上海历年高考数学压轴题题选.docx
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上海历年高考数学压轴题题选
上海历年高考数学压轴题题选
（2012文）
23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
对于项数为m的有穷数列an，记bkmax印©,…©（k1,2,...,m），即bk为ai,a2,...,ak中的最大值，
并称数列bn是an的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5
（1）若各项均为正整数的数列an的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的an
（2）设bn是an的控制数列，满足3kbmk1C（C为常数，k1,2,...,m），求证：
bkak（k1,2,...,m）
（3）设m
100，
常数
a
1n（n1）
1，若anan?
（1）2n，bn是an的控制数列,
求（b1
aj
（b2
a2）
...（bj00a100）
（2012理）
23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
rr
对于数集X1,x1,x2,...,xn，其中0X1X2...xn，n2，定义向量集Yaa（s,t）,sX,tX，
iruuirm
若对任意a1Y，存在a2Y，使得q&0，则称X具有性质P，例如1,1,2具有性质P
（1）若x2，且1,1,2,x具有性质P，求x的值
（2）若X具有性质P，求证：
1X，且当冷1时，为1
（2012春）
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.
（2011文）
23、（18分）已知数列｛an｝和｛bn｝的通项公式分别为an3n6,bn2n7（nN*）,将集合
｛x|xan,nN*｝U｛x|xbn,nN*｝中的元素从小到大依次排列，构成数列c1,c2,c3,L,cn,L。
⑴求三个最小的数，使它们既是数列｛an｝中的项，又是数列｛bn｝中的项；
⑵C1,C2,C3丄,C40中有多少项不是数列｛bn｝中的项？
说明理由；
⑶求数列｛cn｝的前4n项和S4n（nN）。
（2011理）
22、（18分）已知数列｛an｝和｛bn｝的通项公式分别为an3n6，bn2n7（nN*），将集合
｛x|xan,nN*｝U｛x|xbn,nN*｝中的元素从小到大依次排列，构成数列C1,C2,C3,L,Cn,L。
⑴求C1,C2,C3,C4；
⑵求证：
在数列｛Cn｝中、但不在数列｛bn｝中的项恰为a2,a4,L,a2n,L；
⑶求数列｛Cn｝的通项公式。
（2011理）
23、（18分）已知平面上的线段丨及点P，在丨上任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段丨的距离,记作d（P,l）。
⑴求点P（1,1）到线段l:
xy30（3x5）的距离d（P,l）；
⑵设丨是长为2的线段，求点集D｛P|d（P,l）1｝所表示图形的面积；
2分，②6分，③8分；若选择
A,B,C,D是下列三组点中的一组。
对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①
了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。
1A（1,3）,B（1,0）,C（1,3）,D（1,0）。
2A（1,3）,B（1,0）,C（1,3）,D（1,2）。
3A（0,1）,B（0,0）,C（0,0）,D（2,0）。
（2011春）
21.（本题满分14分）本题公园小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分。
已知抛物线F:
x24y
（ABC的三个顶点在抛物线F上，记△ABC的三边ABBCCA所在的直线的斜率分别为kAB,kBC,kCA，
若A的坐标在原点，求kABkBCkCA的值；
（2）请你给出一个以P（2,1）为顶点、其余各顶点均为抛物线F上的动点的多边形，写出各多边形各边所在的
直线斜率之间的关系式，并说明理由。
说明：
第
（2）小题将根据结论的一般性程度给与不同的评分。
（2010文）
22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.
若实数x、y、m满足xmym，则称x比y接近m.
（1）若x21比3接近0，求x的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：
a2bab2比a3b3接近2ab・.ab；
（3）已知函数f（x）的定义域Dxxk,kZ,xR.任取xD,f（x）等于1sinx和1sinx中接
近0的那个值•写出函数f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不
要求证明）.
（2010文）
为CD的中点;
uur
PQ?
令a10,b5，点P的坐标是（-8,-1）,若椭圆
urnuuuuun
PRPF2PQ，求点P、P2的坐标.
（2010理）
23（本题满分
18分）本题共有
3个小题，第
1小题满分3分，第2小题满分6分
，第3小题满分9分.
