届上海市金山区高三上学期期末考试一模数学试题.docx

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届上海市金山区高三上学期期末考试一模数学试题

上海市金山区2017学年第一学期期末考试

高三数学试卷

（满分：

150分，完卷时间：

120分钟）

（答题请写在答题纸上）

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．若集合M={

，xR}，N={

，x≥–2}，则M∩N=▲．

2．计算：

=▲．

3．不等式：

的解是▲．

4．如果复数z=

（bR）的实部与虚部相等，则z的共轭复数

=▲．

5．方程：

sinx+cosx=1在[0，π]上的解是▲．

6．等差数列{an}中，a2=8，S10=185，则数列{an}的通项公式an=▲（nN*）．

7．当a>0，b>0且a+b=2时，行列式

的值的最大值是▲．

8．若

的二项展开式中的常数项为m，则m=▲．

9．从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量分别是：

（单位：

克）125，124，121，123，127，则该样本的标准差是▲克．

10．三棱锥O–ABC中，OA=OB=OC=2，且∠BOC=45，则三棱锥O–ABC体积的最大值是▲．

11．从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中任取两个数，欲使取到的一个数大于k，另一个数小于k（其中k{5,6,7,8,9}）的概率是

，则k=▲．

12．已知点A（–3,–2）和圆C：

（x–4）2+（y–8）2=9，一束光线从点A发出，射到直线l：

y=x–1后反射（入射点为B），反射光线经过圆周C上一点P，则折线ABP的最短长度是▲．

13．如图所示，在长方体ABCD–EFGH中，AD=2，AB=AE=1，M为矩形AEHD内的一点，如果∠MGF=∠MGH，MG和平面EFG所成角的正切值为

，那么点M到平面EFGH的距离是▲．

14．已知点P（x0,y0）在椭圆C：

（a>b>0）上，如果经过点P的直线与椭圆只有一个公共点时，称直线为椭圆的切线，此时点P称为切点，这条切线方程可以表示为：

．

根据以上性质，解决以下问题：

已知椭圆L：

，若Q（u，v）是椭圆L外一点（其中u，v为定值），经过Q点作椭圆L的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程是▲．

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15．复数z1＝a+bi（a、bR，i为虚数单位），z2＝–b+i，且|z1|<|z2|，则a的取值范围是（▲）．

（A）a＞1（B）a＞0（C）–l＜a＜1（D）a＜–1或a＞1

16．用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数有（▲）．

（A）60个（B）48个（C）36个（D）24个

17．设k>1，f（x）=k（x–1）（xR），在平面直角坐标系xOy中，函数y=f（x）的图像与x轴交于A点，它的反函数y=f–1（x）的图像与y轴交于B点，并且这两个函数的图像相交于P点.已知四边形OAPB的面积是3，则实数k等于（▲）．

（A）3（B）

（C）

（D）

18．若集合A1、A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一个分拆，并规定：

当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A={a1，a2，a3}的不同分拆种数是（▲）．

（A）8（B）9（C）26（D）27

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）

a、b、c分别是锐角△ABC的内角A、B、C的对边，向量

=（2–2sinA，cosA+sinA），

=（sinA–cosA，1+sinA），且

∥

．已知a=

，△ABC面积为

，求b、c的大小．

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．

如图，在四棱锥P–ABCD的底面梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=2，AD=3，∠ADC=45.已知PA⊥平面ABCD，PA=1．

求：

（1）异面直线PD与AC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（2）三棱锥C–APD的体积．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.

