误差初步理论.docx

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误差初步理论

误差初步理论

（1）

（选自《资料分析模块宝典》五版）

在我们后面将要介绍的“十大速算技巧”里，我们可以粗略的分成两类：

一类称为“无偏速算”，包括直除法、放缩法、化同法、插值法、差分法、综合法六种方法，这样的方法带我们得到的结果是无偏的、确定的；另一类称为“有偏速算”，包括估算法、截位法、凑整法这三种方法，这样的方法往往都是以“截位”为基本操作方式，计算的结果往往是有偏差、非确定的。

事实上，不管是哪种“无偏速算”，我们都经常需要通过“截位”来简化计算，于是也会存在误差。

因此，计算误差在资料分析的速算里是普遍存在的，那么对速算方法中存在的误差进行有效的分析和利用，就是我们学习的重要内容。

1.        这样近似的结果可靠吗？

结果是变大还是变小了？

误差有多大？

2.        在什么情形下可以这样近似？

又在什么情形下，这样近似会得到错误的答案？

3.        还有没有其它方法，可以使计算量变得更小，但又不要影响最后的答案？

4.        还有没有其它方法，在不增加计算量的前提下，可以得到更高的精度？

带着这样四个问题，我们先学习什么叫“相对误差率”

一、绝对误差与相对误差率

如果真实值为10，经过估算得到的结果为11，那么这个结果是有误差的。

通过计算“11-10=1”可知：

我们估算结果的误差为“1”，我们把这样的误差称为“绝对误差”，即估算值与真实值的差。

然而，“绝对误差”在误差理论当中并不是最重要的概念，我们更加需要分析的是估算值与真实值之间的相对差异，我们把“绝对误差÷真实值”称为估算的“相对误差率”，也常常简称为“相对误差”，这是我们误差理论当中最重要的概念，也是我们研究和学习的重点。

譬如将“10”估算为“11”的相对误差即为：

（11-10）÷10=10%。

在资料分析的速算中，我们一定要分清“绝对误差”和“相对误差（率）”的区别和联系，这是速算方法精度估计的重要基础。

譬如将“8%”估算为“9%”，绝对误差应该为“1%”，而相对误差不是“1%”，而是“1%÷8%=12.5%”。

正因如此，如果两个选项分别为“9%”和“8%”，那么在计算当中出现“1%左右”的相对误差并不会太影响最后的结果。

我们在速算当中务必遵循以下两条最基本的原则：

1.        加减运算，考虑“绝对误差”；

2.        乘除运算，考虑“相对误差”。

二、加减运算中的误差控制

加减运算和“绝对误差”并不是我们误差理论的重点，因为考生一般已经具备在加减运算当中运用“绝对误差”分析和控制的能力。

我们仅仅举两个简单的例子即可。

［例1］2009年1-8月，某地区对外出口额分别为9951.23、6776.89、3119.86、4250.48、9137.21、7417.93、7300.68、2678.17万美元。

请问该地区2009年前八个月对外出口总额为多少亿美元？

A.4.76                        B.5.06                         C.5.36                         D.5.66

［答案］B

［解析］选项间的“绝对差异”为：

0.3亿美元=3000万美元，那么我们将八个数字相加的时候，每个数字取到“百万”量级，就不会影响最后结果的判定，我们以“百万”为单位对这八个数字进行“截位”相加（运用“四舍五入”）：

