名师整理数学九年级上册第21章《一元二次方程》单元检测试题含答案解析.docx
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名师整理数学九年级上册第21章《一元二次方程》单元检测试题含答案解析
九年级上册数学《第21章一元二次方程》单元测试题
一．选择题（共10小题）
1．若关于x的方程（a﹣2）x2﹣3x+a＝0是一元二次方程，则（ ）
A．a≠2B．a＞2C．a＝0D．a＞0
2．方程﹣5x2＝1的一次项系数是（ ）
A．3B．1C．﹣1D．0
3．已知x＝1是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．﹣3B．3C．0D．0或3
4．方程x2﹣4＝0的两个根是（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣2B．x＝﹣2C．x＝2D．x1＝2，x2＝0
5．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是（ ）
A．x2﹣2x＝5B．x2+4x＝5C．2x2﹣4x＝5D．4x2+4x＝5
6．x＝
是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A．3x2+5x+1＝0B．3x2﹣5x+1＝0C．3x2﹣5x﹣1＝0D．3x2+5x﹣1＝0
7．方程x（x+2）＝0的解是（ ）
A．x＝0B．x＝2C．x＝0或x＝2D．x＝0或x＝﹣2
8．已知方程x2+3x﹣4＝0的解是x1＝1，x2＝﹣4，则方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣4＝0的解是（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝﹣3.5B．x1＝1，x2＝﹣3.5
C．x1＝1，x2＝3.5D．x1＝﹣1，x2＝3.5
9．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（m﹣1）＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＞0且m≠1B．m＞0C．m≥0且m≠1D．m≥0
10．某市从2018年开始大力发展旅游产业．据统计，该市2018年旅游收入约为2亿元．预计2020年旅游收入约达到2.88亿元，设该市旅游收入的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是（ ）
A．2（1+x）2＝2.88B．2x2＝2.88
C．2（1+x%）2＝2.88D．2（1+x）+2（1+x）2＝2.88
二．填空题（共8小题）
11．m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，则式子4m2+6m+2018的值为 ．
12．方程（n﹣3）x|n|﹣1+3x+3n＝0是关于x的一元二次方程，n＝ ．
13．如果关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，那么k的取值范围是 ．
14．如果一元二次方程x2﹣4x+k＝0经配方后，得（x﹣2）2＝1，那么k＝ ．
15．2018﹣2019赛季中国男子篮球职业联赛（CBA），继续采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），总比赛场数为380场．求有多少支队伍参加比赛？
设参赛队伍有x支，则可列方程为 ．
16．用长为14的铁丝围成一个面积是12的矩形，这个矩形相邻的两边长分别是 ．
17．设a、b是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，则a2+3a+b＝ ．
18．已知﹣3是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根是
三．解答题（共7小题）
19．选择适当方法解下列方程
（1）（3x﹣1）2＝（x﹣1）2
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x
20．已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一个根，若mn2﹣4n+m＝6，求m的值．
21．当m为何值时，关于x的方程（m﹣2）xm2﹣2﹣4mx＝0为一元二次方程，并求这个一元二次方程的解．
22．已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1＝0．
（I）当m＝0时，求方程的实数根．
（Ⅱ）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
23．某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，每天可多售5件，若设每件降价x元．
（1）根据题意，填表：
每件利润（元）
销售量（件）
利润（元）
降价前
44
20
880
降价后
①
②
（2）若每天盈利1600元，则每件应降价多少元？
24．某钢铁厂计划今年第一季度一月份的总产量为500t，三月份的总产量为720t，若平均每月的增长率相同．
（1）第一季度平均每月的增长率；
（2）如果第二季度平均每月的增长率保持与第一季度平均每月的增长率相同，请你估计该厂今年5月份总产量能否突破1000t？
25．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调査发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
（2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加 件，每件商品，盈利 元（用含x的代数式表示）；
（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．若关于x的方程（a﹣2）x2﹣3x+a＝0是一元二次方程，则（ ）
A．a≠2B．a＞2C．a＝0D．a＞0
【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：
未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．
【解答】解：
关于x的方程ax2﹣3x+（a﹣2）＝0是一元二次方程，得a﹣2≠0，
所以a≠2．
故选：
