届高三数学一轮复习精品讲义附练习及答案 重点强化课5 统计与统计案例.docx

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届高三数学一轮复习精品讲义附练习及答案重点强化课5统计与统计案例

重点强化课（五）　统计与统计案例

[复习导读]　本章是新课程改革增加内容，是命题的热点，以程序框图、回归分析、统计图表为重点，以客观题为主．命题注重背景新颖、角度灵活．但近几年统计与统计案例、统计与概率交汇，加大了考查力度.2015年、2016年全国卷均以解答题的形式呈现，强化统计思想方法和创新应用意识的考查，复习过程中应引起注意，多变换角度，注重新背景、新材料题目的训练．

重点1　程序框图及应用

☞角度1　程序框图与数列交汇

　执行如图1的程序框图，如果输入的N＝100，则输出的X＝（　　）

A．0.95　　B.0.98　

C.0.99　　D.1.00

图1

C　[由程序框图知，输出的X表示数列

的前99项和，

∴X＝

＋

＋…＋

＝

＋

＋…＋

＝

.]

☞角度2　程序框图与统计的渗透

　（2017·合肥模拟）随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学，测量他们的身高获得身高数据的茎叶图如图2，在样本的20人中，记身高在[150,160），[160,170），[170,180），[180,190）的人数依次为A1，A2，A3，A4.如图3是统计样本中身高在一定范围内的人数的算法框图．若图中输出的S＝18，则判断框应填________．

【导学号：

01772372】

图2　　　　　　　　图3

i<5？

或i≤4？

　[由于i从2开始，也就是统计大于或等于160的所有人数，于是就要计算A2＋A3＋A4，因此，判断框应填i<5？

或i≤4？

.]

☞角度3　程序框图与函数交汇渗透

　如图4所示的程序框图的输入值x∈[－1,3]，则输出值y的取值范围为（　　）

【导学号：

01772373】

图4

A．[1,2]B.[0,2]

C.[0,1]D.[－1,2]

B　[当0≤x≤3时，1≤x＋1≤4，

所以，0≤log2（x＋1）≤2.

当－1≤x<0时，0<－x≤1⇒1<2－x≤2，

所以，0<2－x－1≤1.

因此输出值y的取值范围为[0,2]．]

[规律方法]　1.完善程序框图：

结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．

2．求解该类问题，关键是准确理解程序框图的结构，明确程序框图的功能，按照程序框图中的条件进行程序．

重点2　用样本估计总体

　（2015·全国卷Ⅱ）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．

A地区用户满意度评分的频率分布直方图

①

图5

B地区用户满意度评分的频数分布表

满意度

评分分组

[50,60）

[60,70）

[70,80）

[80,90）

[90,100]

频数

2

8

14

10

6

（1）在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；

B地区用户满意度评分的频率分布直方图

②

图5

（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：

满意度评分

低于70分

70分到89分

不低于90分

满意度等级

不满意

满意

非常满意

估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？

说明理由．

[解]　

（1）如图所示．

通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散.5分

（2）A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．

记CA表示事件：

“A地区用户的满意度等级为不满意”；CB表示事件：

“B地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P（CA）的估计值为（0.01＋0.02＋0.03）×10＝0.6，P（CB）的估计值为（0.005＋0.02）×10＝0.25.

所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.12分

[规律方法]　1.利用统计图表解决实际问题的关键在于从统计图表中提炼准确的数据信息．

2．本例通过画频率分布直方图考查对数据的处理能力和数形结合的思想方法，通过求概率考查运算求解能力和实际应用意识．

[对点训练1]　为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图6所示.

图6

（1）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；

（2）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为

1，

2，估计

1－

2的值．

[解]　

（1）设甲校高三年级学生总人数为n.

由题意知

＝0.05，解得n＝600.2分

样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5，据此估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为

×100%≈83%.5分

（2）设甲、乙两校样本平均数分别为

′1，

′2，

根据样本茎叶图可知30（

′1－

′2）＝30

′1－30

′2＝（7－5）＋（55＋8－14）＋（24－12－65）＋（26－24－79）＋（22－20）＋92＝2＋49－53－77＋2＋92＝15，

因此

′1－

′2＝0.5，

故

1－

2的估计值为0.5分.12分

重点3　统计的应用

　（2016·全国卷Ⅰ）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

图7

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：

元），n表示购机的同时购买的易损零件数．

（1）若n＝19，求y与x的函数解析式；

（2）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；

（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？

[解]　

（1）当x≤19时，y＝3800；

当x>19时，y＝3800＋500（x－19）＝500x－5700，

所以y与x的函数解析式为

y＝

（x∈N）.4分

（2）由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19.8分

（3）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800，20台的费用为4300,10台的费用为4800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为

（3800×70＋4300×20＋4800×10）＝4000.10分

若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4000，10台的费用为4500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为

（4000×90＋4500×10）＝4050.

