第六章 代数系统.docx

1、第六章 代数系统第六章 代数系统1. 填空题：f是X上的n元运算的定义是（ ）。2。 判断正误，并说明原因：自然数集合N上的减法运算“” 是个封闭的运算。3. 判断正误,并说明原因：实数集合R上的除法运算“” 是个封闭的运算。4.填空题：代数系统的定义是:( ）。5。 填空题：*是X上的二元运算，*具有交换性,则它的运算表的特征是( ）。6.填空题：是X上的二元运算，*具有幂等性，则它的运算表的特征是（ ）。7。 简答题：*是X上的二元运算，具有幺元，如何在它的运算表上判定哪个元素是幺元？8. 简答题：是X上的二元运算，具有零元，如何在它的运算表上判定哪个元素是零元？9. 简答题：*是X上的二

2、元运算,*具有幺元,如何判定哪个元素是元素x的逆元？10 令N4=0,1，2,3,N4上定义运算+4：任何x,yN4 , x+4 y=（x+y)(mod 4) 。 例如2+43=(2+3)（mod 4） =5（mod 4)1请列出N4, +4 的运算表.然后判断+4 运算是否有交换性、有幺元、有零元、各个元素是否有逆元？如果有上述这些元素，请指出这些元素都是什么.11。 判断正误，并说明原因：对于整集合I上的减法运算“”来说， 0是幺元.12. 填空题：E是全集,E=a,b，E的幂集P（E）上的交运算的幺元是( ）。零元是（ ）.有逆元的元素是( ），它们的逆元分别是（ )。13. 填空题：E

3、是全集,E=a，b，E的幂集P（E)上的并运算的幺元是（ ）。零元是( ）。有逆元的元素是（ )，它们的逆元分别是（ ）.14. 填空题：E是全集，E=a,b，E的幂集P（E)上的对称差运算的幺元是（ ）。零元是( )。有逆元的元素是( ）.它们的逆元分别是（ )。15。 填空题：对于自然数集合N上的加法运算“”，13（ ）。16。 填空题：你所知道的满足吸收律的运算有（ ）。17. 填空题：你所知道的具有零元的运算有( ），其零元是( ）。18。 设是X上的二元运算,如果有左幺元 eLX，也有右幺元 eRX，则 eL= eR =e ，且幺元 e 是唯一的.19。 设是X上的二元运算，如果有左

4、零元LX，也有右零元RX，则L=R =,且零元是唯一的。20。 设是X上有幺元e且可结合的二元运算,如果 xX，x的左、右逆元都存在，则x的左、右逆元必相等。且x的逆元是唯一的.21. 设是X上且可结合的二元运算，如aX，且a1X，则a是可消去的，即任取x,yX，设有ax=ay 则x=y。22. 对于实数集合R，给出运算如下：是加法、是减法、是乘法、max是两个数中取最大的、min是两个数中取最小的、x-y|是x与y差的绝对值。判断这些运算是否满足表中所列的性质。如果满足就写“Y”,否则写“N”.maxminxy|可结合性可交换性存在幺元存在零元23. 设R是实数集合，在R上定义二元运算* 如

5、下:任取x，yR，xy=xy2x2y61验证运算 是否满足交换律和结合律。2求运算*是否有幺元和零元,如果有请求出幺元和零元。3对任何实数x，是否有逆元？如果有,求它的逆元，如果没有，说明原因。24.设是X上有幺元e且可结合的二元运算，求证如果xX，都存在左逆元，则x的左逆元也是它的右逆元。25。 .给定下面4个运算表如下所示。分别判断这些运算的性质，并用“Y”表示“有”，用“N”表示“无”填下面表.如果运算有幂等元、有幺元、有零元、有可逆元素，要指出这些元素是什么.交换性幂等元幂等性有幺元有零元有可逆元素a）b)c）d)26。 分别说明什么叫做两个代数系统同态、满同态、单一同态、同构、自同构

6、？27。 什么叫做同态核？28.请举同构的两个代数系统的例子，并说明它们同构的理由。29. 给出集合A0,1，2，3和A上的二元运算“”.集合BS，R,A,L和B上的二元运算“ ”。 它们的运算表如下面所示。验证同构。30令S=X，|X是集合,*是X上的二元运算,即S是所有含有一个二元运算的代数系统构成的集合.是S中的代数系统间的同构关系。求证，是S中的等价关系。31. 令A=0，1，2,3,4,B=1,2,4，8，16,+表示加法,*表示乘法， 问A,+和B,是否同构？为什么？32 已知代数系统和P, ，其中S=a,b,c P=1,2,3 二元运算表如下所示：试证明它们同构。33给定两个代数

