第六章 代数系统.docx

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第六章代数系统

第六章代数系统

1.填空题：

f是X上的n元运算的定义是（）。

2。

判断正误，并说明原因：

自然数集合N上的减法运算“－”是个封闭的运算。

3.判断正误,并说明原因：

实数集合R上的除法运算“÷”是个封闭的运算。

4.填空题：

代数系统的定义是:

（）。

5。

填空题：

*是X上的二元运算，*具有交换性,则它的运算表的特征是（）。

6.填空题：

＊是X上的二元运算，*具有幂等性，则它的运算表的特征是（）。

7。

简答题：

*是X上的二元运算，＊具有幺元，如何在它的运算表上判定哪个元素是幺元？

8.简答题：

＊是X上的二元运算，＊具有零元，如何在它的运算表上判定哪个元素是零元？

9.简答题：

*是X上的二元运算,*具有幺元,如何判定哪个元素是元素x的逆元？

10令N4=｛0,1，2,3},N4上定义运算+4：

任何x,y∈N4,x+4y=（x+y）（mod4）。

例如2+43=（2+3）（mod4）=5（mod4）＝1

请列出

如果有上述这些元素，请指出这些元素都是什么.

11。

判断正误，并说明原因：

对于整集合I上的减法运算“－”来说，0是幺元.

12.填空题：

E是全集,E=｛a,b}，E的幂集P（E）上的交运算⋂的幺元是（）。

零元是（）.有逆元的元素是（），它们的逆元分别是（）。

13.填空题：

E是全集,E={a，b}，E的幂集P（E）上的并运算⋃的幺元是（）。

零元是（）。

有逆元的元素是（），它们的逆元分别是（）.

14.填空题：

E是全集，E=｛a,b}，E的幂集P（E）上的对称差运算⊕的幺元是（）。

零元是（）。

有逆元的元素是（）.它们的逆元分别是（）。

15。

填空题：

对于自然数集合N上的加法运算“＋”，13＝（）。

16。

填空题：

你所知道的满足吸收律的运算有（）。

17.填空题：

你所知道的具有零元的运算有（），其零元是（）。

18。

设★是X上的二元运算,如果有左幺元eL∈X，也有右幺元eR∈X，则eL=eR=e，且幺元e是唯一的.

19。

设★是X上的二元运算，如果有左零元θL∈X，也有右零元θR∈X，则θL=θR=θ,且零元θ是唯一的。

20。

设★是X上有幺元e且可结合的二元运算,如果x∈X，x的左、右逆元都存在，则x的左、右逆元必相等。

且x的逆元是唯一的.

21.设★是X上且可结合的二元运算，如a∈X，且a—1∈X，则a是可消去的，即

任取x,y∈X，设有a★x=a★y则x=y。

22.对于实数集合R，给出运算如下：

＋是加法、—是减法、∙是乘法、max是两个数中取最大的、min是两个数中取最小的、｜x-y|是x与y差的绝对值。

判断这些运算是否满足表中所列的性质。

如果满足就写“Y”,否则写“N”.

＋

－

∙

max

min

｜x—y|

可结合性

可交换性

存在幺元

存在零元

23.设R是实数集合，在R上定义二元运算*如下:

任取x，y∈R，

x＊y=xy－2x－2y＋6

1．验证运算＊是否满足交换律和结合律。

2．求运算*是否有幺元和零元,如果有请求出幺元和零元。

3．对任何实数x，是否有逆元？

如果有,求它的逆元，如果没有，说明原因。

24.设★是X上有幺元e且可结合的二元运算，求证如果”x∈X，都存在左逆元，则x的左逆元也是它的右逆元。

25。

.给定下面4个运算表如下所示。

分别判断这些运算的性质，并用“Y”表示“有”，用“N”表示“无”填下面表.如果运算有幂等元、有幺元、有零元、有可逆元素，要指出这些元素是什么.

