完整word版将军饮马问题的11个模型及例题doc.docx

1、完整word版将军饮马问题的11个模型及例题doc将军饮马问题问题概述路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题方法原理1.两点之间，线段最短； 2. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3. 中垂线上的点到线段两端点的距离相等； 4. 垂线段最短 .基本模型1.已知：如图，定点 A、 B 分布在定直线 l 两侧；要求：在直线 l 上找一点 P，使 PA+PB的值最小解：连接 AB 交直线 l 于点 P，点 P 即为所求 ,PA+PB的最小值即为线段 AB的长度理由：在 l 上任取异于点 P 的一点 P，连接 AP、 BP，在 ABP中， AP+BPAB，即 AP+B

2、PAP+BP P 为直线 AB与直线 l 的交点时， PA+PB最小 .2.已知：如图，定点 A 和定点 B 在定直线 l 的同侧要求：在直线 l 上找一点 P，使得 PA+PB值最小（或 ABP的周长最小）解：作点 A关于直线 l 的对称点 A，连接 AB 交 l 于 P，点 P 即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线 l 为线段 AA的中垂线，由中垂线的性质得： PA=PA，要使 PA+PB最小，则需 PA+PB值最小，从而转化为模型 1.3.已知：如图，定点 A、 B 分布在定直线 l 的同侧（ A、B 两点到 l 的距离不相等）要求：在直线 l 上找一点 P，使 PA-PB的值最大解：

3、连接 BA并延长，交直线 l 于点 P，点 P 即为所求；理由：此时 PA-PB =AB，在 l 上任取异于点 P 的一点 P，连接 AP、BP，由三角形的三边关系知 PA-PBAB，即 PA-PB PA-PB4.已知：如图，定点 A、 B分布在定直线 l 的两侧（ A、B 两点到 l 的距离不相等）要求：在直线 l 上找一点 P，使 PA-PB的值最大解：作点 B 关于直线 l的对称点 B，连接 BA 并延长交于点 P，点 P 即为所求；理由：根据对称的性质知l 为线段 BB的中垂线，由中垂线的性质得： PB=PB，要使 PA-PB最大，则需 PA-PB值最大 ，从而转化为模型 3.典型例题

4、 1-1如图，直线2y= 3x+4 与x 轴、 y 轴分别交于点A和点B，点C、 D 分别为线段 AB、OB的中点， 点 P 为 OA上一动点， 当 PC+PD最小时，点P 的坐标为 _，此时 PC+PD的最小值为 _.【分析 】符合基本模型 2 的特征，作点 D 关于 x 轴的对称点 D ，连接CD交 x 轴于点 P，此时 PC+PD值最小，由条件知 CD为BAO的中位线， OP为 CDD的中位线，易求 OP长，从而求出 P 点坐标； PC+PD的最小值即 CD长，可用勾股定理（或两点之间的距离公式，实质相同）计算.【解答 】连接 CD，作点 D 关于 x 轴的对称点 D，连接 CD交 x

5、轴于点 P，此时 PC+PD值最小令 y=2x+4 中 x=0，则 y=4，322，解得： x=6，点 A 的坐标点 B 坐标（ 0， 4）；令 y= x+4中 y=0，则 x+4=033为（ 6， 0）点 C、 D 分别为线段AB、 OB 的中点， CD为 BAO的中位线，CD x轴，且CD=12AO=3，点D和点D 关于x 轴对称，O为DD的中点，D（ 0， -1 ）， OP为 CDD的中位线，OP=12 CD=32 ，点P 的坐标为（3 ， 0）在Rt CDD中，2CD =CD 2D D2=3242=5，即PC+PD的最小值为5.【小结 】还可用中点坐标公式先后求出点 C、点 P 坐标；