100+68+31+43+91+74+73+27=507（百万美元），结合选项，选择B

［注释］通过上面的分析我们知道，在多个数字进行的加减运算中，如果各个数字近似产生的误差要比选项间的差距小一个量级，这样近似得到的值一般不会影响最后结果的判定。

［例2］2008年，某地区国内生产总值和第二产业产值分别为673、384亿元；2009年，该地区国内生产总值和第二产业产值分别达到803、427亿元。

请问该地区第二产业产值在GDP当中的比重下降了几个百分点？

A.3.08               B.3.48                  C.3.88           D.4.28

［答案］C

三、乘除运算中的误差分析

前面我们提到过，“乘除运算”当中我们应该考虑“相对误差”，而这是我们误差分析最为重要的内容。

那么，如果相乘或者相除的两个数分别发生一定程度的近似，它们的乘积或者商又会发生什么样的变化呢？

我们首先先给出两个重要的结论：

1.             两个数相乘，那么这两个数的相对误差之和，近似为总体的相对误差；

2.             两个数相除，那么这两个数的相对误差之差，近似为总体的相对误差。

我们先举两个相乘的例子：

注：

上面分析的所有误差指的都是“相对误差”，因为只有“相对误差”才能在乘除运算当中保持近似的加减关系。

四、近似误差与选项差异

通过上面的分析我们知道，近似的计算会产生一定的误差，那么这种误差会不会对最后结果的判定产生影响呢？

这就取决于近似误差（“近似误差”指的是数字近似后产生的相对误差，在与“选项差异”进行大小比较时，指其绝对值）与选项差异之间的相对关系了，通俗的讲就是：

选项差别大，估算可大胆；选项差别小，估算需谨慎。

但我们需要的不仅仅是这样一句定性的描述，我们更加需要的是定量的结论。

首先，我们对两个数字之间的“相对差异”进行一个定义：

我们以两个数字当中较大的数字为真实值，较小的数字为估算值，这样计算得到的“相对误差”的绝对值，我们称之为这两个数字之间的“相对差异”。

譬如“4”和“5”，我们以5为真实值，以4为估算值，得到的“相对误差”为“-20%”，那么我们就说“4和5之间的相对差异为20%”。

再譬如说，9和12之间的相对差异为25%，15和18之间的相对差异为16.7%等等。

然后，我们对“选项差异”进行一个定义：

所谓“选项差异”，是指四个选项中任意两个数值之间的“相对差异”的最小值。

具体操作时，我们仅需要考虑相邻数字之间（是指大小相邻，非而位置相邻）的相对差异即可。

我们看下面这样的选项设置：

A.20         B.24              C.28              D.32

我们考虑相邻数字之间的相对差异：

20与24之间的相对差异为16.7%，24与28之间的相对差异为14.3%，28与32之间的相对差异为12.5%。

那么，这样设置下的“选项差异”就是12.5%。

事实上，我们对选项差异的计算也只需要得到一个大致的值，并不一定需要计算得非常的精确。

当我们知道了“选项差异”之后，我们就可以在近似计算中控制近似误差，使其不至于影响最后结果的判定。

下面我们再来看一个例子：

［例3］706.38÷24.75=？

A.20.5        B.24.5      C.28.5     D.32.5

［答案］C

［解析］我们大致估算，“选项差异”高于10%，那么在近似计算中产生1%左右（或以下）的误差不会影响到最后结果的判定：

706.38÷24.75≈700÷25=28

由“706.38”近似到“700”减小了1%左右，由“24.75”近似到“25”增加了1%左右，这样的近似不会影响到最后结果的判定，因为“选项差异”在10%以上。

因此，我们选择离28最近的数字“28.5”，选择C。

通过上面的分析我们知道，近似估算若要不影响最后结果的判定，“近似误差”必须比“选项差异”要小，但具体要小到什么程度呢？

我们大概给出下面这样的参考：

选项差异÷近似误差

4倍以下

4~9倍

9~50倍

50倍以上

估算建议

不建议使用

注意控制误差

选择近似值

忽略误差

我们进行的乘除计算，一般是2~3个数字的计算，当“选项差异”不到“近似误差”的4倍时，多个数字的“近似误差”就很可能影响到最后结果的判定，这时候我们不建议使用这种精度的估算。

当“选项差异”为“近似误差”的4~9倍时，我们一般会进行“有向误差分析”或者“误差抵消”以提高精度，后面我们将有专题进行讨论。

当“选项差异”为“近似误差”的9~50倍时，选择离估算结果最近的值即可，正因如此，我们一般推荐大家将“近似误差”控制在选项差异的1/10左右（或以下），更高的精度计算一般是没有必要的。

当“近似误差”不到“选项差异”的“1/50”时，我们得到的结果完全可以直接代表最终正确的答案。

［例4］38716÷84397=？

A.35.37%             B.40.74%             C.45.87%            D.49.34%

［答案］C

［解析］初步估算，选项差异在在10%左右，我们可以对原数字进行1%左右（或以下）的近似：

38716÷84397≈39000÷84000≈46%，选择最接近的值，即C。

［例5］9.503×5.837=？

A.50.44                B.55.47                C.59.98                D.60.28

［答案］B

［解析］C和D之间的相对差异很小，但我们知道：

9.503×5.837<10×6=60，所以D选项可以直接排除不予考虑。

而A、B、C之间的“选项差异”在7%以上，那么我们可以对原数字进行0.7%左右（或以下）的近似：

9.503×5.837≈9.5×5.8=55.1，选择最接近的值，即B。

［例6］6405÷79934=？

A.4%                   B.6%                   C.8%                   D.10%

［答案］C

［解析］6405÷79934≈6400÷80000=8%。

“选项差异”为20%，近似误差低于1‰，因此误差可以直接忽略，估算得到的值即可代表最终的真实值。

学到这里，我们把思路理清楚一下：

我们在进行近似估算之前，先分析“选项差异”，然后在近似中将“近似误差”控制在“选项差异”的“1/10”左右（或以下），然后选择与计算结果最接近的选项即可。

这样一来，似乎所有的近似估算都变得特别简单，然而，如果有一个问题没有解决的话，我们的计算仍然没有得到实质的简化，那就是：

如何快速判断近似估算的“近似误差”（譬如说将5.837近似为5.8，“近似误差”到底是多少？

），这个问题不解决，误差分析无从谈起；这个问题掌握后，不仅“近似误差”的问题解决了，“选项差异”的估算也同时得到解决，因为两者本质是相同的。

五、近似误差的估算

在学“近似误差”的估算之前，我们先强调两个重要的问题：

1.        我们对“近似误差”的分析只需要也只能进行“估算”，精算是没有必要也是不可行的，实际操作中我们只需要给出一个大概的值即可；

2.        “近似误差”一般分成两档：

“1-10%”与“1-10‰”，明显低于1‰很多的一般可以忽略，明显高于10%很多的情形在近似中一般也很难见到。

我们一般运用“左移两位百分法”估算“1-10%”左右的“近似误差”。

譬如，当我们判断将“42.83”近似为“42”时产生了多大的“近似误差”时，先将绝对误差（不考虑正负号）“0.83”左移两位变为“83.00”，再与原数“42.83”进行比较，大概是2倍的关系，那么这个近似的近似误差应该大约就是“-2%”。

如下图所示：

通过上面六个例子的讲述，相信大家已经掌握了“近似误差”估算的要领。

与此同时，“选项差异”的估算也是通过同样的方法进行估算的，只是在具体操作的时候有这样两点特别之处：

1.        “选项差异”关于“绝对误差”的计算可能较为复杂，我们一般截取前1~2位计算即可；

2.        “选项差异