交换性

幂等元

幂等性

有幺元

有零元

有可逆元素

a）

b）

c）

d）

26。

分别说明什么叫做两个代数系统同态、满同态、单一同态、同构、自同构？

27。

什么叫做同态核？

28.请举同构的两个代数系统的例子，并说明它们同构的理由。

29.给出集合A＝｛0,1，2，3}和A上的二元运算“＊”.集合B＝｛S，R,A,L}和B上的二元运算“”。

它们的运算表如下面所示。

验证同构。

30令S=｛〈X，＊>|X是集合,*是X上的二元运算},即S是所有含有一个二元运算的代数系统构成的集合.≅是S中的代数系统间的同构关系。

求证，≅是S中的等价关系。

31.令A={0，1，2,3,4,…｝,B=｛1,2,4，8，16,…},+表示加法,*表示乘法，问〈A,+〉和〈B,＊〉是否同构？

为什么？

32已知代数系统和〈P,·〉，其中S={a,b,c｝P={1,2,3｝二元运算表如下所示：

试证明它们同构。

33给定两个代数系统，〈R+,×〉：

R+是正实数，×是R+上的乘法运算；：

R是实数集合，＋是R上的加法运算。

它们是否同构？

对你的回答给予证明或者举反例说明之。

34。

已知代数系统

并设f：

X→Y是同构映射,请证明如果运算★可结合，则运算ο也可结合.

35.已知代数系统同构,即X≅Y。

并设f：

X→Y是同构映射,请证明如果运算★可交换，则运算ο也可交换。

36.已知代数系统

并设f：

X→Y是同构映射,请证明如果运算★有幺元e★，则运算ο也有幺元eο，且f（e★）=eο。

37。

已知代数系统〈X，★>与同构,即X≅Y。

并设f：

X→Y是同构映射，请证明如果运算★有零元θ★，则运算ο也有零元θο，且f（θ★）=θο。

38已知代数系统〈X，★〉与〈Y,ο>同构,即X＠Y。

并设f：

X→Y是同构映射，请证明如果〈X,★>中每个x∈X可逆，即x—1∈X,则〈Y,ο〉中每个y∈Y也可逆，即y—1∈Y.且如果y=f（x），则y-1=（f（x））-1=f（x—1）。

（x映像的逆元=x逆元的映像）

39集合A上两个同余关系R、S，证明R∩S也是同余关系。

40.考察代数系统〈I,+>,定义I上如下关系R是同余关系？

a）。

〈x，y>∈R当且仅当（x〈0∧y〈0）∨（x≥0∧y≥0）

b）。

∈R当且仅当｜x—y|<10

c）.〈x,y〉∈R当且仅当（x=y=0）∨（x≠0∧y≠0）

d）。

〈x,y〉∈R当且仅当x≥y

41。

填空：

★是A上二元运算，代数是半群,当且仅当（）.

42.填空：

★是A上二元运算,代数是独异点，当且仅当（）.

43列举出5个你所熟悉的是半群的例子。

44。

列举出5个你所熟悉的是独异点的例子.

45列举出1个你所熟悉的是半群但不是独异点的例子。

46.给定代数系统〈R,★〉，★是实数R上二元运算，定义为：

”a,b∈R,

a★b=a+b+a·b

求证是独异点。

47。

〈A，★>是个半群，”a，b∈A，若a≠b则a★b≠b★a，试证：

a）∀a∈A，有a★a=a

b）∀a,b∈A，a★b★a=a

c）∀a,b,c∈A，a★b★c=a★c

48.设〈S，*>是个半群，且左右消去律都成立，证明S是交换半群的充要条件是对任何

a，b∈S，有（a＊b）2=a2＊b2

49。

设〈S，★>是半群，如果S是有限集合，则必存在a∈S，使得a★a=a。

50。

设A是有理数集合，在笛卡尔积A×A上，定义二元运算△如下:

任取=

⨯是乘法.+是加法.

求证〈A×A,△>是独异点。

51。

。

设是交换独异点，A是M中所有幂等元构成的集合,证明是的子独异点.

52。

令I:

是整数集合；N：

自然数集合，R：

实数集合.＋是加法运算，×是乘法运算.给定代数系统，,，〈N，×>，，〈P（E），⋃〉，.请问哪些代数系统不是群?