6、若题型变化， C、 D不是 AB 和 OB中点时，则先求直线 CD的解析式，再求其与 x 轴的交点 P 的坐标 .典型例题 1-2如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标为（ 0， 1），点 B的坐标为（ 3 ， 2），点 P 在直线 y= x 上运动，当 |PA PB| 最2大时点 P 的坐标为 _， |PA PB|的最大值是 _.【分析 】符合基本模型 4 的特征，作 A 关于直线 y= x 对称点 C，连接 BC，可得直线 BC的方程；求得 BC与直线 y= x 的交点 P 的坐标；此时 |PA PB|=|PC PB|=BC 取得最大值，再用两点之间的距离公式求此最大值 .【解答 】

7、作 A 关于直线 y= x 对称点 C，易得 C 的坐标为（ 1， 0）；连接 BC，可得直线 BC的方程为 y= 54x 54 ，与直线 y= x 联立解得交点坐标P 为（ 4， 4）；此时 |PAPB|=|PC PB|=BC取得最大值，最大值BC= ( 231) 2( 2) 2= 241 ；【小结 】“两点一线”大多考查基本模型2 和 4，需作一次对称点，连线得交点 .变式训练 1-1已知菱形 OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（ 5， 0），OB=45 ，点 P是对角线 OB上的一个动点， D（ 0，1），当 CP+DP最短时，点 P 的坐标为（）A（ 0， 0）B （ 1，

8、 1） C（ 6， 3）D （10 ， 5 ）25577变式训练 1-2如图，菱形 ABCD中，对角线 AC和 BD交于点 O， AC=2，BD=23,E 为 AB的中点， P 为对角线 AC上一动点，则 PE+PB的最小值为 _.变式训练 1-3如图， 已知直线y=1x+1 与y 轴交于点A，与x 轴交于点D，抛物线y=1x2+bx+c 与直线交于22A、 E 两点，与 x 轴交于 B、 C两点，且 B 点坐标为（ 1， 0）（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使 |AM MC|的值最大，求出点 M的坐标 .拓展模型1.已知：如图，A 为锐角 MON外一定点；要求：在

9、射线OM上找一点 P，在射线 ON上找一点 Q，使AP+PQ的值最小 .解：过点 A 作 AQ ON于点 Q， AQ与 OM相交于点 P，此时， AP+PQ最小；理由： AP+PQ AQ，当且仅当 A、 P、 Q三点共线时，AP+PQ取得最小值 AQ，根据垂线段最短，当AQ ON时， AQ最小 .2.已知：如图，A 为锐角 MON内一定点；要求：在射线OM上找一点 P，在射线 ON上找一点 Q，使AP+PQ的值最小 .解：作点 A 关于 OM的对称点 A，过点 A作 AQ ON于点 Q， A Q交 OM于点 P，此时 AP+PQ最小；理由：由轴对称的性质知 AP=A P，要使 AP+PQ最小，

10、只需 A P+PQ最小，从而转化为拓展模型 13.已知：如图，A 为锐角 MON内一定点；要求：在射线OM上找一点 P，在射线 ON上找一点 Q，使 APQ的周长最小解：分别作 A 点关于直线 OM的对称点 A1, 关于 ON的对称点 A2，连接 A 1A2 交 OM于点 P，交 ON于点 Q，点P 和点 Q即为所求，此时APQ周长最小，最小值即为线段 A1A2 的长度；理由：由轴对称的性质知AP=AP， AQ=AQ， APQ的周12长AP+PQ+AQ=A1P+PQ+A2Q，当 A1、 P、 Q、 A2 四点共线时，其值最小 .4. 已知：如图， A、 B 为锐角 MON内两个定点；要求：在

11、OM上找一点 P，在 ON上找一点 Q，使四边形APQB的周长最小解：作点 A 关于直线 OM的对称点 A，作点 B 关于直线ON的对称点 B，连接 AB交 OM于 P，交 ON于 Q，则点 P、点 Q即为所求，此时四边形 APQB周长的最小值即为线段 AB和 AB的长度之和；理由： AB 长为定值，由基本模型将 PA转化为 PA,将QB转化为 QB，当 A、 P、Q、 B四点共线时，PA+PQ+ QB的值最小，即 PA+PQ+ QB 的值最小 .5. 搭桥模型 已知：如图，直线 m n,A 、B 分别为 m上方和 n 下方的定点，（直线 AB 不与 m垂直）要求：在 m、n 之间求作垂线段