7、系统，R+ ,：R+是正实数，是R+上的乘法运算；： R是实数集合，是R上的加法运算。它们是否同构？对你的回答给予证明或者举反例说明之。34。 已知代数系统X，与Y， 同构，即 X Y。并设f：XY是同构映射, 请证明如果运算可结合，则运算也可结合.35. 已知代数系统同构,即 X Y。并设f：XY是同构映射, 请证明如果运算可交换，则运算也可交换。36. 已知代数系统X，与与同构,即 X Y。并设f：XY是同构映射， 请证明如果运算有零元 ，则运算也有零元 ，且f（)= 。38 已知代数系统X，与Y, 同构,即 X Y。并设f：XY是同构映射， 请证明如果X,中每个xX可逆，即x1X, 则Y

8、, 中每个yY也可逆，即y1Y. 且如果y=f（x） ，则 y-1= （f(x）-1 =f（x1)。（x映像的逆元=x逆元的映像)39集合A上两个同余关系R、S， 证明RS也是同余关系。40. 考察代数系统I,+,定义I上如下关系R是同余关系？a）。x，yR当且仅当（x0y0)（x0y0)b）。 R当且仅当xy|10c）. x,yR当且仅当（x=y=0）（x0y0）d）。 x,yR当且仅当xy41。 填空：是A上二元运算，代数是半群,当且仅当( ).42. 填空：是A上二元运算,代数是独异点，当且仅当( ）.43 列举出5个你所熟悉的是半群的例子。44。 列举出5个你所熟悉的是独异点的例子.4

9、5 列举出1个你所熟悉的是半群但不是独异点的例子。46. 给定代数系统R, ，是实数R上二元运算，定义为：a,bR,a b=a+b+ab求证 是独异点。47。 A，是个半群，a，bA，若ab则 abba，试证：a） aA，有aa=ab） a,bA， aba=ac） a,b,cA， abc=ac48. 设S， *是个半群，且左右消去律都成立，证明S是交换半群的充要条件是对任何a，bS，有 (ab)2=a2b249。 设S，是半群，如果S是有限集合，则必存在aS，使得aa=a。50。 设A是有理数集合，在笛卡尔积AA上，定义二元运算如下:任取a,b，c，dAA =是独异点。51。设是交换独异点，A

10、是M中所有幂等元构成的集合,证明是的子独异点.52。令I:是整数集合；N：自然数集合，R：实数集合.是加法运算，是乘法运算.给定代数系统，, ，N，R,， P(E)， ，.请问哪些代数系统不是群?只要说明一条理由即可。又问哪些代数系统是群？并说明理由。53. X=R0，1， X上定义六个函数，如下所示：xX,f1(x)=x f2（x）=x1 f3(x)=1x f4(x）=(1x） -1 f5（x)=(x1）x1 f6(x)=x（x1） -1令F=f1，f2, f3， f4， f5, f6， 是F上的复合运算,试证明F， 是群。54. 令R是实数，F=f| f（x）=ax+b，a,b,xR，ao

11、 ， 是F上的函数左复合运算,试证明F， 是群.55。 设是半群，e 是左幺元，且对每个xA， xA，使得xx=e, a) 证明， a,b,cA，若 ab=ac， 则 b=c.b) 证明A，是群。56. 。设A, *是群,且A=2n， n是正整数，证明A中至少存在一个元素a，使得aa=e。57. 填空：令G,*是群，其中G=a,b，c，设a是幺元，则b2=( ）,bc=( ),b和c的阶分别是（ ）和（ ) 。58。 A是非空的有限集合，且An 。 令Ff| f是AA的双射函数1求 |F 等于多少？2令 是函数的左复合运算.问F，*是群吗？如果是,给予证明。如果不是，要说明理由。59。 设G,