比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.12分

[规律方法]　1.本题将分段函数、频率分布、样本的数字特征交汇命题，体现了统计思想的意识和应用．

2．本题易错点有两处：

一是混淆频率分布直方图与柱状图致误；二是审题不清或不懂题意，导致解题无从入手．避免此类错误，需认真审题，读懂题意，并认真观察频率分布直方图与柱状图的区别，纵轴表示的意义．

[对点训练2]　某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表：

喜欢

不喜欢

总计

大于40岁

20

5

25

20岁至40岁

10

20

30

总计

30

25

55

（1）判断是否在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？

（2）用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取6人作进一步调查，将这6位市民作为一个样本，从中任选2人，求恰有1位“大于40岁”的市民和1位“20岁至40岁”的市民的概率．

下面的临界值表供参考：

P（K2≥k0）

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（参考公式：

K2＝

，其中n＝a＋b＋c＋d）

[解]　

（1）K2＝

≈11.978>7.879，

所以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关.5分

（2）设所抽样本中有m个“大于40岁”市民，则

＝

，得m＝4，所以样本中有4个“大于40岁”的市民，2个“20岁至40岁”的市民，分别记作B1，B2，B3，B4，C1，C2.

从中任选2人的基本事件有（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B1，C1），（B1，C2），（B2，B3），（B2，B4），（B2，C1），（B2，C2），（B3，B4），（B3，C1），（B3，C2），（B4，C1），（B4，C2），（C1，C2），共15个.10分

其中恰有1名“大于40岁”和1名“20岁至40岁”的市民的事件有（B1，C1），（B1，C2），（B2，C1），（B2，C2），（B3，C1），（B3，C2），（B4，C1），（B4，C2），共8个．

所以恰有1名“大于40岁”的市民和1名“20岁至40岁”的市民的概率为P＝

.12分

重点强化训练

（一）　函数的图象与性质

A组　基础达标

（建议用时：

30分钟）

一、选择题

1．设函数f（x）为偶函数，当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝log2x，则f（－

）＝（　　）

【导学号：

01772065】

A．－

　　　　　　　B.

C．2D.－2

B　[因为函数f（x）是偶函数，所以f（－

）＝f（

）＝log2

＝

.]

2．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，则f

（1）＋g

（1）＝（　　）

A．－3B.－1

C．1D.3

C　[用“－x”代替“x”，得f（－x）－g（－x）＝（－x）3＋（－x）2＋1，化简得f（x）＋g（x）＝－x3＋x2＋1，令x＝1，得f

（1）＋g

（1）＝1，故选C.]

3．函数f（x）＝3x＋

x－2的零点所在的一个区间是（　　）

A．（－2，－1）B.（－1,0）

C．（0,1）D.（1,2）

C　[因为函数f（x）在定义域上单调递增，

又f（－2）＝3－2－1－2＝－

＜0，

f（－1）＝3－1－

－2＝－

＜0，

f（0）＝30＋0－2＝－1＜0，

f

（1）＝3＋

－2＝

＞0，所以f（0）f

（1）＜0，

所以函数f（x）的零点所在区间是（0,1）．]

4．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞）上单调递增．若实数a满足f（log2a）＋f（log

a）≤2f

（1），则a的取值范围是（　　）

【导学号：

01772066】

A．[1,2]B.

C.

D.（0,2]

C　[∵f（log

a）＝f（－log2a）＝f（log2a），∴原不等式可化为f（log2a）≤f

（1）．又∵f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，∴0≤log2a≤1，即1≤a≤2.∵f（x）是偶函数，∴f（log2a）≤f（－1）．又f（x）在区间（－∞，0]上单调递减，∴－1≤log2a≤0，∴

≤a≤1.综上可知

≤a≤2.]

5．（2017·陕西质检

（二））若f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的偶函数，∀x1，x2∈[0，＋∞）（x1≠x2），有

＜0，则（　　）

A．f（3）＜f

（1）＜f（－2）B.f

（1）＜f（－2）＜f（3）

C．f（－2）＜f

（1）＜f（3）D.f（3）＜f（－2）＜f

（1）

D　[由对任意的x1，x2∈[0，＋∞），

＜0得函数f（x）为[0，＋∞）上的减函数，又因为函数f（x）为偶函数，所以f（3）＜f

（2）＝f（－2）＜f

（1），故选D.]

二、填空题

6．函数y＝f（x）在x∈[－2,2]上的图象如图2所示，则当x∈[－2,2]时，f（x）＋f（－x）＝________.

【导学号：

01772067】

图2

0　[由题图可知，函数f（x）为奇函数，

所以f（x）＋f（－x）＝0.]

7．若函数y＝log2（ax2＋2x＋1）的值域为R，则a的取值范围为________．

[0,1]　[设f（x）＝ax2＋2x＋1，由题意知，f（x）取遍所有的正实数．当a＝0时，f（x）＝2x＋1符合条件；当a≠0时，则

解得0＜a≤1，

所以0≤a≤1.]

8．（2017·银川质检）已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，在（0，＋∞）上是增函数，且f

（2）＝0，则满足f（x－1）＜0的x的取值范围是________．

（－∞，－1）∪（1,3）　[依题意当x∈（1，＋∞）时，f（x－1）＜0＝f

（2）的解集为x＜3，即1＜x＜3；当x∈（－∞，1）时，f（x－1）＜0＝f（－2）的解集为x＜－1，即x＜－1.综上所述，满足f（x－1）＜0的x的取值范围是（－∞，－1）∪（1,3）．]

三、解答题

9．已知函数f（x）＝2x，当m取何值时方程|f（x）－2|＝m有一个解，两个解？

[解]　令F（x）＝|f（x）－2|＝|2x－2|，G（x）＝m，画出F（x）的图象如图所示.3分

由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F（x）与G（x）的图象只有一个交点，原方程有一个解；9分

当0＜m＜2时，函数F（x）与G（x）的图象有两个交点，原方程有两个解.12分

10．函数f（x）＝m＋logax（a＞0且a≠1）的图象过点（8,2）和（1，－1）．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）令g（x）＝2f（x）－f（x－1），求g（x）的最小值及取得最小值时x的值．

[解]　

（1）由

得

3分

解得m＝－1，a＝2，

故函数解析式为f（x）＝－1＋log2x.5分

（2）g（x）＝2f（x）－f（x－1）

＝2（－1＋log2x）－[－1＋log2（x－1）]

＝log2

－1（x＞1）.7分

∵

＝

＝（x－1）＋

＋2≥2

＋2＝4.9分

当且仅当x－1＝

，即x＝2时，等号成立．

而函数y＝log2x在（0，＋∞）上单调递增，

则log2

－1≥log24－1＝1，

故当x＝2时，函数g（x）取得最小值1.12分

B组　能力提升

（建议用时：

15分钟）

1．（2017·东北三省四市二联）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞）上是增函数，则不等式

＜f

（1）的解集为（　　）

A.

B.（0，e）

C.

D.（e，＋∞）

C　[f（x）为R上的奇函数，则f

＝f（－lnx）＝－f（lnx），所以

＝

＝|f（lnx）|，即原不等式可化为|f（lnx）|＜f

（1），所以－f

（1）＜f（lnx）＜f

（1），即f（－1）＜f（lnx）＜f

（1）．又由已知可得f（x）在R上单调递增，所以－1＜lnx＜1，解得

＜x＜e，故选C.]　

2．已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数与奇函数，且g（x）＝f（x－1），则f（2019）的值为________．

【导学号：

01772068】

0　[g（－x）＝f（－x－1），由f（x），g（x）分别是偶函数与奇函数，得g（x）＝－f（x＋1），∴f（x－1）＝－f（x＋1），即f（x＋2）＝－f（x），∴f（x＋4）＝f（x），故函数f（x）是以4为周期的周期函数，则

f（2019）＝f（505×4－1）＝f（－1）＝g（0）＝0.]

3．函数f（x）的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2）．

（1）求f

（1）的值；

（2）判断f（x）的奇偶性并证明你的结论；

（3）如果f（4）＝1，f（x－1）<2，且f（x）在（0，＋∞）上是增函数，求x的取值范围．

[解]　

（1）∵对于任意x1，x2∈D，

有f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），

∴令x1＝x2＝1，得f

（1）＝2f

（1），

∴f

（1）＝0.3分

（2）f（x）为偶函数.4分

证明如下：

令x1＝x2＝－1，

有f

（1）＝f（－1）＋f（－1），

∴f（－1）＝

f

（1）＝0.

令x1＝－1，x2＝x有f（－x）＝f（－1）＋f（x），

∴f（－x）＝f（x），

∴f（x）为偶函数.7分

（3）依题设有f（4×4）＝f（4）＋f（4）＝2，

由

（2）知，f（x）是偶函数，

∴f（x－1）<2⇔f（|x－1|）

又f（x）在（0，＋∞）上是增函数，

∴0<|x－1|<16，

解得－15

∴x的取值范围是{x|－15