4.
已知:
如图,定点A、B分布在定直线l的两侧(A、B两
点到l的距离不相等)
要求:
在直线l上找一点P,使︱PA-PB︱的值最大
解:
作点B关于直线l
的对称点B′,连接B′A并延长交
于点P,点P即为所求;
理由:
根据对称的性质知
l为线段BB′的中垂线,由中垂
线的性质得:
PB=PB′,要使︱PA-PB︱最大,则需
︱PA-PB′︱值最大,从而转化为模型3.
典型例题1-1
如图,直线
2
y=3x+4与
x轴、y轴分别交于点
A和点
B,点
C、D分
别为线段AB、OB的中点,点P为OA上一动点,当PC+PD最小时,
点P的坐标为_________,此时PC+PD的最小值为_________.
【分析】符合基本模型2的特征,作点D关于x轴的对称点D',连
接CD'交x轴于点P,此时PC+PD值最小,由条件知CD为△BAO的中位线,OP为△CDD'的中位线,易求OP长,从而求出P点坐标;PC+PD的最小值即CD'长,可用勾股定理
(或两点之间的距离公式,实质相同)计算.
【解答】连接CD,作点D关于x轴的对称点D′,连接CD′交x轴
于点P,此时PC+PD值最小.令y=2x+4中x=0,则y=4,
3
2
2
,解得:
x=﹣6,∴点A的坐标
∴点B坐标(0,4);令y=x+4
中y=0,则x+4=0
3
3
为(﹣6,0).∵点C、D分别为线段
AB、OB的中点,∴CD为△BAO的中位线,
∴CD∥x
轴,且
CD=12
AO=3,
∵点
D′和点
D关于
x轴对称,∴
O为
DD′的中点,
D′(0,-1),∴OP为△CDD′的中位线,∴
OP=12CD=32,
∴点
P的坐标为(﹣
3,0).在
Rt△CDD′中,
2
CD′=
CD2
DD
2
=
32
42
=5,即
PC+PD的最小值为
5.
【小结】还可用中点坐标公式先后求出点C、点P坐标;若题型变
化,C、D不是AB和OB中点时,则先求直线CD′的解析
式,再求其与x轴的交点P的坐标.
典型例题1-2
如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(0,1),点B
的坐标为(3,﹣2),点P在直线y=﹣x上运动,当|PA﹣PB|最
2
大时点P的坐标为_________,|PA﹣PB|的最大值是_________.
【分析】符合基本模型4的特征,作A关于直线y=﹣x对称点C,
连接BC,可得直线BC的方程;求得BC与直线y=﹣x的交点P的坐标;此时|PA﹣PB|=|PC﹣PB|=BC取得最大值,
再用两点之间的距离公式求此最大值.
【解答】作A关于直线y=﹣x对称点C,易得C的坐标为(﹣1,0);连接BC,可得直线BC
的方程为y=﹣54
x﹣54,与直线y=﹣x联立解得交点坐标
P为(4,﹣4);此时|PA
﹣PB|=|PC﹣PB|=BC取得最大值,最大值
BC=(23
1)2
(2)2
=241;
【小结】“两点一线”大多考查基本模型
2和4,需作一次对称点,连线得交点.
变式训练1-1
已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示,顶点
A(5,0),
OB=4√5,点P是对角线OB上的一个动点,D(0,1),当CP+DP最短
时,点P的坐标为(
)
A.(0,0)
B.(1,1)C.(6,3)
D.(10,5)
2
5
5
7
7
变式训练1-2
如图,菱形ABCD中,对角线AC和BD交于点O,AC=2,
BD=2√3,E为AB的中点,P为对角线AC上一动点,则PE+PB的最小值为__________.
变式训练1-3
如图,已知直线
y=1x+1与
y轴交于点
A,与
x轴交于点
D,抛物线
y=1x2+bx+c与直线交于
2
2
A、E两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为(1,0).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上找一点M,使|AM﹣MC|的值最大,求出点M的坐标.
拓展模型
1.
已知:
如图,
A为锐角∠MON外一定点;
要求:
在射线
OM上找一点P,在射线ON上找一点Q,使
AP+PQ的值最小.
解:
过点A作AQ⊥ON于点Q,AQ与OM相交于点P,此
时,AP+PQ最小;
理由:
AP+PQ≧AQ,当且仅当A、P、Q三点共线时,
AP+PQ取得最小值AQ,根据垂线段最短,当
AQ⊥ON时,AQ最小.