12、是4阶群，其中Ga，b,c,d,已知a是幺元，b与c互为逆元。首先计算c*d （要有计算过程）,再分别求元素b与d的阶.60。 设是4阶群,其中Ga，b，c,d,已知a是幺元，且所有元素的逆元都是它自身。求满足方程式b*x=cd 中的x 。61. 判断下列各命题的真值，并说明理由。1是个n阶群，则对于任何a，bG,有 （a*b）-n=(b*a)n。2设f是群到群是个群 ,证明G中除幺元外，无其它幂等元。63。 设是个群,则对任何a，bG， 证明存在唯一元素 xG， 使得 ax=b 。64. G,是个群，对任何a，bG，证明 (ab)-1=b-1a-1 。65。 G，是个有限群，证明G中每个元素

13、在运算表中的每一行必出现且仅出现一次。66。 填空:中，各个元素的阶是什么？为什么?70。 G，是群, aG, 如果a的阶为n ，证明ak=e， 当且仅当 k=mn (mI）（即k是n的整数倍)71。 证明群中的元素与其逆元具有相同的阶。72.设是有限群，任何aG,证明a的阶都是有限的。73。 设是个群,而aG，如果f是从G到G的映射，使得对任何xG, 都有f（x)=a1x*a试证明f是从G到G的自同构。75。 设A,与都是群，在A与B的笛卡尔积AB上，定义二元运算如下：任取a1，b1,a2,b2AB a2，b2=也是群.76。 设与都是群,在A与B的笛卡尔积AB上，定义二元运算如下：任取a1

14、,b1,a2，b2AB =AB,f(a,b)=a求证f是AB,到 的同态映射，并求出f的同态核。77。 令G2m3nm,nQ，Q是有理数，“”是G中乘法运算.1证明是个群。2给定映射f:G G,f定义为f:2m3n2m,证明f是G到G的同态映射；并求出f的同态核.78。 给出两个群G， 和S， 的运算表如下:证明它们同构。79。 判断下面命题的真值。并简单说明原因.1R为实数集合，为乘法运算,则是n阶群，则对任何a，bG，有an=bn。3设G，是群，且对G中任何元素的逆元都是它自身，则它是交换群。80。 G，是交换群，当且仅当 对任何a，bG 有 (ab）(ab）=(aa)（bb) （ 即（a

15、b）2=a2b2 )81.令G=kmkZ，m是某个确定的自然数，Z是整数集合，是加法运算。证明G,+ 是交换群。82. 设I是整数集合，在I上定义二元运算*如下：对于任何a，bI a*b=ab2 求证是交换群，aG，在G上又定义一个二元运算“”如下：对于任何x,yG,xy=xa-1y （其中a1是a对于运算的逆元)求证是个交换群。85。 设I是整数集合，在I上定义二元运算如下：对于任何a，bI a*b=ab4 求证I, *是个交换群。86 设是群，xG,有xx=e,证明G，是交换群 。 87. 证明任何阶数为1，2，3，4的群都是交换群，并举一个6阶群，它不是交换群.88. 给定集合xx是有理

16、数且x1，在上定义二元运算*如下：对任何a，b，ab=a + b + ab。求证是交换群。89。 设是群,a,bG,有a3b3=（ab） 3， a4b4=（ab） 4, a5b5=（ab） 5,证明是交换群 .90。 什么叫做循环群?什么叫做循环群的生成元？什么叫做循环群的循环周期？91.证明循环群都是交换群.92。给定群，它是循环群吗？为什么？如果是循环群请指出它的循环周期.94。填空：设G,是个以g为生成元的有限循环群，|G|=n,则G=( ）。95。 令I是整数集合，在I上定义二元运算*如下：对于I中任何a元素,a*b=ab2求证I， *是个循环群96。 设I是整数集合,在I上定义二元运

17、算*如下：对于任何a，bI a*b=a1b 求证I, *是个循环群。97。 设G=1,2，3,4，5，6, 7是7为模的乘法运算，即x，yG，x7y=（xy)（mod 7）， 例如47520（mod 7)=6是循环群吗？如是，指出生成元。98. 循环群的任何子群都是循环群。99. 填空题：设是以g为生成元的n阶循环群,则元素g的阶为（ ）。100 判断题下面命题的真值：循环群的生成元也是其任何子群的生成元。101。 什么叫做子群？102 名词解释：平凡子群与真子群103。设G，是群， B是G的有限子集，如果在B上满足封闭性,则B，是G，的子群。104.填空:设H,是群的子群，aG，定义集合：a