12、PQ，使得 AP+PQ+BQ最小 .分析： PQ为定值，只需 AP+BQ最小，可通过平移，使P、 Q“接头”，转化为基本模型解：如图，将点 A 沿着平行于 PQ的方向，向下平移至点 A，使得 AA =PQ，连接 A B 交直线 n 于点Q，过点 Q作 PQn，交直线 m于点 P，线段 PQ即为所求，此时 AP+PQ+BQ最小 .理由：易知四边形 QPAA为平行四边形，则 QA =PA，当 B、 Q、 A三点共线时， QA +BQ最小，即AP+BQ最小， PQ长为定值，此时 AP+PQ+BQ最小 .6. 已知：如图，定点 A、 B 分布于直线 l 两侧，长度为 a(a 为定值 ) 的线段 PQ在

13、 l 上移动（ P 在 Q左边）要求：确定 PQ的位置，使得 AP+PQ+QB最小分析： PQ为定值，只需 AP+QB的值最小，可通过平移，使 P、Q“接头”，转化为基本模型解：将点 A 沿着平行于 l 的方向，向右移至 A，使AA=PQ=a,连接 AB 交直线 l 于点 Q，在 l 上截取PQ=a（ P 在 Q左边），则线段 PQ即为所求，此时AP+PQ+QB的最小值为 AB+PQ，即 AB+a理由：易知四边形 APQA为平行四边形，则 PA=QA，当 A、 Q、 B 三点共线时， QA+QB最小，即 PA+QB最小，又 PQ长为定值此时 PA+PQ+QB值最小 .7. 已知：如图，定点 A

14、、 B 分布于直线 l 的同侧，长度 a(a 为定值 ) 的线段 PQ在 l 上移动（ P 在 Q左边）要求：确定 PQ的位置，使得 四边形 APQB周长最小分析： AB长度确定，只需 AP+PQ+QB最小，通过作 A 点关于 l 的对称点，转化为上述模型 3解：作 A 点关于 l 的对称点 A，将点 A沿着平行于 l的方向，向右移至 A，使 AA=PQ=a，连接 AB交 l 于 Q，在 l 上截取 QP=a（ P 在 Q左边），线段PQ即为所求，此时四边形 APQB周长的最小值为AB+AB+PQ，即 AB+AB+a典型例题 2-1如图， 在矩形 ABCD中，AB=10，BC=5，若点 M、N

15、 分别是线段 AC、AB上的两个动点，则 BM+MN的最小值为 【分析 】符合拓展模型 2 的特征，作点 B 关于 AC的对称点 E，再过点 E 作 AB的垂线段，该垂线段的长即 BM+MN的最小值，借助等面积法和相似可求其长度 .【解答 】作点 B 关于 AC的对称点 E，再过点 E 作 EN AB 于 N，则 BM+MN=EM+MN，其最小值即 EN长； AB=10， BC=5， AC= AB2 BC2 =5 5 ，等面积法求得 AC边上的高为 10 5 =2 5 ， BE=4 5 ，5 5易知 ABC ENB， ，代入数据解得 EN=8即BM+MN的最小值为 8【小结 】该类题的思路是通

16、过作对称，将线段转化，再根据定理、公理连线或作垂线；可作定点或动点关于定直线的对称点， 有些题作定点的对称点易解， 有些题则作动点的对称点易解 .典型例题 2-2如图， AOB=60，点 P 是 AOB内的定点且 OP= ，点 M、N分别是射线 OA、OB上异于点 O的动点，则 PMN周长的最小值是 （ ）A B C 6 D 3【分析 】符合拓展模型 3 的特征；作 P 点分别关于 OA、OB的对称点 C、 D，连接 CD分别交OA、 OB于M、 N，此时PMN周长最小，其值为CD长；根据对称性连接OC、OD，分析条件知OCD是顶角为120的等腰三角形，作底边上高，易求底边CD.【解答 】作

