期末专题复习 一元二次方程.docx

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期末专题复习一元二次方程

期末专题复习一元二次方程

　　　　　期末专题复习一元二次方程

　　第17章一元二次方程是本学期的重点内容，也是中学数学的一个重要基础内容，因此它是历届中考中的考点内容。

一、教学目标

1.使学生了解一元二次方程的意义，会判定一个方程式否是一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的一般形式，会准确确定一元二次方程各项的系数.

2.掌握一元二次方程解法中的开平方法、配方法、公式法和因分解法等四种方法，会根据一元二次方程的不同的特点选择适当的解法.

3.继续发展学生应用方程解决实际问题的意识，继续提高学生阅读文字材料、获取信息、建立方程模型的能力.

二、重点、难点和关键

1．本章的重点包括一元二次方程的一般概念，一元二次方程的解法，以及一元二次方程的应用.

2．本章的难点是先配方再开平方思路的产生和配方变形技能的落实.

3．更重要的难点是在本章中，就要培养学生能再一次运用数学的眼光观察分析要解决的问题，会把非数学问题归结为用一元二次方程来解决的方程问题，并用一元二次方程的知识加以解决的能力.

4.本章教学的关键是一元二次方程解法的落实和化归思想的运用.

　　在本次期末专题复习中我把本章分成了四部分，希望能给各位老师在期末复习中有所帮助，如果有说的不到或不对的地方，请各位老师给予批评指导。

（一）一元二次方程及解的概念.

1、一元二次方程

一般式为，若有1以外的公约数时应约去这个公约数。

解题思路：

未知数的最高次数是2；二次项系数

2、能够使一元二次方程成立的未知数的值叫一元二次方程的解.

例

解析：

一元二次方程未知数的最高次数是2，所以解得

又二次项系数，所以，的值是。

1.方程是关于的一元二次方程，则的值是多少？

2.关于的方程，满足什么条件时是关于的一元二次方程？

3.如果2是方程的一个根，那么c的值是（）

　　A．B．－4C．2D．－2（书98页第九题）

4.如果x＝4是一元二次方程的一个根，那么常数a的值是

（）．

A.2B.－2C.±2D.±4

（二）一元二次方程的解法

（1）直接开平方法：

（2）配方法：

（3）公式法：

求根公式：

（4）因式分解法：

　　解一元二次方程的基本思路是降次，让学生都知道配方法和公式法适合解所有的一元二次方程，但遇到解一元二次方程的题时，还是首先考虑因式分解法，而直接开平方法只适合特殊的形式。

配方法步骤：

（1）方程两边同除以二次项的系数，将二次项的系数化为1；

（2）移项，使方程左边只有二次项和一次项，常数项在右边；

（3）配方，方程的两边要加上一次项系数的一半的平方，使方程做变为一个完全平方式，右边是一个常数的形式；

（4）如果右边是非负数，两边直接开平方解这个一元二次方程；

（5）如果右边是负数，则原方程无解.

配方法中配方是难点，配方的方法是在方程的两边要加上一次项系数的一半的平方，

例题用配方法解方程，下列配方正确的是（）

A．B．C．D．

解析：

用配方法解方程是配一次项系数一半的平方，由，，所以，选（A）

公式法注意问题:

（1）把一元二次方程化为一般形式，正确地确定a、b、c的值（特别容易在正负号上出错）；

（2）学生常不写；

易错点：

丢根。

例一元二次方程的解是（）

A．B．C．D．

如，解方程，两边同时除以,得。

又如，解方程

（三）一元二次方程根的判别式

　　一元二次方程，如果，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根.课本中并没有准确给出这三种情况，但我相信各位教师都按照老教材的这三方面给出的。

根的判别式有以下应用

（1）不解一元二次方程，判断根的情况

例1.一元二次方程根的情况是____________

例2．已知：

a、b、c是三角形的三条边的长，那么的根的情况是.

（2）根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围；

例2．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是．

变式1：

若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是．

变式2：

若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是．

1.已知关于的一元二次方程有两个不相同的实数根，则的取值范围是

2.已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）＝0的根的情况是（）

　　　A．没有实数根B．可能有且只有一个实数根

　　　C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根

3.已知关于的一元二次方程2--2=0.........①．

（1）若=-1是这个方程的一个根，求的值和方程①的另一根；

（2）对于任意的实数，判断方程①的根的情况，并说明理由．

（四）实践与探索

列一元二次方程解应用题的一般步骤为：

审、设、列、解、验、答。

具体过程：

（1）审题，找等量关系；-------关键

（2）设未知数；-------注意单位

（3）列方程；

（4）解方程；

（5）检验；-------注意是否符合实际意义

（6）写出答案；

（7）答话。

常见的相关问题

（1）数字问题：

三个连续整数，设中间的数为x,另两个分别为x-1,x+1；三个连续奇（偶）数，设中间的数为x,另两个分别为x-2,x+2；两位整数的表示法

（2）增长率问题常用公式，a为原数，b为增长或降低后的数（即现在的数），x为增长率或降低率，2表示两次增长或降低。

（3）特殊的几何图形的面积问题：

三角形、梯形公式等

（4）现实生活中的数量关系：

握手、比赛等问题

　　检查方程两根是否符合实际意义，尤其当两根都是正数的情况。

如教材P114探究3问题中，方程两根都是正数，但他们并不都适合问题的解。

必须根据它们的值的大小来确定哪个合乎实际。

这种取舍更多的要考虑问题的实际意义，教学中应注意培养学生将数学知识与实际问题相结合的能力。

又如，练习册69页第8题，方程两根都是正数，他们都是适合问题的解。

例1.教材P114探究3给出了一个彩色的图片，要设计一个矩形的封面，封面长27cm,宽21cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度.

解析：

设上、下边衬的宽度为，左、右边衬的宽度为，列出方程

解的

这两个值都是正值，不好取舍，要进一步计算不符合题意，舍去；符合题意。

例2.练习册P69-8题某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元。

若每件降价1元，则每天可多销售5件。

如果每天要盈利1600元，每件应降价______________元。

解析：

设降价元，列方程解得

1.（2008四川达州市）某商品原价100元，连续两次涨价后售价为120元，下面所列方程正确的是（）

A．B．

C．D．

2.（2008南京市）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：

1，在温室内，沿前侧的侧内墙保留3m宽的空地.其它三侧内墙各保留1m宽的通道，当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2?

3.要组织一场足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀多少支队伍参加？

期末复习教学案一元二次方程

【知识回顾】

1.一元二次方程的概念：

形如：

2.一元二次方程的解法：

（1）直接开平方法：

（2）配方法：

（3）因式分解法：

（4）公式法：

求根公式：

3.一元二次方程的根的判别式：

（1）当时，方程有两个不相等的实数根；

（2）当时，方程有两个相等的实数根；

（3）当时，方程没有实数根。

4.用方程解决实际问题：

略

【基础训练】

1．解下列方程

（1）（2x＋3）2－25＝0.（直接开平方法）

（2）（配方法）

（3）（因式分解法）（4）（公式法）

2.我们已经学习了一元二次方程的四种解法：

因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．

①；②；③；④．

3.一元二次方程的解是．

4.方程的解是

　　A．B．C．或D．

5．方程的解是　　．

6.一元二次方程可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是，则另一个一次方程是．

7.用配方法解方程，下列配方正确的是

A．B．C．D．

8.下列方程中，有两个不相等实数根的是

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

9．一元二次方程的根的情况是

　　A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

　　C．有一个实数根D．没有实数根

10．已知一元二次方程的一个根为，则．

11.关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的另一根为。

12.已知是方程的一个根，则方程的另一个根为

A．B．C．D．

13.三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是．

14.某商品原价100元，连续两次涨价后售价为120元，下面所列方程正确的是

　　A．B．

　　C．D．

15.一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至现在的48.6元，则平均每次降价的百分率是．

16.某种药品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%,则平均每次降价

　　A.10%B.19%C.9.5%D.20%

17.某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利润是25万元，若利润平均月增长率为，则根据题意列方程为

　　A．B．

　　C．D．

【能力提高】

18.已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是　　　。

（填上一个符合条件的方程即可）

19.写出一个以-2和4为根的一元二次方程：

_________________。

20.已知是方程的一个根，则代数式的值等于

　　A、１B、－１C、0D、2

21.关于的一元二次方程的根的情况是

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定

22.关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是．

23.如图为长方形时钟钟面示意图，时钟的中心在长方形对角

线的交点上，长方形的宽为20厘米，钟面数字2在长

方形的顶点处，则长方形的长为_________厘米．

24.在实数范围内定义一种运算""，其规则为，根据这个规则，方程为：

；

25．将4个数排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则．

26.、、分别是三角形的三边，则方程的根的情况是

　　A．没有实数根B．可能有且只有一个实数根

　　C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根

27.甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为元的商品，甲超市连续两次降价20%，乙超市一次性降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要购买这种商品最划算应到的超市是

A.甲B.乙C.丙D.乙或丙

28.阅读材料：

如果，是一元二次方程的两根，那么有.

这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例是方程的两根，求的值.解法可以这样：

则

　　.

　请你根据以上解法解答下题：

已知是方程的两根，求：

（1）的值；

（2）的值.

29.读诗词解题：

（通过列方程，算出周瑜去世时的年龄。

）

　　　　　　　　　　　大江东去浪淘尽，千古风流数人物；

　　　　　　　　　　　而立之年督东吴，早逝英年两位数；

　　　　　　　　　　　十位恰小个位三，个位平方与寿符；

　　　　　　　　　　　那位学子算得快，多少年华属周瑜。

30.如图，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点O处．甲沿着喀什路以4m/s的速度由西向东走，乙沿着北京路以3m/s的速度由南向北走．当乙走到O点以北50m处时，甲恰好到点O处．若两人继续向前行走，求两个人相距85m时各自的位置．