只要说明一条理由即可。

又问哪些代数系统是群？

并说明理由。

53.X=R－｛0，1}，X上定义六个函数，如下所示：

∀x∈X,

f1（x）=xf2（x）=x—1f3（x）=1—x

f4（x）=（1—x）-1f5（x）=（x—1）x—1f6（x）=x（x—1）-1

令F=｛f1，f2,f3，f4，f5,f6}，ο是F上的复合运算,试证明〈F，ο>是群。

54.令R是实数，F=｛f|f（x）=ax+b，a,b,x∈R，a≠o}，ο是F上的函数左复合运算,试证明

55。

设是半群，e是左幺元，且对每个x∈A，＄x’∈A，使得x’★x=e,

a）证明，∀a,b,c∈A，若a★b=a★c，则b=c.

b）证明〈A，★>是群。

56.。

设〈A,*〉是群,且｜A｜=2n，n是正整数，证明A中至少存在一个元素a，使得a＊a=e。

57.填空：

令〈G,*>是群，其中G={a,b，c｝，设a是幺元，则b2=（）,b＊c=（）,b和c的阶分别是（）和（）。

58。

A是非空的有限集合，且｜A｜＝n。

令

F＝{f|f是A→A的双射函数｝

1．求|F｜等于多少？

2．令＊是函数的左复合运算.问〈F，*〉是群吗？

如果是,给予证明。

如果不是，要说明理由。

59。

设〈G,＊〉是4阶群，其中G＝{a，b,c,d},已知a是幺元，b与c互为逆元。

首先计算c*d（要有计算过程）,再分别求元素b与d的阶.

60。

设是4阶群,其中G＝{a，b，c,d｝,已知a是幺元，且所有元素的逆元都是它自身。

求满足方程式b*x=c＊d中的x。

61.判断下列各命题的真值，并说明理由。

1．是个n阶群，则对于任何a，b∈G,有（a*b）-n=（b*a）n。

2．设f是群到群

62。

设〈G,★>是个群,证明G中除幺元外，无其它幂等元。

63。

设是个群,则对任何a，b∈G，证明存在唯一元素x∈G，使得a★x=b。

64.

65。

〈G，★〉是个有限群，证明G中每个元素在★运算表中的每一行必出现且仅出现一次。

66。

填空:

67.什么叫做群的阶?

68。

什么叫做群中运算的阶？

69指出整数集合加法群〈I,+>中，各个元素的阶是什么？

为什么?

70。

〈G，★〉是群,a∈G,如果a的阶为n，证明ak=e，当且仅当k=mn（m∈I）（即k是n的整数倍）

71。

证明群中的元素与其逆元具有相同的阶。

72.设是有限群，任何a∈G,证明a的阶都是有限的。

73。

设

G→G是映射,

对”x∈G,f（x）=a★x★a—1求证f是G到G的自同构。

74.设〈G,＊>是个群,而a∈G，如果f是从G到G的映射，使得对任何x∈G,都有

f（x）=a—1＊x*a

试证明f是从G到G的自同构。

75。

设都是群，在A与B的笛卡尔积A×B上，定义二元运算△如下：

任取〈a1，b1>,〈a2,b2>∈A×B△〈a2，b2〉=

求证〈A×B,△>也是群.

76。

设与都是群,在A与B的笛卡尔积A×B上，定义二元运算△如下：

任取〈a1,b1〉,=

已知〈A×B,△〉也是群.定义映射f：

A×B→A，对任意〈a,b>∈A×B,

f（

求证f是〈A×B,△〉到的同态映射，并求出f的同态核。

77。

令G＝{2m3n｜m,n∈Q，Q是有理数｝，“•”是G中乘法运算.

1．证明是个群。

2．给定映射f:

G→G,f定义为f:

2m3n→2m,证明f是G到G的同态映射；并求出f的同态核.

78。

给出两个群〈G，★〉和〈S，ο〉的运算表如下:

证明它们同构。

79。

判断下面命题的真值。

并简单说明原因.