17、P 点分别关于 OA、 OB的对称点 C、 D，连接 CD分别交 OA、 OB于 M、 N，如图，则MP=MC，NP=ND， OP=OD=OC= ， BOP= BOD， AOP= AOC，PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，COD= BOP+ BOD+AOP+ AOC=2 AOB=120，此时 PMN周长最小，作 OHCD于 H，则 CH=DH， OCH=30， OH= OC= ，CH= OH= ， CD=2CH=3即 PMN周长的最小值是 3；故选： D【小结 】根据对称的性质，发现 OCD是顶角为 120的等腰三角形，是解题的关键，也是难点 .典型例题 2-3如图， 已知平行四边形

18、ABCO，以点 O为原点， OC所在的直线为x 轴，建立直角坐标系， AB 交 y 轴于点 D， AD=2， OC=6， A=60， 线段 EF 所在的直线为 OD的垂直平分线， 点 P 为线段 EF 上的动点， PM x 轴于点 M点，点 E 与 E关于 x 轴对称，连接 BP、 E M（1）请直接写出点 A 坐标为 ，点 B 坐标为 ；（2）当 BP+PM+ME的长度最小时，请求出点 P 的坐标 .【分析 】（ 1）解直角三角形求出 OD， BD的长即可解决；（2）符合“搭桥模型” 的特征；首先证明四边形 OPME是平行四边形， 可得 OP=EM，PM是定值， PB+ME=OP+PB的值最

19、小时， BP+PM+ME的长度最小，此时 P 点为直线OB与EF 的交点，结合OB的解析式可得P 点坐标；【解答 】（ 1）在 Rt ADO中， A=60， AD=2， OD=2?tan60 =2 ， A（ 2， 2 ），四边形 ABCO是平行四边形， AB=OC=6，DB=6 2=4 B 4 2（2）如图，连接 OP EF 垂直平分线段 OD，PM OC， PEO= EOM= PMO=90，四边形 OMPE是矩形， PM=OE= ， OE=OE， PM=OE， PM OE，四边形 OPME是平行四边形 ,OP=EM， PM是定值， PB+ME =OP+PB的值最小时， BP+PM+ME的长度

20、最小，当 O、 P、 B 共线时， BP+PM+ME的长度最小，直线 OB的解析式为 y= x， P（ 2， ）【小结 】求没有公共端点的两条线段之和的最小值， 一般通过作对称和平移 （构造平行四边形）的方法，转化为基本模型 .典型例题 2-4如图所示，在平面直角坐标系中， Rt AOB的顶点坐标分别为 A（ 2， 0），O（ 0， 0）， B（ 0，4），把 AOB绕点 O 按顺时针方向旋转 90，得到 COD（1）求 C、 D 两点的坐标；（2）求经过 A、 B、D 三点的抛物线的解析式；（3）在（ 2）中抛物线的对称轴上取两点 E、 F（点 E 在点 F的上方），且 EF=1，使四边形

21、ACEF的周长最小，求出 E、F 两点的坐标【分析 】符合拓展模型 7 的特征，通过作对称、平移、连线，可找出 E、 F 点，结合直线的解析式和抛物线的对称轴可解出 E、 F 坐标 .【解答 】（ 1）由旋转的性质可知： OC=OA=2， OD=OB=4, C点的坐标是（ 0， 2），D点的坐标是（ 4，0），（2）设所求抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c，4a-2b+c=0由题意，得 16a+4b+c=0c=4解得 a=- 1 ， b=1， c=4，2所求抛物线的解析式为 y=- 1 x2 + x + 4；2（3）只需 AF+CE最短，抛物线 y=- 1 x2 + x + 4的对称轴为