18、H=( )则称aH为a确定的H在G中的左(右）陪集.105设 H3=0,2，4,是以6为模的加法运算。验证H3， +6是N6， +6的子群.并分别求左陪集1H3和2H3。106。设N6=0，1，2,3,4,5，6是N6上以6为模的加法运算.即任何x，y N6,x6 y=（x+y）（mod 6)， 例如46 59（mod 6)=31画出的运算表。2 N6,6是否为群？为什么？3如果是群，它有几个子群?分别列出子群的运算表。107。 设是群。 aG， 令 H=y| ya=ay， yG 求证， 是G，的子群。108. 设G,*是个群, R是G中等价关系，定义为：对于任何a,b，cG,如果有是G,*的

19、子群.109。 设H,是G，的子群， 定义集合A如下：A=x xG, xHx1=H 求证的子群 . 110 p是个质数， 证明pm阶群中必包含着一个p阶子群.111.证明25阶群必含有5阶子群。112. p是个素数，是群G,的子群,任取a，bG，则aH=bH的充分且必要条件是( )114。 设G，是个群，且G|=11，任取a，bG，且a，b不是幺元，设a,b的阶分别是m和n, 令A=a1,a2,am,B=b1，b2，bn。试问A、B以及G三者有什么关系？为什么？115 G，是群,定义G上关系R如下;R= x，y zG，使得 y=zxz1 116设G,是个群，和的同态，证明是的一个子群，其中C=

20、x xG1且f(x）=g(x)119. 设f是从群G1,到的同态映射, 则f为入射,当且仅当Ker （f）=e1, 其中e1是G1中的幺元。120. .G是个6阶群,证明G中一定有且只有一个3阶子群.121 设G，是群， S是G的非空子集,如果任何a,bS 有ab-1S， 则S，是G，的子群。122已知H1,和H2, 是群 的子群,求证H1H2, 是H1，、H2，和G，的子群。123 设是个群，H，和K，是其子群,且已知H6，|K35，试求HK。并对你的回答说明原因。124. 设是群G，的子群，且HG，|G=15，则是交换群.此说法正确否？为什么？125。 填空: 设是个群,且已知|Gn，如果

21、元素aG，a的阶为m，则m与n的关系是（ )126. 填空：设f是从群到的同态映射， x1 ,x2X,且y1f（x1） ,y2f（x2)，则f(（x11 x2） -1） =( )。127。 设f是从群到Y,的同态映射,K为f的同态核，即ker（f)=K。求证，对任何X中元素x,y，如果x与y在K的同一个陪集中，则有f（x）=f（y）.128. 填空：代数系统R， 是个环，当且仅当 R， *是个( ),是个（ ），R,， 是个（ ），并且还满足条件（ ）.130. 填空:代数系统R， 是个含幺环,当且仅当 R， 是个（ ）,是个整环,当且仅当 R, 是个（ ），R，, 是个（ ），并且还满足条件

22、( )和( ）。132 填空：代数系统R,*， 是个域，当且仅当 （ )是个交换群，（ ）是个交换群，并且还满足条件（ ）。133 填空：代数系统F,， 是个域,当且仅当 F，* 是（ ），是（ ）,并且还满足条件( ）。134。令N是自然数集合,I是整数集合，R是实数集合,+和分别是加法和乘法, N,+,，中哪些不是环吗?为什么？如果是环，那些不是整环？为什么？哪些不是域？为什么?135。 判断, , P(E),是否为环？为什么？136。 试证I， , 是有幺元的交换环，其中和 的定义为：对任何a,bI， ab=a+b1 a b=a+b-ab137. .设A，+,是一个环， 并且对于任何aA

23、 ，有aa=a , 证明a）.对于任何aA， 都有a+a=,其中是+的幺元.b）. A，+,是一个交换环。138。 下面的说法是否正确?说明理由.设F，+,是个域，对任何a，bF，如果ab=0，则必有a=0或b=01。答案:（ f：XnY ）。2.答案：错误。举反例：12-1，1不是自然数。所以不封闭。3.答案:错误。0不能做除数。例如10没有定义，所以“”不是R上的运算.4.答案：代数系统定义：X是非空集合，X上有m个运算f1, f2, f3， fm, 则称为一个代数系统. 5.答案：（它的运算表是个与主对角线为对称的表）6.答案：（运算表的主对角线上各个元素均与表头元素对应相同）7.答案: