春人教版六年级数学下册教案第5单元 数学广角鸽巢问题.docx

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春人教版六年级数学下册教案第5单元数学广角鸽巢问题

“抽屉原理”最早是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出并被运用于解决数学问题，所以又称“狄利克雷原理”，也称之为“鸽巢原理”。

“抽屉原理”实际上是一种解决某种特定结构的数学或生活问题的模型，是一种数学的思想方法。

本单元的三道例题，有着各自不同的作用。

例1描述的是“抽屉原理”的最简单情况。

通过本例的教学，使学生感知这类问题的基本结构，掌握两种思考的方法——枚举和假设，理解问题中关键词语“总有”“至少”的含义，形成对“抽屉原理”的初步认识。

例2描述了“抽屉原理”更为一般的形式，提升学生对“抽屉原理”的理解水平。

例2即是“把多于kn个元素放入n个集合，总有一个集合里至少有（k+1）个元素”。

若k为1，就是例1的情况了，可见例1只是例2的一个特例。

例3是“抽屉原理”的具体运用，是一个运用逆向思维来解决问题的例子。

例3是在学生通过例1和例2的学习，对“抽屉”“物体”及其相互之间关系有一定的认识后，依托这一数学模型来分析和解决相关的实际问题。

教科书以学生熟悉的或者感兴趣的材料作为学习素材，缓解学习难度带来的压力，并以直观素材和实践操作作为基础，帮助学生积累对“抽屉原理”的感性认识，逐步提升思维。

教科书例题（习题）的编排也非常关注细节，充分考虑学生学习的重、难点，启发学生抓住关键，建立模型。

“抽屉原理”是一类较为抽象和艰涩的数学问题，对全体学生而言都具有一定的挑战性。

当学生的思维能力比较弱时，学习中面临的压力会更大。

“抽屉原理”之所以难，一是难在模型的建立上，二是难在它的应用。

其实“鸽巢问题”的理论本身并不复杂,甚至可以说是显而易见的，学生在现实生活中已有一定的感性经验。

教学时可以充分利用学生的生活经验，放手让学生自主思考，使学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题。

同时，“鸽巢问题”具有“模型化”特征，在教学中还应培养学生“模型”思想，从现实素材中找出最本质的特征，将具体问题“数学化”。

1.在直观操作中理解“抽屉原理”的有关概念，初步了解“抽屉原理”的结构特征。

教学时要借助教具，让学生在亲身经历（看到、摸到）的基础上，深刻感知分的过程和分的结果，积累对“抽屉原理”的感性认识。

这既可分解学生学习的难度，又可使学生充分地理解“总有”“至少”等特定术语的含义，清晰地建立“待分物品”和“抽屉”之间的关系。

2.让学生初步经历“数学证明”的过程。

在数学上，一般是用反证法对“抽屉原理”进行严格证明的。

在小学阶段，虽然并不需要学生对涉及“抽屉原理”的相关现象给出严格的、形式化的证明，但仍可引导学生用直观的方式对某一具体现象进行“就事论事”式的解释。

在教学的过程中教师可以鼓励学生借助学具、实物操作或画草图的方式进行“说理”。

实际上，通过“说理”的方式来理解“抽屉原理”的过程就是一种数学证明的雏形。

通过这样的方式，有助于逐步提高学生的逻辑思维能力，为以后学习较为严密的数学证明作准备。

3.要有意识地培养学生的“模型思想”。

“抽屉问题”的变式很多，应用更具灵活性。

当我们面对一个具体的问题时，要引导学生先判断某个问题是否属于用“抽屉原理”可以解决的范畴，如果可以，就要找出该问题中什么是“待分的东西”，什么是“抽屉”，思考如何寻找隐藏在其背后的“抽屉问题”的一般化模型。

这个过程，实际上是学生经历将具体问题“数学化”的过程，是从复杂的现实素材中寻找本质的数学模型的过程。

这样的过程，可有效地发展学生的数学思维能力，尤其是可增强学生对“模型思想”的体验，增强运用能力。

第1课时鸽巢问题

（1）

教学内容

教科书P68例1，完成教科书P71“练习十三”中第1题。

教学目标

1.理解“抽屉原理”（“鸽巢原理”）的基本形式，并能初步运用“抽屉原理”解决相关的实际问题或解释相关的现象。

2.通过操作、观察、比较、说理等数学活动，经历对“抽屉

教学笔记

原理”的初步认识，体会和掌握逻辑推理思想和模型思想。

3.体会数学知识在日常生活中的广泛应用，培养学生的学习兴趣和探究意识。

教学重点

经历“抽屉原理”的探究过程，理解“总有”和“至少”的含义，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解释生活中的简单问题。

教学难点

理解“抽屉原理”，建立基本的模型。

教学准备

课件。

教学过程

一、创设身边的问题情境，揭示课题

师：

同学们，一年有几个季节？

【学情预设】一年有4个季节。

师：

我们班每个小组有6名同学，老师有一个大胆的猜测：

一个小组中总有一个季节里至少有2人过生日，你知道这句话的意思吗？

“总有”和“至少”表示什么意思？

【学情预设】预设1：

一定有一个季节里至少有2人出生。

（教师追问：

至少2人是什么意思呢？

）

预设2：

最少2人，可能有3人、4人、5人、6人。

师：

那老师的猜测对不对呢？

请各小组现场统计一下。

【学情预设】学生现场统计后，得到的结论都是每个小组中总有一个季节（春、夏、秋、冬）里至少有2人过生日。

师：

老师为什么猜得这么准呢？

这里面藏着我们今天要学习的数学知识，下面就让我们到课堂上来揭晓这个秘密吧！

二、经历过程，初步感知“鸽巢原理”模型

1.呈现问题，引出探究。

教学笔记

【教学提示】

调动学生学习的积极性，引发学生的思考，突破“总有”“至少”这两个关键词的理解。

课件出示教科书P68例1。

师：

谁来解释“总有”和“至少”这两个词的意思？

【学情预设】预设1：

就是一定有1个笔筒里最少放2支铅笔。

预设2：

至少放2支铅笔就是2支或2支以上。

师：

这几个同学解释得对吗？

有什么办法来证明呢？

请你用自己喜欢的方式来表达想法。

（学生摆一摆、画一画、写一写。

）

2.用枚举法研究问题。

【学情预设】预设1：

我是用画一画的方法来证明：

预设2：

我用摆一摆的方法来证明：

预设3：

我写出了8种放法：

（4，0，0）、（0，4，0）、（3，1，0）、（0，1，3）、（2，2，0）、（2，1，1）、（2，0，2）、（1，2，1）。

预设4：

我写出了4种放法：

（4，0，0）、（3，1，0）、（2，2，0）、（2，1，1）。

3.汇报交流。

师：

同学们用画一画、摆一摆、写一写的方法来证明把4支

教学笔记

【教学提示】

教学这个环节时，应放手让学生自主探索，对于学生可能出现的实物模拟、图示、数的分解等分析方法，只要是合理的，都要予以鼓励。

铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放2支铅笔这个结论。

你有什么想法呢？

【学情预设】预设1：

第一个同学只画了一种放法，一种情况太少了。

预设2：

我认为题目中说“不管怎么放”，（4，0，0）和（0，4，0）可以看作是一种放法，（3，1，0）和（0，1，3）也可以看作是一种放法，还有（2，2，0）和（2，0，2）可以看作是一种放法，（2，1，1）和（1，2，1）可以看作是一种放法。

预设3：

我觉得第2个同学和第4个同学找到了所有的放法。

师：

在放的时候怎样才能做到不重复、不遗漏？

（有序地放，教师演示课件。

）

根据学生的回答，教师板书4种不同的放法：

（4，0，0）、（3，1，0）、（2，2，0）、（2，1，1）。

4.引导观察，初步感知模型。

师：

看来，4支铅笔放进3个笔筒里，一共有4种放法。

请你观察这4种放法，是不是不管怎么放，总有一个笔筒里至少放2支铅笔呢？

【学情预设】引导学生观察这4种不同的放法，发现每一种放法中最多的那一个笔筒里最少都有2支铅笔。

师小结：

每种放法中，放得最多的这个笔筒里最少放了2支铅笔。

最少2支，有的超过了2支，我们就说“至少”2支。

因此“把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔”这句话是正确的。

【设计意图】“总有”和“至少”这两个关键词，学生总是很难理解，所以学习第一个例题时，先出示结论，给学生一个思维导向。

然后借助摆一摆、画一画、写一写、说一说这些办法，分析、交流，使学生真正理解——不管怎么放，总有一个笔筒里至少放了2支铅笔，初步建立模型。

三、提升思维，构建“鸽巢原理”模型

教学笔记

1.课件出示习题。

师：

刚才我们通过不同的方法验证了“把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔”这句话是正确的。

请你借助刚才的经验猜一猜，把5支铅笔放进4个盒子，总有一个盒子至少要放进几支铅笔。

【学情预设】学生会说出总有一个盒子至少要放进2支铅笔。

师：

猜测正确吗？

请大家验证一下。

2.学生用自己的方式（摆一摆、画一画、写一写）来验证。

【学情预设】学生可能得出6种放法：

（5，0，0,0）、（4，1，0,0）、（3,2,0,0）、（3,1,1,0）、（2,2,1,0）、（2,1,1,1）。

教师根据学生发言板书。

师：

仔细观察，如果老师说“总有一个盒子里至少要放进3支铅笔”，你同意吗？

【学情预设】学生会说出每一种摆法中最多的那一个盒子里最少放了2支铅笔，所以应该是总有一个盒子里至少要放进2支铅笔。

3.用假设法探究问题。

师：

经过大家的证明，我们发现把5支铅笔放进4个盒子，总有一个盒子至少要放进2支铅笔。

现在我们回头看，刚才研究了把4支铅笔放进3个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放2支铅笔的问题，这两个问题都采用了一一枚举的方法来研究，枚举法是研究问题的一种基本方法。

那么100支铅笔放进99个盒子，总有一个盒子至少要放进多少支铅笔呢？

如果还用枚举法来研究，你有什么想法？

我们能不能找到一种更为直接的方法，只摆一种情况，也能得到这个结论呢?

引导学生观察黑板上板书的枚举法，提出问题：

观察哪种方法最能说明，总有一个盒子里至少放了2支铅笔呢？

【学情预设】学生会发现（2,1,1）和（2,1,1,1）这两种放法，

教学笔记

【教学提示】

放手让学生验证时，也要注意指导学生有序思考。

教师进一步追问：

这种分法,实际就是先怎么分的，引导学生说出“平均分”。

师：

为什么要先平均分?

【学情预设】学生会说出：

先平均分,余下1支，不管放在哪个盒子里，一定会出现“总有一个盒子里至少有2支”。

师：

你能用算式来表示这一过程吗？

【学情预设】学生会说出：

4÷3=1……1，1+1=2；5÷4=1……1，1+1=2；教师追问：

除法算式中的两个1表示的意思相同吗？

引导学生说出商“1”表示每个盒子里放1支，余数“1”表示平均分后剩下的1支。

教师根据学生发言板书。

师小结：

在研究刚才的两个问题时，我们先是用枚举法把所有的放法都列举出来，得到总有一个盒子里至少放的铅笔支数。

枚举的放法虽然很直观，但数据大了就不方便，由此我们又从所有的放法中找到了最简便的一种：

假设每个盒子里都放一个，剩下的一个再任意放进其中的一个盒子中，这样就能很快地找到至少数。

这种方法叫做假设法，它蕴含了平均分的思想。

最后我们用算式简明地表示出了平均分的过程。

［教师板书：

枚举法假设法（平均分）算式］

【设计意图】枚举法是一种很直观的研究问题的方法，但是当数据较大时，再用枚举法就会显得麻烦，因此教师引导学生观察各种分法，提出核心问题：

“哪种方法最能说明，总有一个盒子里至少放了2支铅笔呢？

”让学生体会平均分的思想，继而用算式来表示解决问题的过程。

经历了从具体到抽象的过程，逐步建立模型，培养了学生的符号意识。

4.类推与归纳。

课件出示表格。

教学笔记

师：

同学们请任意选择一组数据画一画或算一算，你有什么发现？

【学情预设】引导学生发现：

只要铅笔的数量比盒子的数量多1，那么总有一个盒子里至少要放进2支铅笔。

如果将（n+1）支铅笔放入n个盒子（n是非0自然数），总有一个盒子里至少放进了2支铅笔。

【设计意图】在经历了枚举法、假设法后，在不断改变数据（铅笔数比盒子数多1）的探究中，引导学生归纳得出一般性结论，构建出数学模型。

四、运用模型，解释应用

1.知识链接。

师：

今天