完整word版幂级数概念docx.docx
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§11．1常数项级数的概念和性质
§113
幂
级
数
一、函数项级数的概念
函数项级数
给定一个定义在区间
I上的函数列{un（x）}
由这函数列构成的表达式
u1（x）u2（x）
u3（x）
un（x）
称为定义在区间
I上的（函数项）级数
记为
un（x）
n1
收敛点与发散点
对于区间I内的一定点x0
若常数项级数
un（x0）收敛
则称
n1
点x0是级数
u（x）的收敛点
若常数项级数
u（x）发散
则称
n1
n
n
0
n1
点x0是级数
u（x）的发散点
n1
n
收敛域与发散域
函数项级数
un（x）的所有收敛点的全体称为它的收敛域
所
n1
有发散点的全体称为它的发散域
和函数
在收敛域上
函数项级数
un（x）的和是x的函数s（x）
n1
s（x）称为函数项级数
un（x）的和函数
并写成s（x）
un（x）
n1
n1
∑un（x）是
un（x）的简便记法
以下不再重述
n1
在收敛域上
函数项级数∑un（x）的和是x的函数s（x）
s（x）称为函数项级数∑
un（x）的和函数
并写成s（x）∑un（x）
这函数的定义就是级数的收敛域
部分和
函数项级数
un（x）的前n项的部分和记作
sn（x）
n1
函数项级数∑un（x）的前n项的部分和记作
sn（x）
即
sn（x）
u1（x）
u2（x）u3（x）
un（x）
1
§11．1常数项级数的概念和性质
在收敛域上有
lims（x）s（x）或sn（x）s（x）（n
）
n
n
余项
函数项级数
un（x）的和函数s（x）与部分和sn（x）的差
n1
rn（x）s（x）sn（x）叫做函数项级数
un（x）的余项
n1
函数项级数∑un（x）的余项记为rn（x）它是和函数s（x）与部分和sn（x）的差rn（x）s（x）sn（x）
在收敛域上有
limrn（x）0
n
二、幂级数及其收敛性
幂级数
函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数
项级数
这种形式的级数称为幂级数
它的形式是
a0a1xa2x2
anxn
其中常数a0a1
a2
an
叫做幂级数的系数
幂级数的例子
1xx2x3
xn
1
x
1x2
1xn
2!
n!
注
幂级数的一般形式是
a0a1（xx0）a2（xx0）2
an（xx0）n
经变换t
x
x0就得a0a1t
a2t2
antn
幂级数
1
2
3
n
xx
x
x
可以看成是公比为
x的几何级数
当|x|1时它是收敛的
当|x|1
时它是发散的
因此它的收敛
域为（1
1）
在收敛域内有
1
1
x
x2
x3
xn
1
x
定理1（阿贝尔定理）
如果级数
axn当x
x0（x0
0）时收敛
则适合不等式
n
n0
2
§11．1常数项级数的概念和性质
|x||x0|的一切x使这幂级数绝对收敛反之如果级数anxn当
n0
xx0时发散则适合不等式|x||x0|的一切x使这幂级数发散
定理1（阿贝尔定理）如果级数∑anxn当xx0（x00）时收敛
则适合不等式
|x||x0|的一切x使这幂级数绝对收敛
反之如果级数∑anxn当
xx0时发散则适合不等式|x||x0|的一切x使这幂级数发散
提示
∑anx
n是
axn的简记形式
n
n
0
证先设x0是幂级数
axn
的收敛点
即级数
axn
收敛
根据级数收敛的必要条件
有
n
n
n0
n0
limanx0n
0于是存在一个常数
M
使
n
|anx0
n|M（n
0,1,2,）
这样级数
axn
的的一般项的绝对值
n
n
0
n
nxn
n
x
n
x
n
|anx
||anx0x0n||anx0||
x0
|M|
x0
|
因为当|x||x0|时
等比级数
M|x|n收敛
所以级数
|axn|收敛
也就是级数
axn绝对
0x0
n
n
n
n0
n0
收敛
简要证明
n
在点x0收敛
n
）于是数列
n
即存在一个常
设∑anx
则有anx00（n
{anx0}有界
n
M（n0,1,2,
）
数M使|anx0|
因为|axn||axn
xn
||axn
||x|n
M|x|n
n
n0
xn
n0
x
0
x
0
0
而当|x||x0|时
等比级数
M|x|n收敛
所以级数∑|anxn|收敛也就是级数∑anxn绝对收敛
n0
x0
定理的第二部分可用反证法证明倘若幂级数当xx0时发散而有一点x1适合|x1|>|x0|使级数
收敛则根据本定理的第一部分级数当xx0时应收敛这与所设矛盾定理得证
3
§11．1常数项级数的概念和性质
推论如果级数
axn
不是仅在点
x0一点收敛
也不是在整个数轴上都收敛
则必有一
n0
n
个完全确定的正数R存在
使得
当|x|R时幂级数绝对收敛
当|x|R时幂级数发散
当xR与xR时幂级数可能收敛也可能发散
收敛半径与收敛区间
正数R通常叫做幂级数
anxn的收敛半径
开区间（R
R）叫做幂级
n0
数
anxn的收敛区间
再由幂级数在x
R处的收敛性就可以决定它的收敛域
幂级数anxn
n
0
n0
的收敛域是（R,R）（或[
R,R）、（R,R]、[R,R]之一
规定若幂级数
axn
只在x0收敛
则规定收敛半径R0若幂级数
axn
对一切x都
n
n
n0
n0
收敛
则规定收敛半径
R
这时收敛域为（,
）
定理2
如果lim|an1|
其中an、an1
是幂级数
axn的相邻两项的系数
则这幂级数的收敛
n
an
n
n0
半径
1
0
R
0
0
定理2
如果幂级数
axn系数满足lim|an
1|
则这幂级数的收敛半径
n
n
an
n0
1
0
R
0
0
定理2
4
§11．1常数项级数的概念和性质
如果lim|an1|
则幂级数
axn的收敛半径R为
n
an
n
0
n
当0时R1
当0时R
当
时R0
简要证明
lim
|an1xn1
|
lim|an1||x|
|x|
n
anxn
n
an
（1）如果0
则只当
|x|1时幂级数收敛
故R
1
（2）如果
0则幂级数总是收敛的
故R
（3）如果
则只当x
0时幂级数收敛
故R0
例1
求幂级数
（1）n1xn
x
x2
x3
（1）n1xn
n1
n
2
3
n
的收敛半径与收敛域
例1
求幂级数
（1）n1xn的收敛半径与收敛域
n1
n
lim|an1|
1
解
因为
limn
1
1
n
an
n
1
n
所以收敛半径为
R
1
1
当x
1时
幂级数成为
（
1）n11
是收敛的
n1
n
当x
1时幂级数成为
（
1）
是发散的
因此
收敛域为（1,1]
n1
n
例2
求幂级数
1xn
n
0n!
1x1x21x3
1xn
2!
3!
n!
的收敛域
例2
求幂级数
1xn的收敛域
n0n!
5
§11．1常数项级数的概念和性质
1
解因为
an1
|
（n
1）!
n!
0
lim|
lim
1
lim
（n1）!
n
an
n
n
n!
所以收敛半径为
R
从而收敛域为（
）
例3求幂级数
n!
xn的收敛半径
n
0
解因为
lim|an
1|
lim（n
1）!
nan
n
n!
所以收敛半径为
R0
即级数仅在x
0处收敛
例4求幂级数
（2n）!
x
2n
的收敛半径
0（n!
）2
n
解级数缺少奇次幂的项
定理2不能应用
可根据比值审敛法来求收敛半径
（2n）!
2n
幂级数的一般项记为un（x）x
因为
lim|un1（x）
|4|x|2
n
un（x）
当4|x|21
即|x|
1时级数收敛
当4|x|2
1即|x|
1时级数发散
所以收敛半径为R1
2
2
2
[2（n
1）]!
x
2（n1）
un1（x）
[（n
1）!
]2
（2n2）（2n1）x2
提示
un（x）
（2n）!
x
2n
（n1）2
（n!
）2
例5
求幂级数
（x1）n
的收敛域
n1
2nn
解令tx1
上述级数变为
tn
n12nn
因为
lim|
an1
|
2nn
1
an
2
n
2n1（n1）
6
§11．1常数项级数的概念和性质
所以收敛半径R2
当t
2时
级数成为
1
此级数发散
当t
2时
级数成为
（1）
此级数收敛
因此级
n1n
n1
n
数
tn
的收敛域为2
t2
因为2x1
2即1
x3
所以原级数的收敛域为
[1,3）
n12nn
三、幂级数的运算
设幂级数
anxn及
bnxn分别在区间（R,R）及（
R,R）内收敛
则在（
R,R）与（
R,R）中
n0
n0
较小的区间内有
加法
n
anxn
bnxn
n
（anbn）xn
0
n0
0
减法
n
anxn
bnxn
n
（anbn）xn
0
n0
0
设幂级数∑anxn及∑bnxn分别在区间（
R,R）及（
R,R）内收敛则在（
R,R）与（R,R）中较小
的区间内有
nnn
加法∑anx∑bnx∑（anbn）x
乘法（
anxn）（
bnxn）
a0b0（a0b1a1b0）x（a0b2a1b1a2b0）x2
n
0
n0
（a0bna1bn1
anb0）xn
性质1
幂级数
n
anxn的和函数s（x）在其收敛域
I上连续
0
如果幂级数在
x
R（或xR）也收敛
则和函数s（x）在（R,R]（或[
R,R））连续
性质
2
幂级数
axn
的和函数
s（x）
在其收敛域
I
上可积并且有逐项积分公式
n
0
n
x
s（x）dx
x
（anxn）dx
x
anxndx
anxn1（xI）
0
0
n0
0
n0
n0n1
逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径
性质3
幂级数
anxn的和函数s（x）在其收敛区间（RR）内可导
并且有逐项求导公式
n
0
s（x）（
anxn）
（anxn）
nanxn1（|x|R）
n
0
n0
n1
逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径
7
§11．1常数项级数的概念和性质
性质1
n
的和函数s（x）在其收敛域I上连续
幂级数∑anx
性质2
幂级数∑anxn的和函数s（x）在其收敛域I上可积
并且有逐项积分公式
x
s（x）dx
x（axn）dx
x
axndx
anxn1（xI）
0
0
n
n0
0
n
n0n1
n0
逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径
性质3
幂级数∑anxn的和函数s（x）在其收敛区间（RR）内可导
并且有逐项求导公式
s（x）（
axn）
（a
xn）
na
xn1
（|x|R）
n
n
n
n
n
0
n0
0
逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径
例6求幂级数1xn的和函数
n0n1
解求得幂级数的收敛域为[11）
设和函数为s（x）
即s（x）
1xn
x
[11）显然s（0）1
n0n1
在xs（x）
1
xn1的两边求导得
n0n1
[xs（x）]
（
1
xn1）
xn1
x
n
0n1
n0
1
对上式从0到x积分
得
xs（x）
x
1
dx
ln（1
x）
01
x
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