（arctany）
dx
dy
x2
1y2
1
**3.设z
sec2（xy）
，求dz．
ln（xy
1）
解：
dz
[ln（xy
1）]d[sec2（xy）]
sec2（xy）d[ln（xy
1）]
[ln（xy
1）]2
1
2
sec2（xy）
[ln（xy
1）]2
[ln（xy
1）2sec（xy）tan（xy）（ydxxdy）
xy1
（ydx
xdy）]
[2ln（xy1）tan（xy）（xy
1）
1]（ydx
xdy）．
（xy
1）cos2（xy）ln2（xy
1）
50
**4.利用
f
df，可推出近似公式：
f
x
x,y
y
fx,ydfx,y，
并利用上式计算
2.982
4.032
的近似值．
解：
由于fx
x,y
y
f
x,y
df
x,y
，
设f
x,y
x2
y2，x
3,y
4,
x
0.02,y
0.03，
于是
df
x,y
xdx
ydy
x
x
y
y
x2
y2
x2
y2
，
f
x
x,y
y
f
x,y
xx
y
y
x2
，
y2
∴
2.982
4.032
32
42
3
0.02
40.03
5.012．
32
42
***5
．已知圆扇形的中心角为
60
，半径为
r
20cm
，若是
增加了
1
，r减少了
1cm
，
试用全微分计算面积改变量的近似值．
解：
S
1r2
180
，
2
dS
（2（
dr
r2d
）），
360
∴
S
dS
（
2
20
60
（1）
（20）21）
17.4533（cm2）．
360
360
***6.计算函数f
x,y,z
ln
x
2y
3z在点P
1,2,0
处沿给定方向l2ijk
的方导游数
f
．
l
P
解：
fx
1
fy
2
fz
3
，
x2y3z
x2y3z
x2y3z
el
2
1
1
6
，
6
6
f
fel
1
2
3
2
1
1
1
∴
lP
5
65
．
5
5
6
6
6
51
***7.函数zarctan1x在（0，0）点处沿哪个方向的方导游数最大，并求此方导游数
1y的值．
解：
z
1
1
1
x（0,0）
2
1
y（0,0）
，
1
2
1
x
1
y
z
1
1
x
1
y
（0,0）
2
（1
y）2（0,0）
，
1
2
1
x
1
y
z
1cos
（
1）sin
1
1,1
cos
sin
2cos，
l
2
2
2
2
其中
为l
cos
sin
与g
1,
1
的夹角，
2
2
因此
0时，即l与g同向时，方导游数取最大值
z
2．
l
2
**8.
对函数
f（x,y,z）exyz
求出
f（x,y,z）
以及
f（1,2,3）.
解：
f
yzexyz,xzexyz,xyexyz，
f（1,2,3）
e66,3,2
．
1
（e1,e
1,1）处的梯度．
**9.
求函数f（x,y,z）
（x
y）z在点P
2
2
2
1
1
1
解：
f
1
1
1
1
（x
y）z
ln（x
y）
，
（x
y）z
（x
y）z
z2
z
z
f（e
1
e1
1
）
2e,2e,
4e2．
2
2
2
***10.
谈论函数f（x,y）
x2
y2
sin
1
y2
x2
y2
0
x2
x2
y2
在点（0，0）处的连
0,
0
续性，可导性和可微性．
52
解：
由于
lim
f
（
y
）
lim
x
2
y
2
sin
1
2
0f
（,）
x0
x
x0
x
2
y
00，
y0
y0
因此f（x,y）在点（0，0）连续．
由于lim
f（0
x,0）
f（0,0）
lim
x
sin
1
，
0x
x0
x
x
（
x
2
）
极限不存在，
f（x,y）在（0，0）处不可以导，从而在（
0，0）处不可以微．
第11章（之4）（总第62次）
教材内容：
§11.3复合函数微分法；§11.4隐函数微分法
**1.
解以下各题：
（1）若函数f（u,v）可微，且有
f（x,x2）x4
2x3
x及fu（x,x2）2x2
2x1，则
fv
（x,x2）=
（
）
（A）
2x2
2x
1
（B）
2x2
3x
1
2x
（C）
2x2
2x
1
（D）
2x2
3x
1
答：
（A）
（2）设函数z
z（x,y）由方程xy2zx
yz所确定，则
z
=_________．
y
答：
2xyz
1
．
1xy
2
z
z
x3y，v3x
y下，可得新方程为_______.
（3）方程
3，在变量代换u
x
y
答：
z
．
0
u
**2.设u
x2
y2
z2,xrcossin,yrsinsin,zrcos求
u,u,u．
r
53
解：
u
2xcos
sin
2ysin
sin
2zcos
2r，
r
u
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