已知椭圆
2
的方程为笃
a
2
1（abb2
0），点P的坐标为（
a,b）.
uuur
1uiruir（PAPB）,
（1）若直角坐标平面上的点
M、A（0,
b）,B（a,0）满足PM
求点
M的坐标；
2
（2）设直线h：
ykixp交椭圆于C、D两点，交直线12:
yk?
x于点E.若&k?
—2,
a
证明：
E为CD的中点；
（3）对于椭圆上的点Q（acos,bsin）（0），如果椭圆上存在不同的两个交点P、P2满足
urnuuuurn
PPPP，PQ，写出求作点P、P，的步骤，并求出使P、P＞存在的的取值范围.
（2010春）
23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。
已知首项为Xi的数列｛Xn｝满足Xn1-aX^（a为常数）。
Xn1
（1）若对于任意的X11，有Xn2Xn对于任意的nN都成立，求a的值；
（2）当a1时，若X10，数列｛Xn｝是递增数列还是递减数列？
请说明理由；
（3）当a确定后，数列｛Xn｝由其首项X1确定，当a2时，通过对数列｛Xn｝的探究，写出"｛Xn｝是有穷数列”
的一个真命题（不必证明）。
说明：
对于第3题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分。
2009理）
22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。
1
已知函数yf（x）的反函数。
定义：
若对给定的实数a（a0），函数yf（xa）与yf（xa）互为反函数，则称yf（x）满足“a和性质”；若函数yf（ax）与yf1（ax）互为反函数，则称yf（x）满足“a积性质”。
（1）判断函数g（x）x21（x0）是否满足“1和性质”，并说明理由；
（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；
（3）设函数yf（x）（x0）对任何a0，满足“a积性质”。
求yf（x）的表达式。
（2009文）
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.
已知an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列
（1）若an3n1，是否存在m,nN*，有amam1ak？
请说明理由；
（2）若bnaqn（a、q为常数，且aq0）对任意m存在k，有bmbm1bk，试求a、q满足的充要条件；
（3）若an2n1,bn3n试确定所有的p,使数列0中存在某个连续p项的和式数列中a.的一项，请证明.
（2009理）
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。
已知an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列。
（1）若an3n1，是否存在m、kN*，有amam1ak?
说明理由；
（2）找出所有数列
*a“1an和bn，使对一切nN,—bn,并说明理由；
an
（3）若a15,d
4,b1q3,试确定所有的p，使数列an中存在某个连续p项的和是数列bn中的一
项，请证明。
（2008文）
21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知数列｛a*｝:
31,a22,a3r,an3an2（n是正整数），与数列｛g｝:
bi1,60,b31,
b40，bn4bn（n是正整数）.记Tn0*1b2*2匕3玄3Lbna*
（1）若a-ia2a3La1264，求r的值；
（2）求证：
当n是正整数时，T2n4n；
（3）已知r0，且存在正整数m，使得在T12m1,T12m2，…，T12m12中有4项为100.求r的值，并指出哪4项为100.
（2008理）
已知a1为首项的数列｛an｝满足：
an1an
7,an3,
d
1,d3时，试用a1表示数列｛an｝前100项的和Si00；
1
（m是正整数），c，正整数d3m时，求证：
数列m
11
m2,a9m2成等比数列当且仅当d3m。
mm
2007文）
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．
如果有穷数列印怎，a3,L,am（m为正整数）满足条件aiam,a?
am1，…，amai，即aiami1
（i1,2,L,m）,我们称其为“对称数列”•
例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，，2，2，48都是“对称数列”．
（1）设bn是7项的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4是等差数列，且b12，b411．依次写出bn的每一项；
（2）设Cn是49项的“对称数列”，其中025,026,L，C49是首项为1，公比为2的等比数列，求Cn各项的和S；
（3）设dn是100项的“对称数列”，其中d51，d52，L，d100是首项为2，公差为3的等差数列•求d.前n项的和Sn（n1，2，L，100）．
（2007理）
20•（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.
如果有穷数列印，a?
a3,L,a.（n为正整数）满足条件a1a.,a?
a.1，…，a.a1，即aia*i1
（i1,2丄，n）,我们称其为“对称数列”•例如，由组合数组成的数列cm,Cm,L,cm就是“对称数列”.
（1）bn是项数为7的“对称数列”，其中b,b2,b3,b4是等差数列，且b12,11.依次写出bn每一项；
（2）设Cn是项数为2k1（正整数k1）的“对称数列”，其中Ck，Ck1，L，C2k1是首项为50，公差为4的等差数列•记Cn各项的和为S2k1•当k为何值时，S2k1取得最大值？
并求出S2k1的最大值；
（3）对于确定的正整数m1，写出所有项数不超过2m的“对称数列”，使得1,2,22,L,2m1依次是该数列中连
续的项；当m1500时，求其中一个“对称数列”前2008项的和S2008•
2007文）
21•（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分.
2
我们把由半椭圆务
a
222
1（x>0）与半椭圆爲笃bbe
1（xw0）合成的曲线称作“果圆”，其中
a2b2
如图，设点F0,F1,
F2是相应椭圆的焦点，A,A2和B1,
B2是“果圆”与x,y轴的交点，M是线段
A1A2的中点.
（1）若△F0RF2是边长为
1的等边三角形，求该“果圆”的方程;
22
（2）设P是“果圆”的半椭圆爲笃
bc
1（x<0）上任意一点.
求证：
当PM取得最小值时，P在点B1,
B2或A处;
（3）若P是“果圆”上任意一点，求
PM取得最小值时点
P的横坐标.
（2007理）
21.
（本题满分18分）本题共有
3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分
6分，第3小题满分8分.
我们把由半椭圆
22
xy
2,2
ab
22
1（x>0）与半椭圆応笃1（xw0）bc
合成的曲线称作“果圆”，其中
a2
b2c2,a
如图，点F0,
F1,F2是相应椭圆的焦点，A,A和B!
B2分别是“
（1）
若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程;
当AA2
K
b,b2时，求-的取值范围;
a
连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦.试研究:
是否存在实数k,使斜率为k的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个
椭圆上？
若存在，求出所有可能的k值；若不存在，说明理由.
（2007春）
17.（本题满分14分）
求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问
求所有侧面面积之和的最小值”
试给出问题“在平面直角坐标系xOy中，求点P（2,1）到直线3x4y0的距离•”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题
（2007春）
21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分•
我们在下面的表格内填写数值：
先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列an依次
填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格.
第1列
第2列
第3列
第n列
第1行
1
1
1
1
第2行
q
第3行
q2
第n行
n1
q
（1）设第2行的数依次为B1,B2丄，Bn，试用n,q表示BB2LBn的值；
（2）设第3列的数依次为C1,C2,C3丄，Cn，求证：
对于任意非零实数q，C1C32C2；
（3）请在以下两个问题中选择一个进行研究（只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）.
①能否找到q的值，使得
（2）中的数列C1,C2,C3丄，Cn的前m项g,C2,L,Cm（m3）成为等比数列?
若能找到，m的值有多少个？
若不能找到，说明理由.
②能否找到q的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列?
并说明理由
（2006文）
22（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分
已知函数yxa有如下性质：
如果常数a0,那么该函数在0八5上是减函数，在,a,上是增函数
x
2b
（1）如果函数yx（x0）在0,4上是减函数，在4,上是增函数，求b的值
x
（2）设常数c1,4，求函数f（x）x—（1x2）的最大值和最小值；
x
c
（3）当n是正整数时，研究函数g（x）xnn（c0）的单调性，并说明理由
x
（2006理）
22（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）
已知函数y=x+a有如下性质：
如果常数a>0,那么该函数在（0,、a］上是减函数，在［-、a,+^）
x
上是增函数
2b
（1）如果函数y=x+（x>0）的值域为［6,+^），求b的值；
x
2C
（2）研究函数y=x2+2（常数c>0）在定义域内的单调性，并说明理由；
x
（3）对函数y=x+-和y=x2+弓（常数a>0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例
xx
11
研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F（x）=（x2-）n+（4x）n
xx
1
（n是正整数）在区间［—,2］上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）
2
（2006春）
22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分•第3小题满分6分•
已知数列，其中是首项为1,公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）
（1）若，求；
（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；
（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列.提出同
（2）
类似的问题（
（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
（2005）
22、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分。
f（x）g（x）,当xDf且xDg
对定义域是Df、Dg的函数yf（x）、yg（x），规定：
函数h（x）f（x）,当xDf且xDg1
（1）若函数f（x）,g（x）x2，写出函数h（x）的解析式；
x1
（2）求问题
（1）中函数h（x）的值域；
（3）若g（x）f（x），其中是常数，且0,，请设计一个定义域为R的函数yf（x），及一
个的值，使得h（x）cos4x，并予以证明。
（2005春）
22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分•第3小题满分5分.
（1）求右焦点坐标是（2,0），且经过点（2,.、2）的椭圆的标准方程；
22
（2）已知椭圆C的方程是冷与1（ab0）.设斜率为k的直线丨，
ab
交椭圆C于A、B两点，AB的中点为M•证明：
当直线丨平行移动时,
动点M在一条过原点的定直线上；
（3）利用
（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标
出椭圆的中心
（2004）
21.（本题满分16分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分
如图,P—ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PAPBPC上的点，截面DEF//底面ABC,且棱台DEF-ABC与棱锥P—ABC的棱长和相等•（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）
（1）证明：
P—ABC为正四面体；
1
（2）若PD^PA，求二面角D—BC-A的大小；（结果用反三角函数值表示）
2
（3）设棱台DEF-ABC的体积为V,是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和？
若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由.
（2004春）
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分如图，点P为斜三棱柱ABC的侧棱BB1上一点，
PMBB1交AA1于点M,PNBB1交CC1于点N.
（1）求证：
CC1MN;
（2）在任意DEF中有余弦定理：
DE2DF2EF22DFEFcosDFE.拓展到空间，类比余弦定理，
写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明
（2004春）
22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知倾斜角为45的直线l过点A（1,2）和点B，B在第一象限，|AB|2.
（1）求点B的坐标；
x22
⑵若直线l与双曲线C：
py21（a0）相交于E、F两点，且线段EF的中点坐标为（4,1），求a的值;
a
⑶对于平面上任一点P，当点Q在线段AB上运动时，称|PQ|的最小值为P与线段AB的距离.已知点P在x轴上运动，写出点P（t,0）到线段AB的距离h关于t的函数关系式.
（2003文）
22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分.
已知数列｛an｝（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列.
（1）求和：
aQ；a2C；&3需2氏a2C3asC：
aqC；.
（2）由
（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明.
（3）设q工1,S是等比数列｛an｝的前n项和，求：
SC：
SqC：
S3C；S4C：
L
（1）n&
（2003理）
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分.已知数列{an}（n为正整数）是首项是ai，公比为q的等比数列.
①求和：
aQ?
a?
C2玄3。
2七心彳a?
C3玄3。
3a4C3;
②由
（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明.
（2003理）
已知集合
M是满足下列性质的函数
f（x）的全体：
存在非零常数
T，对任意x
R,
有f（xT）Tf（x）成立
（1）
函数f（x）
x是否属于集合M?
说明理由；
（2）
设函数f（x）
x/
a（a
0且a1）的图像与yx
的图像有公共点，
证明:
f（x）axM；
（3）
若函数f（x）
sinkx
M，求实数k的取值范围.
（2003春）
（2003春）
（2002文）
x（x1）L（xm°，其中xR,m是正整数，且c0m!
且mn）的一种推广。
3C：
（1）求C15的值。
（2）设:
>0,当:
为何值时，一r取得最小值？
（C：
）2
（3）组合数的两个性质：
①cmcnm:
②cnmcm1cm
是否都能推广到cm（:
R，m是正整数）的情形？
若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能,则说明理由。
（2002理）
是正整数，且men）的一种推广
（1）求c315的值;
（2）组合数的两个性质：
①cm=cn:
②ocm+cn1,是否都能推广到c（：
r,
m是正整数）的情形？
若能推广，请写出推广的形式，并给出证明；若不能，请说
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