1．R为实数集合，×为乘法运算,则

2．设〈G，*>是n阶群，则对任何a，b∈G，有a—n=bn。

3．设

80。

〈G，★〉是交换群，当且仅当对任何a，b∈G有

（a★b）★（a★b）=（a★a）★（b★b）（即（a★b）2=a2★b2）

81.令G={km｜k∈Z}，m是某个确定的自然数，Z是整数集合，＋是加法运算。

证明

82.设I是整数集合，在I上定义二元运算*如下：

对于任何a，b∈Ia*b=a＋b－2

求证

83.已知〈G,*>是交换群，a∈G，在G上又定义一个二元运算“∙”如下：

对于任何x,y∈G,x∙y=x＊a-1＊y（其中a—1是a对于＊运算的逆元）

求证

84.令G是所有非0实数构成的集合，在G上定义二元运算*如下:

任何a,b∈G，a*b

.求证〈G，*>是个交换群。

85。

设I是整数集合，在I上定义二元运算＊如下：

对于任何a，b∈Ia*b=a＋b－4

求证〈I,*〉是个交换群。

86设是群，”x∈G,有x★x=e,证明〈G，★〉是交换群。

87.证明任何阶数为1，2，3，4的群都是交换群，并举一个6阶群，它不是交换群.

88.给定集合Ｇ＝{x｜x是有理数且x≠－1}，在Ｇ上定义二元运算*如下：

对任何a，b∈Ｇ，a＊b=a+b+ab。

求证<Ｇ，*>是交换群。

89。

设是群,”a,b∈G,有a3★b3=（a★b）3，a4★b4=（a★b）4,a5★b5=（a★b）5,证明是交换群.

90。

什么叫做循环群?

什么叫做循环群的生成元？

什么叫做循环群的循环周期？

91.证明循环群都是交换群.

92。

给定群

〈N4，+4〉是循环群吗？

为什么?

如果是循环群请指出它的循环周期。

93.给定群〈I,+>，它是循环群吗？

为什么？

如果是循环群请指出它的循环周期.

94。

填空：

设〈G,★>是个以g为生成元的有限循环群，|G|=n,则G=（）。

95。

令I是整数集合，在I上定义二元运算*如下：

对于I中任何a元素,

a*b=a＋b－2

求证〈I，*>是个循环群

96。

设I是整数集合,在I上定义二元运算*如下：

对于任何a，b∈Ia*b=a－1＋b

求证〈I,*〉是个循环群。

97。

设G={1,2，3,4，5，6｝,×7是7为模的乘法运算，即

x，y∈G，x×7y=（xy）（mod7），例如4×75＝20（mod7）=6

是循环群吗？

如是，指出生成元。

98.循环群的任何子群都是循环群。

99.填空题：

设是以g为生成元的n阶循环群,则元素g的阶为（）。

100判断题下面命题的真值：

循环群的生成元也是其任何子群的生成元。

101。

什么叫做子群？

102名词解释：

平凡子群与真子群

103。

设〈G，★〉是群，B是G的有限子集，如果★在B上满足封闭性,则〈B，★〉是〈G，★>的子群。

104.填空:

设的子群，a∈G，定义集合：

aH=（）

则称aH为a确定的H在G中的左（右）陪集.

105设H3={0,2，4｝,是以6为模的加法运算。

验证〈H3，+6>是

106。

设N6={0，1，2,3,4,5｝，＋6是N6上以6为模的加法运算.即

任何x，y∈N6,x＋6y=（x+y）（mod6），例如4＋65＝9（mod6）=3

1．画出的运算表。

2．

为什么？

3．如果是群，它有几个子群?

分别列出子群的运算表。

107。

设是群。

∀a∈G，令H=｛y|y★a=a★y，y∈G}

求证，是〈G，★>的子群。

108.设

对于任何a,b，c∈G,

如果有

又定义集合H为

H＝｛x｜x∈G,且〈x,e〉∈R，e是G中幺元｝

求证〈H,*>是〈G,*〉的子群.

109。

设〈H,★〉是

A=｛x｜x∈G,x★H★x—1=H}

求证的子群.

110p是个质数，证明pm阶群中必包含着一个p阶子群.

111.证明25阶群必含有5阶子群。

112.p是个素数，

为什么?

113〈H，*>是群〈G,＊〉的子群,任取a，b∈G，则aH=bH的充分且必要条件是（）

114。

设

试问A、B以及G三者有什么关系？

为什么？

115

R=｛

116设〈G,＊〉是个群，和

任意a,b∈G,aRb⇔存在h∈H,k∈K使得b=h*a*k

证明R是G上等价关系。

117.设〈H,*〉是群〈G,*〉的子群，R是G上关系,定义如下：

aRb当且仅当a-1*b∈H,a,b∈G

1．求证R是G上等价关系.

2．e是G中幺元，由e确定的相对R的等价类［e］，求证[e]=H。

118。

设f和g都是群〈G1,★〉到〈G2，ο>的同态，证明是的一个子群，其中

C=｛x｜x∈G1且f（x）=g（x）｝

119.设f是从群〈G1,★〉到的同态映射,则f为入射,当且仅当Ker（f）={e1},其中e1是G1中的幺元。

120..G是个6阶群,证明G中一定有且只有一个3阶子群.

121设

122已知的子群,求证

123设是个群，〈H，＊>和〈K，＊〉是其子群,且已知｜H｜＝6，|K｜＝35，试求H⋂K。

并对你的回答说明原因。

124.设是群〈G，＊>的子群，且H⊂G，|G｜=15，则是交换群.此说法正确否？

为什么？

125。

填空:

设是个群,且已知|G｜＝n，如果元素a∈G，a的阶为m，则m与n的关系是（）

126.填空：

设f是从群到的同态映射，x1,x2∈X,且y1＝f（x1）,y2＝f（x2），

则f（（x1—1★x2）-1）=（）。

127。

设f是从群到〈Y,⊗〉的同态映射,K为f的同态核，即ker（f）=K。

求证，对任何X中元素x,y，如果x与y在K的同一个陪集中，则有f（x）=f（y）.

128.填空：

代数系统〈R，＊，∙〉是个环，当且仅当〈R，*〉是个（）,

129.填空：

代数系统〈R，*,∙〉是个交换环，当且仅当〈R,∙>是个（），

130.填空:

代数系统〈R，＊，∙〉是个含幺环,当且仅当〈R，＊〉是个（）,

131填空：

代数系统〈R，*，∙>是个整环,当且仅当〈R,∙〉是个（），

132填空：

代数系统

133填空：

代数系统〈F,＊，∙〉是个域,当且仅当〈F，*〉是（），是（）,并且还满足条件（）。

134。

令N是自然数集合,I是整数集合，R是实数集合,+和·分别是加法和乘法,中哪些不是环吗?

为什么？

如果是环，那些不是整环？

为什么？

哪些不是域？

为什么?

135。

判断,,〈P（E）,⊕,∩〉是否为环？

为什么？

136。

试证〈I，⊕,ο〉是有幺元的交换环，其中⊕和ο的

定义为：

对任何a,b∈I，

a⊕b=a+b—1aοb=a+b-ab

137..设〈A，+,∙〉是一个环，并且对于任何a∈A，有a∙a=a,证明

a）.对于任何a∈A，都有a+a=θ,其中θ是+的幺元.

b）.〈A，+,∙>是一个交换环。

138。

下面的说法是否正确?

说明理由

.设

1。

答案:

（f：

Xn→Y）。

2.答案：

错误。

举反例：

1－2＝-1，—1不是自然数。

所以不封闭。

3.答案:

错误。

0不能做除数。

例如1÷0没有定义，所以“÷”不是R上的运算.

4.答案：

代数系统定义：

X是非空集合，X上有m个运算f1,f2,f3，…，fm,则称为一个代数系统.

5.答案：

（它的运算表是个与主对角线为对称的表）

6.答案：

（运算表的主对角线上各个元素均与表头元素对应相同）

7.答案: