优化设计有约束优化无约束优化.docx
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优化设计有约束优化无约束优化
1.多维有约束优化
题目
对一对单级圆柱齿轮减速器，以体积最小为目标进行多维有约束优化设计。
已知条件
已知数输入功p=58kw，输入转速n1=1000r/min，齿数比u=5，齿轮的许用应力[
]H=550Mpa，许用弯曲应力[
]F=400Mpa。
建立优化模型
1.3.1问题分析及设计变量的确定
由已知条件得求在满足零件刚度和强度条件下，使减速器体积最小的各项设计参数。
由于齿轮和轴的尺寸（即壳体内的零件）是决定减速器体积的依据，故可按它们的体积之和最小的原则建立目标函数。
单机圆柱齿轮减速器的齿轮和轴的体积可近似的表示为：
式中符号意义由结构图给出，其计算公式为
由上式知，齿数比给定之后，体积取决于b、z1、m、l、dz1和dz2六个参数，则设计变量可取为
1.3.2目标函数的确定
根据以上分析，可知，该齿轮减速器以体积最小的目标函数为：
1.3.3约束条件的建立
（1）为避免发生根切，应有
，得
（2）齿宽应满足
，
和
为齿宽系数
的最大值和最小值，一般取
=，
=，得:
（3）动力传递的齿轮模数应大于2mm，得
（4）为了限制大齿轮的直径不至过大，小齿轮的直径不能大于
，得
（5）齿轮轴直径的范围：
得
（6）轴的支撑距离
按结构关系，应满足条件：
（可取
=20），得
（7）齿轮的接触应力和弯曲应力应不大于许用值，得
（8）齿轮轴的最大挠度
不大于许用值
，得
（9）齿轮轴的弯曲应力
不大于许用值
，得
优化方法的选择
由于该问题有6个设计变量，16个约束条件的优化设计问题，采用传统的优化设计方法比较繁琐，比较复杂，所以选用Matlab优化工具箱中的fmincon函数来求解此非线性优化问题，避免了较为繁重的计算过程。
数学模型的求解
1.5.1确定数学优化模型
将已知及数据代入上式，该优化设计的数学优化模型表示为：
（1）求变量：
（2）目标函数：
（3）约束条件：
1.5.2运用Matlab优化工具箱对数学模型求解
（1）首先在Matlab优化工具箱中编写目标函数的M文件，返回x处的函数值f：
functionf=myfun（x）
f=**x
（1）*x
（2）^2*x（3）^2+85*x
（1）*x
（2）*x（3）^2-85*x
（1）*x（3）^2+*x
（1）*x（6）^2-x
（1）*x（5）^2+*x
（1）*x
（2）*x（3）*x（6）*x
（1）*x（3）*x（6）+x（4）*x（5）^2+x（4）*x（6）^2+28*x（5）^2+32*x（6）^2）
（2）由于约束条件中有非线性约束，故需要编写一个描述非线性约束条件的M文件：
function[c,ceq]=myobj（x）
c=[17-x
（2）;
（1）/（x
（2）*x（3））;x
（1）/（x
（2）*x（3））;2-x（3）;x
（2）*x（3）-300;100-x（5）;x（5）-150;130-x（6）;x（6）-200;x
（1）+*x（6）-x（4）-40;1486250/（x
（2）*x（3）*sqrt（x
（1）））-550;7098/（x
（1）*x
（2）*x（3）^2*+*x
（2）*x
（2）^2））-400;7098/（x
（1）*x
（2）*x（3）^2*+*x
（2）*x
（2）^2））-400;*x（4）^4/（x
（2）*x（3）*x（5）^4）*x（4）;（1/（x（5）^3））*sqrt（（2850000*x（4）/（x
（2）*x（3）））^2+*10^12）;（1/（x（6）^3））*sqrt（（2850000*x（4）/（x
（2）*x（3）））^2+6*10^13）];
ceq=[];
（3）最后求解，调用目标函数和约束条件，用matlab软件中工具箱里的fmincon函数，求解有约束的优化，在commandwindow里输入：
x0=[230;21;8;420;120;160];%给定初始值
[x,fval,exitflag,output]=fmincon（@myfun,x0,[],[],[],[],[],[],@myobj,output）%调用优化过程
1.5.3最优解以及结果分析
运行结果如下图所示：
x=
fval=
+007
exitflag=
-2
output=
iterations:
43
funcCount:
563
lssteplength:
1
stepsize:
algorithm:
'medium-scale:
SQP,Quasi-Newton,line-search'
firstorderopt:
+007
constrviolation:
message:
[1x750char]
故优化后的最终结果为
x=[]
f（x）=*107
由于齿轮模数应为标准值，齿数必须为整数，其它参数也要进行圆整，所以最优解不能直接采用，按设计规范，经标准化和圆整后：
x=[1241002148150130]
f（x）=*107
结果对比分析：
若按初始值减速器的体积V大约为×107mm3，而优化后的体积V则为×107mm3，优化结果比初始值体积减少为：
ΔV＝1－×107/×107）×100%＝%
所以优化后的体积比未优化前减少了%，说明优化结果相对比较成功。
2.多维无约束优化
在机械设计问题中，难以避免生产，加工，装配，经济性等问题，故少有无约束优化设计问题。
在本次试验中，针对一个管道流量问题的二维函数，设计了一个非线性无约束优化设计问题，并加以求解。
题目
已知梯形截面管道的参数：
底边长c，高度h，斜边与底边的夹角θ，横截面积A=64516mm2，如图1所示。
管道内液体的流速与管道截面的周长s的倒数成比例关系。
试按照使液体流速最大的条件，确定管道的参数。
图1梯形截面管道参数
确定优化设计模型
（1）管道截面周长：
（2）管道截面面积：
由此可得底边长度的关系式：
（与h和θ有关）
将c代入管道横截面周长的计算式中，得到管道截面周长关系式：
因此，取与管道界面周长有关的独立参数h和θ作为设计变量，有：
为使液体流速最大，取管道截面周长最小作为目标函数，即：
Min
故该函数的数学模型：
（1）变量：
（2）目标函数：
Min
运用Matlab优化工具箱对数学模型求解
2.3.1编写目标函数
首先在Matlab优化工具箱中编写目标函数的M文件，返回x处的函数值f：
%1----二维无约束优化目标函数文件
functionf=sc_wysyh（x）
a=64516;hd=pi/180;
f=a/x
（1）-x
（1）/tan（x
（2）*hd）+2*x
（1）/sin（x
（2）*hd）;
2.3.2绘制该函数的平面和空间等值线
%2----绘制水槽截面周长等高线和曲面图的程序
%按（初值,终值,等分数）产生等间隔向量xx1,xx2
xx1=linspace（100,300,25）;
xx2=linspace（30,120,25）;
%产生两个[5x10]的网格矩阵x1,x2
[x1,x2]=meshgrid（xx1,xx2）;
%定义目标函数
a=64516;hd=pi/180;
f=a./x1-x1./tan（x2*hd）+2*x1./sin（x2*hd）;
%将整个图形窗口分隔成2个子窗口,取左边窗口
figure
（1）;
%绘制等值线并标注函数值
h=contour（x1,x2,f）;
clabel（h）;
%定义左边窗口坐标轴刻度范围
axis（[10030030120]）
%标注左边窗口和坐标轴
xlabel（'高度h（mm）'）
ylabel（'倾斜角theta（度）'）
title（'目标函数（截面周长）等值线'）
%将整个图形窗口分隔成2个子窗口,取右边窗口
figure
（2）;
%绘制曲面图
surfc（x1,x2,f）;
%定义右边窗口坐标轴刻度范围a
axis（[100300301206001200]）
%标注右边窗口
xlabel（'高度\bfh（mm）'）;
ylabel（'斜边夹角\bftheta（度）'）;
zlabel（'目标函数值\bff（mm）'）;
title（'目标函数（截面周长）曲面图'）
运行结果，目标函数的曲面如图2，目标函数等值曲线如图3。
图2截面周长曲面图
图3截面周长等值线
2.3.3利用matlab工具箱fminunc函数对该模型进行求解
%初始点
x0=[25;45];
%调用梯度法搜索
[x,Fmin，exitflag,output]=fminunc（'sc_wysyh',x0）;
disp'********输出最优解********'
fprintf（1,'截面高度hx
（1）*=%mm\n',x
（1））
fprintf（1,'斜边夹角thetax
（2）*=%度\n',x
（2））
fprintf（1,'截面周长sf*=%mm\n',Fmin）
2.3.3求解结果
运行上述程序，可以解得如下参数：
exitflag=
1
output=
iterations:
18
funcCount:
60
stepsize:
1
firstorderopt:
algorithm:
'medium-scale:
Quasi-Newtonlinesearch'
message:
[1x85char]
********输出最优解********
截面高度hx
（1）*=mm
斜边夹角thetax
（2）*=度
截面周长sf*=mm
最终圆整高度h=193mm，斜边夹角θ=60°。
求解周长s=，偏差几乎可以忽略。
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