22、 x=1，2将点 A 向上平移至 A1（ 2， 1），则 AF=A1E，作 A1 关于对称轴 x=1 的对称点A2（ 4， 1），连接 A2C，A2C与对称轴交于点 E，E 为所求，可求得 A2C 的解析式1 7 7 3为 y=- x + 2，当 x=1 时， y= ，点 E 的坐标为 (1, ) ，点 F 的坐标为 (1, ) 4 4 4 4【小结 】解决此类题的套路是“对称、平移、连线” ；其中，作对称和平移的顺序可互换 .变式训练 2-1几何模型：条件：如图 1， A， B 是直线 l 同旁的两个定点问题：在直线 l 上确定一点 P，使 PA+PB的值最小方法：作点 A 关于直线 l 的

23、对称点 A，连接 A B 交 l 于点 P，即为所求 . （不必证明）模型应用：（ 1）如图 2，已知平面直角坐标系中两定点 A（ 0， 1）和 B（ 2， 1）， P 为 x 轴上一动点，则当 PA+PB的值最小是点 P 的横坐标是 ，此时 PA+PB= （2）如图 3，正方形 ABCD的边长为 4， E 为 AB的中点， P 是 AC上一动点，连接 BD，由正方形对称性可知， B 与 D 关于直线 AC对称连接 ED交 AC于 P，则 PB+PE的最小值是 （ 3）如图 4，在菱形 ABCD中， AB=10， DAB=60， P 是对角线 AC上一动点， E， F 分别是线段AB和BC上的

24、动点，则PE+PF的最小值是（ 4）如图 5，在菱形 ABCD中， AB=6， B=60，点AG， AD上的两个动点，则 EF+ED的最小值是G是边CD边的中点，点E F 分别是变式训练 2-2如图，矩形 ABCD中， AD=15， AB=10， E 为 AB边上一点，且DE=2AE，连接 CE与对角线 BD交于 F；若 P、 Q分别为 AB 边和BC边上的动点，连接 EP、 PQ和 QF；则四边形 EPQF周长的最小值是 _.变式训练 2-3如图，已知直线 l l， l 、l2之间的距离为8，点 P 到直线 l的1211距离为 6，点 Q到直线 l 2 的距离为 4， PQ=4 ，在直线 l

25、 1 上有一动点 A，直线 l 2 上有一动点 B，满足 AB l 2，且 PA+AB+BQ最小，此时 PA+BQ= 变式训练 2-4如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，直角梯形 OABC的边 OA在 y 轴的正半轴上， OC在x 轴的正半轴上， OA=AB=2， OC=3，过点 B 作 BD BC，交 OA于点 D将 DBC绕点 B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交 y 轴的正半轴、 x 轴的正半轴于点 E和 F（1）求经过 A、 B、C 三点的抛物线的解析式；（2）当 BE经过（ 1）中抛物线的顶点时，求 CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点 Q 在点 P 的上方），且

26、PQ=1，要使四边形 BCPQ 的周长最小，求出 P、 Q两点的坐标中考真题1. 要在街道旁建奶站，向居民区 A、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使 A、B 到它的距离之和最短？小聪以街道为 x 轴，建立了如图所示的平面直角坐标系， A 点坐标为 （0，3）， B 点坐标为（ 6， 5），则 A、 B 两点到奶站距离之和的最小值是 2.如图，矩形 ABOC的顶点 A 的坐标为（ 4， 5）， D是 OB的中点， E 是 OC上的一点，当ADE的周长最小时，点 E 的坐标是（）A（ 0，）B（ 0，）C（ 0， 2）D（ 0，）3. 如图，在矩形ABCD中， AB=5， AD=3，动点P

27、满足S PAB=1 S 矩形 ABCD，则点P 到A、 B 两点距3离之和PA+PB的最小值为（）ABC 5D4. 已知抛物线y=x2+1 具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（， 3）， P 是抛物线y=x2+1 上一个动点，则 PMF周长的最小值是（）A 3 B 4C 5D65.如图， 点 A（ a，3），B（b，1）都在双曲线 y= 上，点 C，D，分别是 x 轴，y 轴上的动点，则四边形 ABCD周长的最小值为（ ）A B CD 6.如图， 在 Rt ABC中， C=90， AC=3， BC=4，D、E 分别是 AB、BC边上的动点，则 AE+DE的最小值为（）A B C 5 D7. 如图， Rt ABC中，