2.
已知:
如图,
A为锐角∠MON内一定点;
要求:
在射线
OM上找一点P,在射线ON上找一点Q,使
AP+PQ的值最小.
解:
作点A关于OM的对称点A′,过点A′作AQ⊥ON
于点Q,A′Q交OM于点P,此时AP+PQ最小;
理由:
由轴对称的性质知AP=A′P,要使AP+PQ最小,
只需A′P+PQ最小,从而转化为拓展模型1
3.
已知:
如图,
A为锐角∠MON内一定点;
要求:
在射线
OM上找一点P,在射线ON上找一点Q,使
△APQ的周长最小
解:
分别作A点关于直线OM的对称点A1,关于ON的对
称点A2,连接A1A2交OM于点P,交ON于点Q,点
P和点Q即为所求,此时△
APQ周长最小,最小值
即为线段A1A2的长度;
理由:
由轴对称的性质知
AP=AP,AQ=AQ,△APQ的周
1
2
长AP+PQ+AQ=A1P+PQ+A2Q,当A1、P、Q、A2四点共线时,其值最小.
4.已知:
如图,A、B为锐角∠MON内两个定点;
要求:
在OM上找一点P,在ON上找一点Q,使四边形
APQB的周长最小
解:
作点A关于直线OM的对称点A′,作点B关于直线
ON的对称点B′,连接A′B′交OM于P,交ON于Q,
则点P、点Q即为所求,此时四边形APQB周长的
最小值即为线段AB和A′B′的长度之和;
理由:
AB长为定值,由基本模型将PA转化为PA′,将
QB转化为QB′,当A′、P、Q、B′四点共线时,
PA′+PQ+QB′的值最小,即PA+PQ+QB的值最小.
5.搭桥模型已知:
如图,直线m∥n,A、B分别为m上方和n下方的定
点,(直线AB不与m垂直)
要求:
在m、n之间求作垂线段PQ,使得AP+PQ+BQ最小.
分析:
PQ为定值,只需AP+BQ最小,可通过平移,使
P、Q“接头”,转化为基本模型
解:
如图,将点A沿着平行于PQ的方向,向下平移至
点A′,使得AA′=PQ,连接A′B交直线n于点
Q,过点Q作PQ⊥n,交直线m于点P,线段PQ即
为所求,此时AP+PQ+BQ最小.
理由:
易知四边形QPAA′为平行四边形,则QA′=PA,
当B、Q、A′三点共线时,QA′+BQ最小,即
AP+BQ最小,PQ长为定值,此时AP+PQ+BQ最小.
6.已知:
如图,定点A、B分布于直线l两侧,长度为a
(a为定值)的线段PQ在l上移动(P在Q左边)
要求:
确定PQ的位置,使得AP+PQ+QB最小
分析:
PQ为定值,只需AP+QB的值最小,可通过平移,
使P、Q“接头”,转化为基本模型
解:
将点A沿着平行于l的方向,向右移至A′,使
AA′=PQ=a,连接A′B交直线l于点Q,在l上截取
PQ=a(P在Q左边),则线段PQ即为所求,此时
AP+PQ+QB的最小值为A′B+PQ,即A′B+a
理由:
易知四边形APQA′为平行四边形,则PA=QA′,
当A′、Q、B三点共线时,QA′+QB最小,即PA+QB
最小,又PQ长为定值此时PA+PQ+QB值最小.
7.已知:
如图,定点A、B分布于直线l的同侧,长度a
(a为定值)的线段PQ在l上移动(P在Q左边)
要求:
确定PQ的位置,使得四边形APQB周长最小
分析:
AB长度确定,只需AP+PQ+QB最小,通过作A点
关于l的对称点,转化为上述模型3
解:
作A点关于l的对称点A′,将点A′沿着平行于l
的方向,向右移至A′′,使A′A′′=PQ=a,连接A′′B
交l于Q,在l上截取QP=a(P在Q左边),线段
PQ即为所求,此时四边形APQB周长的最小值为
A′′B+AB+PQ,即A′′B+AB+a
典型例题2-1
如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=5,若点M、N分别是线段AC、
AB上的两个动点,则BM+MN的最小值为.