A．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．方程﹣5x2＝1的一次项系数是（ ）
A．3B．1C．﹣1D．0
【分析】方程整理为一般形式，找出一次项系数即可．
【解答】解：
方程整理得：
﹣5x2﹣1＝0，
则一次项系数为0，
故选：
D．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：
ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
3．已知x＝1是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．﹣3B．3C．0D．0或3
【分析】根据一元二次方程解的定义把x＝1代入x2+mx+2＝0得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：
把x＝1代入方程x2+mx+2＝0得1+m+2＝0，
解得m＝﹣3．
故选：
A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
4．方程x2﹣4＝0的两个根是（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣2B．x＝﹣2C．x＝2D．x1＝2，x2＝0
【分析】首先移项，再两边直接开平方即可．
【解答】解：
移项得：
x2＝4，
两边直接开平方得：
x＝±2，
则x1＝2，x2＝﹣2，
故选：
A．
【点评】此题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
5．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是（ ）
A．x2﹣2x＝5B．x2+4x＝5C．2x2﹣4x＝5D．4x2+4x＝5
【分析】利用完全平方公式判断即可．
【解答】解：
用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是x2+4x＝5，
故选：
B．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6．x＝
是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A．3x2+5x+1＝0B．3x2﹣5x+1＝0C．3x2﹣5x﹣1＝0D．3x2+5x﹣1＝0
【分析】用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
【解答】解：
A.3x2+5x+1＝0中，x＝
，不合题意；
B.3x2﹣5x+1＝0中，x＝
，不合题意；
C.3x2﹣5x﹣1＝0中，x＝
，不合题意；
D.3x2+5x﹣1＝0中，x＝
，符合题意；
故选：
D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的根，用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
7．方程x（x+2）＝0的解是（ ）
A．x＝0B．x＝2C．x＝0或x＝2D．x＝0或x＝﹣2
【分析】利用因式分解的方法得到x＝0或x+2＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：
x＝0或x+2＝0，
所以x1＝0，x2＝﹣2．
故选：
D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：
就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
8．已知方程x2+3x﹣4＝0的解是x1＝1，x2＝﹣4，则方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣4＝0的解是（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝﹣3.5B．x1＝1，x2＝﹣3.5
C．x1＝1，x2＝3.5D．x1＝﹣1，x2＝3.5
【分析】先把方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣4＝0看作关于（2x+3）的一元二次方程，利用题中的解得到2x+3＝1或2x+3＝﹣3，然后解两个一元一次方程即可．
【解答】解：
把方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣4＝0看作关于2x+3的一元二次方程，
所以2x+3＝1或2x+3＝﹣4，
所以x1＝﹣1，x2＝﹣3.5．
故选：
A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
9．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（m﹣1）＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＞0且m≠1B．m＞0C．m≥0且m≠1D．m≥0
【分析】根据一元二次方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．
【解答】解：
∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（m﹣1）＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×[﹣（m﹣1）]＝4m＞0，
∴m＞0．
故选：
B．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
10．某市从2018年开始大力发展旅游产业．据统计，该市2018年旅游收入约为2亿元．预计2020年旅游收入约达到2.88亿元，设该市旅游收入的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是（ ）
A．2（1+x）2＝2.88B．2x2＝2.88
C．2（1+x%）2＝2.88D．2（1+x）+2（1+x）2＝2.88
【分析】设该市旅游收入的年平均增长率为x，根据该市2018年旅游收入及2020年旅游预计收入，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：
设该市旅游收入的年平均增长率为x，
根据题意得：
2（1+x）2＝2.88．
故选：
A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
11．m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，则式子4m2+6m+2018的值为 2020 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝m代入已知方程后即可求得所求代数式的值．
【解答】解：
把x＝m代入2x2+3x﹣1＝0，得
2m2+3m﹣1＝0，
则2m2+3m＝1．
所以4m2+6m+2018＝2（2m2+3m）+2018＝2+2018＝2020．
故答案为：
2020．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
12．方程（n﹣3）x|n|﹣1+3x+3n＝0是关于x的一元二次方程，n＝ ﹣3 ．
【分析】一元二次方程的一般形式是：
ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），把方程化为一般形式，根据二次项系数不等于0，即可求得n的值．
【解答】解：
∵方程（n﹣3）x|n|﹣1+3x+3n＝0是一元二次方程，
∴|n|﹣1＝2，且n﹣3≠0，即n＝﹣3．
故答案为：
﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程的一般形式是：
ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
13．如果关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，那么k的取值范围是 k≤
且k≠﹣2 ．
【分析】因为一元二次方程有实数根，所以△≥0，得关于k的不等式，求解即可．
【解答】解：
∵关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，
∴△≥0且k+2≠0
即（﹣3）2﹣4（k+2）×1≥0且k+2≠0
整理，得﹣4k≥﹣1且k+2≠0
∴k≤
且k≠﹣2．
故答案为：
k≤
且k≠﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式．解决本题的关键是能正确计算根的判别式．本题易忽略二次项系数不为0．
14．如果一元二次方程x2﹣4x+k＝0经配方后，得（x﹣2）2＝1，那么k＝ 3 ．
【分析】先移项得到x2﹣4x＝﹣k，再把方程两边加上4得到（x﹣2）2＝4﹣k，从而得到4﹣k＝1，然后解关于k的方程即可．
【解答】解：
x2﹣4x＝﹣k，
x2﹣4x+4＝4﹣k，
（x﹣2）2＝4﹣k，
所以4﹣k＝1，解得k＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：
将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
15．2018﹣2019赛季中国男子篮球职业联赛（CBA），继续采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），总比赛场数为380场．求有多少支队伍参加比赛？
设参赛队伍有x支，则可列方程为 x（x﹣1）＝380 ．
【分析】设参赛队伍有x支，根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛380场，可列出方程．
【解答】解：
设参赛队伍有x支，则
x（x﹣1）＝380．
故答案为：
x（x﹣1）＝380．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．
16．用长为14的铁丝围成一个面积是12的矩形，这个矩形相邻的两边长分别是 3，4 ．
【分析】设矩形的长为x，则宽为（7﹣x），根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：
设矩形的长为x，则宽为（7﹣x），
根据题意得：
x（7﹣x）＝12，
解得：
x1＝4，x2＝﹣3（舍去），
∴7﹣x＝3．
故答案为：
3，4．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17．设a、b是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，则a2+3a+b＝ 5 ．
【分析】根据根与系数的关系可知a+b＝﹣2，又知a是方程的根，所以可得a2+2a﹣7＝0，最后可将a2+3a+b变成a2+2a+a+b，最终可得答案．
【解答】解：
∵设a、b是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，
∴a+b＝﹣2，
∵a是原方程的根，
∴a2+2a﹣7＝0，即a2+2a＝7，
∴a2+3a+b＝a2+2a+a+b＝7﹣2＝5，
故答案为：
5．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是把a2+3a+b转化为a2+2a+a+b的形式，结合根与系数的关系以及一元二次方程的解即可解答．
18．已知﹣3是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根是 7
【分析】设另一根为a，直接利用根与系数的关系可得到关于a的方程，则可求得答案．
【解答】解：
设方程的另一根为a，
∵﹣3是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，
∴﹣3+a＝4，解得a＝7，
故答案为：
7．
【点评】本题有要考查根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的两根之和等于﹣
、两根之积等于
是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
19．选择适当方法解下列方程
（1）（3x﹣1）2＝（x﹣1）2
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x
【分析】
（1）两边开方得到3x﹣1＝±（x﹣1），然后解两个一元一次方程即可；
（2）先变形得到3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：
（1）3x﹣1＝±（x﹣1），
即3x﹣1＝x﹣1或3x﹣1＝﹣（x﹣1），
所以x1＝0，x2＝
；
（2）3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（3x+2）＝0，
x﹣1＝0或3x+2＝0，
所以x1＝1，x2＝﹣
．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：
就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
20．已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一个根，若mn2﹣4n+m＝6，求m的值．
【分析】把x＝n代入方程求出mn2﹣4n的值，代入已知等式求出m的值即可．
【解答】解：
把x＝n代入方程得：
mn2﹣4n﹣5＝0，即mn2﹣4n＝5，
代入已知等式得：
5+m＝6，
解得：
m＝1．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．当m为何值时，关于x的方程（m﹣2）xm2﹣2﹣4mx＝0为一元二次方程，并求这个一元二次方程的解．
【分析】根据一元二次方程的定义，得到关于m的一元二次方程和关于m的不等式，解之即可得到m的值，代入原方程解一元二次方程即可．
【解答】解：
根据题意得：
，
解得：
m＝﹣2，
即原方程为：
﹣4x2+8x＝0，
解得：
x1＝0，x2＝2．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
22．已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1＝0．
（I）当m＝0时，求方程的实数根．
（Ⅱ）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
【分析】（Ⅰ）令m＝0，用公式法求出一元二次方程的根即可；
（Ⅱ）根据方程有两个不相等的实数根，计算根的判别式得关于m的不等式，求解不等式即可．
【解答】解：
（Ⅰ）当m＝0时，方程为x2+x﹣1＝0．
△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0．
∴x＝
，
∴x1＝
，x2＝
．
（Ⅱ）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0
即（﹣1）2﹣4×1×（m﹣1）
＝1﹣4m+4
＝5﹣4m＞0
∵5﹣4m＞0
∴m＜
．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法、根的判别式．一元二次方程根的判别式△＝b2﹣4ac．
23．某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，每天可多售5件，若设每件降价x元．
（1）根据题意，填表：
每件利润（元）
销售量（件）
利润（元）
降价前
44
20
880
降价后
①
②
（2）若每天盈利1600元，则每件应降价多少元？
【分析】
（1）根据题意确定出降价后的利润与销售量，以及利润即可；
（2）根据盈利的钱数，确定出应降的价即可．
【解答】解：
（1）根据题意，填表：
每件利润（元）
销售量（件）
利润（元）
降价前
44
20
880
降价后
44﹣x
20+5x
（2）根据题意得：
（44﹣x）（20+5x）＝1600，
整理得：
（x﹣4）（x﹣36）＝0，
解得：
x＝4或x＝36，
则应降价4元或36元．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．
24．某钢铁厂计划今年第一季度一月份的总产量为500t，三月份的总产量为720t，若平均每月的增长率相同．
（1）第一季度平均每月的增长率；
（2）如果第二季度平均每月的增长率保持与第一季度平均每月的增长率相同，请你估计该厂今年5月份总产量能否突破1000t？
【分析】
（1）设第一季度平均每月的增长率为x，根据该厂一月份及三月份的总产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据五月份的总产量＝三月份的总产量×（1+增长率）2，即可求出今年五月份的总产量，再与1000进行比较即可得出结论．
【解答】解：
（1）设第一季度平均每月的增长率为x，
根据题意得：
500（1+x）2＝720，
解得：
x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：
第一季度平均每月的增长率为20%．
（2）720×（1+20%）2＝1036.8（t），
∵1036.8＞1000，
∴该厂今年5月份总产量能突破1000t．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；
（2）根据数量关系，求出今年五月份的总产量．
25．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调査发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
（2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加 2x 件，每件商品，盈利 50﹣x 元（用含x的代数式表示）；
（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
【分析】
（1）根据“盈利＝单件利润×销售数量”即可得出结论；
（2）根据“每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件”结合每件商品降价x元，即可找出日销售量增加的件数，再根据原来没见盈利50元，即可得出降价后的每件盈利额；
（3）根据“盈利＝单件利润×销售数量”即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值．
【解答】解：
（1）当天盈利：
（50﹣3）×（30+2×3）＝1692（元）．
答：
若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元．
（2）∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品，盈利（50﹣x）元．
故答案为：
2x；50﹣x．
（3）根据题意，得：
（50﹣x）×（30+2x）＝2000，
整理，得：
x2﹣35x+250＝0，
解得：
x1＝10，x2＝25，
∵商城要尽快减少库存，
∴x＝25．
答：
每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出一元二次方程（或算式）是解题的关键．
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