三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方.docx
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三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方
三角形中位线定理的证明及其教学说明
以下内容作者为:
青岛第四中学杨瀚书老师
一、三角形中位线定理的几种证明方法
法1:
如图所示,延长中位线DE至F,使
连结CF,则
有AD
FC,所以FC
BD,则四边形BCFD就是平行四边形,DF
BC。
因为
所以DE
.
法2:
如图所示,过C作
交DE的延长线于F,则
有FC
AD,那么FC
BD,则四边形BCFD为平行四边形,DF
BC。
因为
所以DE
.
法3:
如图所示,延长DE至F,使
连接CF、DC、AF,则四边形ADCF为平行四边形,有AD
CF,所以FC
BD,那么四边形BCFD为平行四边形,DF
BC。
因为
所以DE
.
法4:
如图所示,过点E作MN∥AB,过点A作AM∥BC,则四边形ABNM为平行四边形,易证
从而点E就是MN的中点,易证四边形ADEM与BDEN都为平行四边形,所以DE=AM=NC=BN,DE∥BC,即DE
。
法5:
如图所示,过三个顶点分别向中位线作垂线.
二、教学说明
1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程:
“二维”转化为“一维”
在引导学生探索三角形中位线定理时,由于学生画出中位线后,就不难直观地发现平行关系,难的就是发现数量关系,我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题,挖掘它与原有知识的内在联系,从而作如下探索引导。
⑴如图,A为线段BC(或线段BC的延长线)上的任意一点,D、E分别就是AB、AC的中点,线段DE与BC有什么关系?
图⑴:
⑵如果点A不在直线BC上,图形如何变化?
上述结论仍然成立不?
图⑵:
说明:
学生观察(几何画板制作的)课件演示:
当△ABC的顶点A运动到直线BC上时,中位线DE也运动到BC上,这样由“二维”转化为“一维”,学生就不难猜想性质的两方面,特别就是数量关系,而想到去度量、验证与猜想,水到渠成、如果教师直接叫学生去度量角度与长度,就是强扭的瓜不甜、
2、教学重点:
本课重点就是掌握与运用三角形中位线定理。
第一,要知道中位线定理的作用:
可以证明两条直线平行及线段的倍分关系,计算边长或中位线的长。
第二,要知道中位线定理的使用形式,如:
∵DE就是△ABC的中位线
∴DE∥BC,
第三,让学生通过部分题目进行训练,进而掌握与运用三角形中位线定理。
题1如图4、11-7,Rt△ABC,∠BAC=90°,D、E分别为AB,BC的中点,点F在CA延长线上,∠FDA=∠B、
(1)求证:
AF=DE;
(2)若AC=6,BC=10,求四边形AEDF的周长、
分析本题就是考查知识点较多的综合题,它不但考查应用三角形中位线定理的能力,而且还考查应用直角三角形与平行四边形有关性质的能力。
(1)要证AF=DE,因为它们刚好就是四边形的一组对边,这就启发我们设法证明AEDF就是平行四边形、因为DE就是三角形的中位线,所以DE∥AC、又题给条件∠FDA=∠B,而在Rt△ABC中,因AE就是斜边上的中线,故AE=EB、从而∠EAB=∠B、于就是∠EAB=∠FDA、故得到AE∥DF、所以四边形AEDF为平行四边形、
(2)要求四边形AEDF的周长,关键在于求AE与DE,AE=
BC=5,DE=
AC=3、
证明:
(1)∵D、E分别为AB、BC的中点,
∴DE∥AC,即DE∥AF
∵Rt△ABC中,∠BAC=90°,BE=EC
∴EA=EB=
BC,∠EAB=∠B
又∵∠FDA=∠B,
∴∠EAB=∠FDA
∴EA∥DF,AEDF为平行四边形
∴AF=DE
(2)∵AC=6,BC=10,
∴DE=
AC=3,AE=
BC=5
∴四边形AEDF的周长=2(AE+DE)=2(3+5)=16
题2如图,在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别就是BC、AD的中点,延长BA与CD分别与EF的延长线交于K、H。
求证:
∠BKE=∠CHE、
分析本题考查三角形中位线的构造方法及应用、平行线的性质、由中点想到中位线,又要把结论联系起来,既要使中位线的另一端点处一理想的位置,又使需证明的角转移过来,可考虑,连BD,找BD中点G,则EG、FG分别为△BCD、△DBA的中位线,于就是得到了解题方法、考虑到结论辅助线不要乱作,取中点比作平行线好、
证明:
连BD并取BD的中点G,连FG、GE
在△DAB与△BCD中
∵F就是AD的中点,E就是BC的中点
∴FG∥AB且FG=
AB,EG∥DC且EG=
DC
∴∠BKE=∠GFE,∠CHE=∠GEF
∵AB=CD∴FG=EG
∴∠GFE=∠GEF∴∠BKE=∠CHE
题3如图,ABCD为等腰梯形,AB∥CD,O为AC、BD的交点,P、R、Q分别为AO、DO、BC的中点,∠AOB=60°。
求证:
△PQR为等边三角形、
分析本题考查三角形中位线定理、等边三角形判定方法、直角三角形斜边中线定理。
利用条件可知PR=
AD,能否把PQ、RQ与AD(BC)联系起来成为解题的关键,由于∠AOB=60°,OD=OC,则△ODC为等边三角形,再由R为OD中点,则∠BRC=90°,QR就为斜边BC的中线、
证明:
连RC,∵四边形ABCD为等腰梯形且AB∥DC
∴AD=BC∠ADC=∠BCD
又∵DC为公共边∴△ADC≌△BCD
∴∠ACD=∠BDC∴△ODC为等腰三角形
∵∠DOC=∠AOB=60°∴△ODC为等边三角形
∵R为OD的中点
∴∠ORC=90°=∠DRC(等腰三角形底边上的中线也就是底边上的高)
∵Q为BC的中点∴RQ=
BC=
AD
同理PQ=
BC=
AD
在△OAD中∵P、R分别为AO、OD的中点
∴PR=
AD∴PR=PQ=RQ
故△PRQ为等边三角形
3、教学难点:
本课难点就是三角形中位线定理的证明,证明方法的关键在于如何添加辅助线.
教师可以在证明思路上进行引导、启发,避免生硬地将辅助线直接作出来让学生接受。
例如,教师可以启发学生:
要证明一条线段的长等于另一条线段的长的一半,可将较短的线段延长一倍,或者截取较长的线段的一半。
上面的这种辅助线的作法可以概括为“短延长、长截短”,这种辅助线的作法还可以用于证明线段与、差、倍、分等方面。
证明线段的与、差、倍、分常用的证明策略:
1, 长截短:
要证明一条线段等于另外两条线段的与与差,可在长线上截取一部分等于另两条线段中的一条,然后再证明另一部分等于剩下的一条线段的长。
(角也亦然)
2, 短延长:
要证明一条线段等于另外两条线段的与与差,可先延长较短的一条线段,得到两条线段的与,然后再证明其与长的线段相等。
(角也这样)
3, 加倍法:
要证明一条线段等于另一条线段的2倍或1/2,可加倍延长线段,延长后使之为其2倍,再证明与另一条线段相等。
(角也这样)
4, 折半法:
要证明一条线段等于另一条线段的2倍或1/2,也可取长线段的中点,再证明其中之一与另一条线段相等。
(角也可用)
5, 代数运算推理法:
这种方法就是利用代数运算证明线段或角的与、差、倍、分。
6, 相似三角形及比例线段法:
利用相似三角形的性质进行推理论证。
题1(短延长):
如图所示,在正方形ABCD中,P、Q分别为BC、CD上的点。
(1)若
PAQ=45°,求证:
PB+DQ=PQ。
(2)若△PCQ的周长等于正方形周长的一半,求证:
PAQ=45°
证明:
(1)延长CB至E,使BE=DQ,连接AE。
∵四边形ABCD就是正方形
∴
ABE=
ABC=
D=90°,AB=AD
在△ABE与△ADQ中
∵AB=AD,
ABE=
D,BE=DQ
(2)延长CB至E,使BE=DQ,连接AE
由
(1)可知
题2(长截短):
如图,在△ABC中,∠B=2∠C,∠A的平分线AD交BC于D。
求证:
AC=AB+BD
证明:
在AC上截取OA=AB,连接OD,
∵∠3=∠4,AD=AD
∴△ABD≌△AOD,∴BD=DO
∴∠B=∠1=∠2+∠C=2∠C
∴∠2=∠C
∴OD=OC=BD
∴AC=OA+OC=AB+BD