【分析】符合拓展模型2的特征,作点B关于AC的对称点E,再过
点E作AB的垂线段,该垂线段的长即BM+MN的最小值,借
助等面积法和相似可求其长度.
【解答】作点B关于AC的对称点E,再过点E作EN⊥AB于N,则BM+MN=EM+MN,
其最小值即EN长;∵AB=10,BC=5,
∴AC=AB2BC2=55,
等面积法求得AC边上的高为105=25,∴BE=45,
55
易知△ABC∽△ENB,∴,代入数据解得EN=8.
即BM+MN的最小值为8.
【小结】该类题的思路是通过作对称,将线段转化,再根据定理、公理连线或作垂线;可作
定点或动点关于定直线的对称点,有些题作定点的对称点易解,有些题则作动点的对称点易解.
典型例题2-2
如图,∠AOB=60°,点P是∠AOB内的定点且OP=,点M、N分别
是射线OA、OB上异于点O的动点,则△PMN周长的最小值是()
A.B.C.6D.3
【分析】符合拓展模型3的特征;作P点分别关于OA、OB的对称点C、D,连接CD分别交
OA、OB于
M、N,此时△
PMN周长最小,其值为
CD长;根据对称性连接
OC、OD,
分析条件知△
OCD是顶角为
120°的等腰三角形,作底边上高,易求底边
CD.
【解答】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D,连接CD分别交OA、OB于M、N,如图,
则MP=MC,NP=ND,OP=OD=OC=,∠BOP=∠BOD,∠AOP=∠AOC,
∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC,∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°,∴此时△PMN周长最小,作OH⊥CD于H,
则CH=DH,∵∠OCH=30°,∴OH=OC=,
CH=OH=,∴CD=2CH=3.
即△PMN周长的最小值是3;
故选:
D.
【小结】根据对称的性质,发现△OCD是顶角为120°的
等腰三角形,是解题的关键,也是难点.
典型例题2-3
如图,已知平行四边形ABCO,以点O为原点,OC所在的直线
为x轴,建立直角坐标系,AB交y轴于点D,AD=2,OC=6,∠A=60°,线段EF所在的直线为OD的垂直平分线,点P为线段EF上的动点,PM⊥x轴于点M点,点E与E′关于x轴对称,连接BP、E′M.
(1)请直接写出点A坐标为,点B坐标为;
(2)当BP+PM+ME′的长度最小时,请求出点P的坐标.
【分析】
(1)解直角三角形求出OD,BD的长即可解决;
(2)符合“搭桥模型”的特征;首先证明四边形OPME′是平行四边形,可得OP=EM,PM是定值,PB+ME′=OP+PB的值最小时,BP+PM+ME′的长度最小,此时P点为
直线
OB与
EF的交点,结合
OB的解析式可得
P点坐标;
【解答】
(1)在Rt△ADO中,∵∠A=60°,AD=2,
∴OD=2?
tan60°=2,∴A(﹣2,2),
∵四边形ABCO是平行四边形,∴AB=OC=6,
DB=62=4B42
(2)如图,连接OP.∵EF垂直平分线段OD,PM⊥OC,
∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°,∴四边形OMPE是矩形,∴PM=OE=,∵OE=OE′,∴PM=OE′,PM∥OE′,∴四边形OPME′是平行四边形,
∴OP=EM,∵PM是定值,∴PB+ME′=OP+PB的值最小时,BP+PM+ME′的长度最小,
∴当O、P、B共线时,BP+PM+ME′的长度最小,∵直线OB的解析式为y=x,
∴P(2,).
【小结】求没有公共端点的两条线段之和的最小值,一般通过作对称和平移(构造平行四边
形)的方法,转化为基本模型.
典型例题2-4
如图所示,在平面直角坐标系中,Rt△AOB的顶点坐标分别为A(﹣2,0),O(0,0),B(0,4),把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°,得到△COD.
(1)求C、D两点的坐标;
(2)求经过A、B、D三点的抛物线的解析式;
(3)在
(2)中抛物线的对称轴上取两点E、F(点E在点F
的上方),且EF=1,使四边形ACEF的周长最小,求出E、
F两点的坐标.
【分析】符合拓展模型7的特征,通过作对称、平移、连线,可找出E、F点,结合直线的
解析式和抛物线的对称轴可解出E、F坐标.
【解答】
(1)由旋转的性质可知:
OC=OA=2,OD=OB=4,∴C点的坐
标是(0,2),D点的坐标是(4,0),
(2)设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
4a-2b+c=0
由题意,得16a+4b+c=0
c=4
解得a=-1,b=1,c=4,
2
∴所求抛物线的解析式为y=-1x2+x+4;
2
(3)只需AF+CE最短,抛物线y=-1x2+x+4的对称轴为x=1,
2
将点A向上平移至A1(﹣2,1),则AF=A1E,作A1关于对称轴x=1的对称点
A2(4,1),连接A2C,A2C与对称轴交于点E,E为所求,可求得A2C的解析式
1773
为y=-x+2,当x=1时,y=,∴点E的坐标为(1,),点F的坐标为(1,).
4444
【小结】解决此类题的套路是“对称、平移、连线”;其中,作对称和平移的顺序可互换.
变式训练2-1
几何模型:
条件:
如图1,A,B是直线l同旁的两个定点.
问题:
在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.
方法:
作点A关于直线l的对称点A’,连接A’B交l于点P,即为所求.(不必证明)
模型应用:
(1)如图2,已知平面直角坐标系中两定点A(0,﹣1)和B(2,﹣1),P为x轴上一动
点,则当PA+PB的值最小是点P的横坐标是,此时PA+PB=.
(2)如图3,正方形ABCD的边长为4,E为AB的中点,P是AC上一动点,连接BD,由正方形对称性可知,B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P,则PB+PE的最小
值是.
(3)如图4,在菱形ABCD中,AB=10,∠DAB=60°,P是对角线AC上一动点,E,F分别
是线段
AB和
BC上的动点,则
PE+PF的最小值是
.
(4)如图5,在菱形ABCD中,AB=6,∠B=60°,点
AG,AD上的两个动点,则EF+ED的最小值是
G是边
.
CD边的中点,点
E.F分别是
变式训练2-2
如图,矩形ABCD中,AD=15,AB=10,E为AB边上一点,且DE=2AE,连接CE与对角线BD交于F;若P、Q分别为AB边
和BC边上的动点,连接EP、PQ和QF;则四边形EPQF周长的最小值是___________.
变式训练2-3
如图,已知直线l
∥l
,l、l
2
之间的距离为
8,点P到直线l
的
1
2
1
1
距
离为6,点Q到直线l2的距离为4,PQ=4,在直线l1上有一动点A,直线l2上有一动点B,满足AB⊥l2,且PA+AB+BQ最小,此时PA+BQ=.
变式训练2-4
如图,已知在平面直角坐标系xOy中,直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在
x轴的正半轴上,OA=AB=2,OC=3,过点B作BD⊥BC,交OA于点D.将∠DBC绕点B按顺
时针方向旋转,角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F.
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)当BE经过
(1)中抛物线的顶点时,求CF的长;
(3)在抛物线的对称轴上取两点P、Q(点Q在点P的上方),且PQ=1,要使四边形BCPQ的周长最小,求出P、Q两点的坐标.
中考真题
1.要在街道旁建奶站,向居民区A、B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使A、B到它的
距离之和最短?
小聪以街道为x轴,建立了如图所示的平面直角坐标系,A点坐标为(0,
3),B点坐标为(6,5),则A、B两点到奶站距离之和的最小值是.
2.如图,矩形ABOC的顶点A的坐标为(﹣4,5),D是OB的中点,E是OC上的一点,当△
ADE的周长最小时,点E的坐标是()
A.(0,
)
B.(0,
)
C.(0,2)
D.(0,
)
3.如图,在矩形
ABCD中,AB=5,AD=3,动点
P满足
S△PAB=1S矩形ABCD,则点
P到
A、B两点距
3
离之和
PA+PB的最小值为(
)
A.
B.
C.5
D.
4.已知抛物线
y=
x2+1具有如下性质:
该抛物线上任意一点到定点
F(0,2)的距离与到
x
轴的距离始终相等,如图,点
M的坐标为(
,3),P是抛物线
y=
x2+1上一个动点,
则△PMF周长的最小值是(
)
A.3B.4
C.5
D.6
5.如图,点A(a,3),B(b,1)都在双曲线y=上,点C,D,分别是x轴,y轴上的动点,
则四边形ABCD周长的最小值为()
A.B.C.
D.
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,D、E分别是AB、BC边上的动点,则AE+DE
的最小值为()
A.B.C.5D.
7.如图,Rt△ABC中,∠