小学数学分数裂项0723004735.docx
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小学数学分数裂项0723004735
分数裂差
考试要求
（1）灵巧运用分数裂差计算惯例型分数裂差乞降
（2）能经过变型进行复杂型分数裂差计算乞降
知识构造
一、“裂差”型运算
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这类拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常有的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
碰到裂项的计算题时，要认真的
察看每项的分子和分母，找出每项分子分母之间拥有的同样的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂
的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相像部分，让它们消去才是最根本的。
1、关于分母能够写作两个因数乘积的分数，
即
1
形式的，这里我们把较小的数写在前面，
即a
b，
b
a
那么有
1
b
1
（1
1）
a
b
a
a
b
2、关于分母上为
3
个或4个自然数乘积形式的分数，我们有：
1
1[
1
1
]
n（nk）（n2k）2kn（nk）（nk）（n2k）
1
（n
1[
1
2k）
（n
1
]
n（nk）（n2k）
3k）3kn（n
k）（n
k）（n2k）（n
3k）
3、关于分子不是
1
k
1
1
的状况我们有：
k）
n
n
k
n（n
hh11
nnkknnk
2k11
nnkn2knnknkn2k
3k11
nnkn2kn3knnkn2knkn2kn3k
hh11
nnkn2k2knnknkn2k
hh11
nnkn2kn3k3knnkn2knkn2kn3k
1
2
1
1
1
2n
2n12n1
1
2n12n1
2
二、裂差型裂项的三大重点特点：
（1）分子所有同样，最简单形式为都是
1的，复杂形式可为都是x（x为随意自然数）的，可是只需将
x提拿出来即可转变为分子都是
1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，而且知足相邻
2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
重难点
（1）分子不是1的分数的裂差变型；
（2）分母为多个自然数相乘的裂差变型。
例题精讲
一、
用裂项法求
1
型分数乞降
n（n
1）
剖析：
1
型（n为自然数）
n（n1）
由于11＝
nn1
【例1】填空：
n
1
n
1
（n为自然数），因此有裂项公式：
1
1
1
n（n
1）
n（n1）
n（n1）
n（n1）
n
n1
（1）1-1=
（2）
1
2
（3）11
（4）
2
1
3
2
1
2
3
（5）
1
（6）1
1
（7）
99
1
（8）1
1
59
60
59
60
100
99
100
【考点】分数裂项
【难度】☆
【题型】填空
【分析】
（1）原式=
1
；
（2）原式=1
1
；（3）原式=
2
1；（4）原式=1
1
；（5）原式=
1
1
；
1
2
1
2
3
2
3
59
60
（6）原式=
1
；（7）原式=1
1
；（8）原式=
1
。
59
60
99
100
99
100
【答案】
（1）
1；
（2）1
1
；（3）
1
3
；（4）1
1
；（5）
1
1
；（6）
59
1
；（7）1
1
；
1
2
1
2
2
2
3
59
60
60
99
100
1
（8）。
99100
2
【稳固】
1
1
1
1
1
。
2
2
3
3
4
4
5
5
6
1
【考点】分数裂项
【难度】☆☆
【题型】填空
【分析】原式
1
1
1
1
1
1
1
1
5
1
2
2
3
5
6
1
6
6
【答案】5
。
6
【例2】计算：
1
1
......
1
10
11
11
12
60
59
【考点】分数裂项
【难度】☆☆
【题型】解答
【分析】原式
1
1
（
1
1
1
1
1
1
1
（
）
11
）......
（
60
）
60
12
10
11
12
59
10
1
【答案】。
【稳固】计算：
1
1
1
1
1
1985
1986
1986
1987
1995
1996
1996
1997
1997
【考点】分数裂项
【难度】☆☆
【题型】解答
【分析】原式
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1985
1986
1986
1987
1995
1996
1996
1997
1997
1985
1
【答案】。
1985
【例3】计算：
1
1
2
2
4
____。
2
6
15
35
77
【考点】分数裂项
【难度】☆☆
【题型】填空
【分析】原式
1
3
2
5
3
7
5
11
7
2
6
15
35
77
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
5
5
7
7
11
1
1
11
10
11
【答案】10。
11
3
【稳固】1
1
1
1
1
1
1
1
_______。
6
12
20
30
42
56
72
90
【考点】分数裂项
【难度】☆☆
【题型】填空
【分析】原式=1
1
1
1
1
1
1
1
6
12
20
30
42
56
72
90
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
11
=
210
2
=
5
【答案】2
5
【例4】计算：
1
1
1
1
1
1
1
1
1＝
。
2
6
12
20
30
42
56
72
90
【考点】分数裂项
【难度】☆☆☆
【题型】解答
【分析】原式
1
（1
3
1
1
5
5
1
1
7
7
1
8
1
9
1
）
2
2
3
4
4
6
6
8
9
10
1
1
1
1
1
1
1
2
（
3
3
4
9
）
2
10
1
1
1
）
2
（
10
2
1
10
1
【答案】。
1
1
1
4
1
1
【稳固】计算：
1
2
3
20
20
2
6
12
420
【考点】分数裂项
【难度】☆☆☆
【题型】解答
【分析】原式1
2
3
20
1
1
1
1
1
2
6
12
20
420
210
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
4
5
20
21
210
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
20
21
210
1
1
21
20
210
21
4
【答案】21020。
21
【例5】计算：
20081
20091
2010
1
2011
1
18
54
108
180
【考点】分数裂项
【难度】☆☆☆
【分析】原式2008
2009
2010
2011
2012
1
6
3
2010
5
1
1
1
1
1
1
1
9
1
2
2
3
5
6
5
10050
54
5
【答案】10050。
2012
1
=
。
270
【题型】填空
1
1
1
1
6
9
9
12
12
15
15
18
【稳固】计算：
1
5
11
19
29
9701
9899
．
2
6
12
20
30
9702
9900
【考点】分数裂项
【难度】☆☆☆
【题型】填空
【分析】原式
1
1
1
1
1
1
1
1
2
6
12
9900
99
1
1
1
1
2
2
3
99
100
99
1
1
1
1
1
1
2
2
3
99
100
99
1
1
100
1
98
100
【答案】981。
100
1
二、用裂项法求型分数乞降
n（nk）
1
剖析：
n（nk）
型。
（n,k均为自然数）
1
1
1
1
由于1（1
1）
1[nk
n
]
1
，因此n（nk）
k
（
）
n
nk
kn
nk
kn（nk）n（nk）
n（nk）
【例6】
1
1
1
1
3
3
5
5
7
99
101
1
5
【考点】分数裂项
【难度】☆☆
【题型】填空
【分析】
1
3
1
5
1
99
1
1
（1
1
1
1
1
1）50
1
3
5
7
101
2
3
3
5
99
101
101
【答案】50。
101
【稳固】计算：
1
1
1
1
1
1
1
3
15
35
63
99
143
195
【考点】分数裂项
【难度】☆☆
【题型】解答
【分析】原式
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
5
5
7
7
9
9
11
11
13
13
15
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
3
2
3
5
2
13
15
1
1
1
2
1
15
7
15
7
【答案】。
【例7】计算：
25
1
1
1
1
3
3
5
5
7
23
25
1
【考点】分数裂项
【难度】☆☆
【题型】填空
【分析】原式
1
1
1
1
1
1
1
25
1
1
25
24
12
25
3
3
5
23
25
2
1
2
25
2
25
【答案】12。
【稳固】计算：
（
1
1
1
1
1
1
1
1
）128
8
24
48
80
120
168
224
288
【考点】分数裂项
【难度】☆☆
【题型】填空
【分析】原式
（1
4
4
1
1
8
16
1
）128
2
6
6
18
1（1
1
1
1
1
1）128
2
2
4
4
6
16
18
（11）64
218
4
28
9
【答案】284。
9
6
k
三、用裂项法求型分数乞降
n（nk）
k
剖析：
n（nk）
型（n,k均为自然数）
由于11＝nkn＝k，因此k＝11
nnkn（nk）n（nk）n（nk）n（nk）nnk
【例8】求2
3
2
5
2
7
......
97
2
的和
1
3
5
99
【考点】分数裂项
【难度】☆☆
【题型】解答
【分析】原式
（1
1
）
1
1
1
1
1
1
3
（
）
（
）
......（
）
3
5
5
7
97
99
1
1
99
98
99
【答案】98。
99
【稳固】
2
2
2
2
10
9
9
8
5
4
4
3
【考点】分数裂项
【难度】☆☆
【题型】填空
【分析】原式
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
7
9
10
8
9
4
5
3
4
2
10
15
3
7
【答案】。
【例9】计算：
3
3
3
4
4
7
76
79
1
【考点】分数裂项
【难度】☆☆
【题型】解答
【分析】原式=1
1
1
1
1
1
1
4
4
7
76
79
=1
1
79
78
=
79
7
【答案】78。
79
【稳固】
3
3
3
3
5
5
8
8
11
32
35
2
【考点】分数裂项
【难度】☆☆
【题型】解答
【分析】原式=
1
1
1
1
1
1
1
1
2
5
5
8
8
11
32
35
=
1
1
2
35
=
33
70
【答案】33。
70
4
4
4
4
【例10】
77
165
2021
21
【考点】分数裂项
【难度】☆☆
【题型】解答
【分析】原式=
4
4
4
4
7
7
11
11
15
43
47
3
1
1
1
1
1
1
1
1
=
7
7
11
11
15
43
47
3
1
1
=
347
44
=
141
【答案】44。
141
【稳固】（2
2
2
2
）
46
3
15
35
575
【考点】分数裂项
【难度】☆☆
【题型】解答
【分析】原式=
2
2
2
2
46
3
3
5
5
7
23
1
25
1
1
1
1
1
1
1
1
=
3
3
5
5
7
23
46
1
25
=1
1
46
25
8
4
=44
25
【答案】444。
25
讲堂检测
1、计算：
1
1
1
1
2
2
3
3
4
49
50
1
【考点】分数裂项
【难度】☆☆
【题型】解答
【分析】原式＝1－1
+
1－1
++1－1＝49
2
2
3
49
50
50
【答案】49
。
50
2、计算：
1
1
1
1
1
1
1
64
8
24
48
80
120
168
224
【考点】分数裂项
【难度】☆☆
【题型】解答
【分析】
原式
1
1
1
1
1
1
1
64
8
24
48
80
120
168
224
=
1
1
1
1
1
1
1
64
8
3
8
6
8
10
8
15
8
21
8
28
1
8
=1
1
1
1
1
1
1
1
64
8
3
6
10
15
21
28
=8
2
2
2
2
2
2
2
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