已知a>0且a1，数列{an}是首项与公比均为a的等比数列，数列{bn}满足bn=anlgan（nN*）．

（1）若a=3，求数列{bn}的前n项和Sn；

（2）若对于nN*，总有bn

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

动点

与点

的距离和它到直线

的距离相等，记点

的轨迹为曲线

．

（1）求曲线

的方程；

（2）设点

2

动点

在曲线

上运动时，

的最短距离为

，求

的值以及取到最小值时点

的坐标；

（3）设

为曲线

的任意两点，满足

（

为原点），试问直线

是否恒过一个定点？

如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由．

23．（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

设函数f（x）=2kax+（k–3）a–x（a>0且a1）是定义域为R的奇函数．

（1）求k值；

（2）若f

（2）<0，试判断函数f（x）的单调性，并求使不等式f（x2–x）+f（tx+4）<0恒成立的t的取值范围；

（3）若f

（2）=3，且g（x）=2x+2–x–2mf（x）在

2,+∞

上的最小值为–2，求m的值．

上海市金山区2017—2017学年第一学期期末考试

评分标准

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．[0,5]；2．

；3．0

或0；6．3n+2；7．0

8．7920；9．2；10．

；11．7；12．10；13．

；14．

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15．C；16．B；17．B；18．D

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）

解：

，

，又

‖

（2–2sinA）（1+sinA）–（cosA+sinA）（sinA–cosA）=0，即：

又

为锐角，则

，所以∠A=60…………………………………………6分

因为△ABC面积为

，所以

bcsinA=

，即bc=6，

又a=

，所以7=b2+c2–2bccosA，b2+c2=13，

解之得：

或

………………………………………………………………12分

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．

解：

（1）过点C作CF∥AB交AD于点F，延长BC至E，使得CE=AD，连接DE，则AC∥DE，所以∠PDE就是异面直线PD与AC所成的角或其补角，………………2分

因为∠ADC=45，所以FD=2，从而BC=AF=1，且DE=AC=

，AE=

，PE=

，PD=

，在△

中，

，所以，异面直线

与

所成角的大小为

………………………………………………………………8分

（2）因为VC–APD=VP–ACD，

S△ACD=

CFAD=3

PA⊥底面ABCD，三棱锥P–ACD的高为PA=1，

VP–ACD=

S△ACDPA=1，

所以，三棱锥C–APD的体积为1.………………………………………………………14分

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.

（1）由已知有

，

，

，

所以

，

.………………………………………………………7分

（2）

即

.由

且

，得

，

所以

或

即

或

对任意nN*成立，

且

，所以

或

……………………………………………14分

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

（1）根据抛物线的定义可知,动点

的轨迹是抛物线

所以曲线C的方程为x2=4y；……………………………………………………………4分

（2）设点T（x0,y0）,x02=4y0（y0≥0），

|AT|=

=

，

a–2>0，则当y0=a–2时，|AT|取得最小值为2

，

2

=a–1,a2–6a+5=0，a=5或a=1（舍去），

所以y0=a–2=3，x0=2

，所以T坐标为（2

3）；……………………………10分

（3）显然直线OP1、OP2的斜率都必须存在，记为k，

，

，解之得P1（

），同理P2（–4k,4k2），

直线P1P2的斜率为

，直线P1P2方程为：

整理得：

k（y–4）+（k2–1）x=0，所以直线P1P2恒过点（0,4）………………………………16分

23．（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

解

（1）因为f（x）是定义域为R的奇函数，所以f（0）＝0，

所以2k+（k–3）=0，即k=1，检验知，符合条件………………………………………4分

（2）f（x）=2（ax–a–x）（a>0且a1）

因为f

（2）<0，

<0，又a>0且a1，所以0

因为y=ax单调递减，y=a–x单调递增，故f（x）在R上单调递减。

……………………7分

不等式化为f（x2–x）

所以x2–x>–tx–4，即x2+（t–1）x+4>0恒成立，

所以Δ=（t–1）2–16<0，解得–3

（3）因为f

（2）=3，所以2（

）=3，即2a4–3a2–2=0，所以a=

……………12分

所以g（x）＝2x＋2–x–4m（

–

）＝（

–

）2－4m（

–

）＋2.

令t=

–

，由

（1）可知t=

–

为增函数，因为x≥2，所以t≥

，

令h（t）＝t2－4mt＋2＝（t–2m）2＋2–4m2（t≥

）…………………………………………15分

若m≥

，当t＝2m时，h（t）min＝2－4m2＝–2，∴m＝1

若m<

，当t＝

时，h（t）min＝

－6m＝–2，解得m＝

>

，舍去

综上可知m＝1.…………………………………………………………………………18分