5、圆周运动的典型类型
类型
受力特点
图示
最高点的运动情况
用细绳拴一小球在竖直平面内转动
绳对球只有拉力
①若F＝0，则mg＝，v＝
②若F≠0，则v>
小球固定在轻杆的一端在竖直平面内转动
杆对球可以是拉力也可以是支持力
①若F＝0，则mg＝，v＝
②若F向下，则mg＋F＝m，v>
③若F向上，则mg－F＝或mg－F＝0，则0≤v<
小球在竖直细管内转动
管对球的弹力FN可以向上也可以向下
依据mg＝判断，若v＝v0，FN＝0；若vv0，FN向下
球壳外的小球
在最高点时弹力FN的方向向上
①如果刚好能通过球壳的最高点A，则vA＝0，FN＝mg
②如果到达某点后离开球壳面，该点处小球受到壳面的弹力FN＝0，之后改做斜抛运动，若在最高点离开则为平抛运动
六、有关生活中常见圆周运动的涉及的几大题型分析
（1）解题步骤：
①明确研究对象；
②定圆心找半径；
③对研究对象进行受力分析；
④对外力进行正交分解；
⑤列方程：
将与和物体在同一圆周运动平面上的力或其分力代数运算后，另得数等于向心力；
⑥解方程并对结果进行必要的讨论。
（2）典型模型：
I、圆周运动中的动力学问题
谈一谈：
圆周运动问题属于一般的动力学问题，无非是由物体的受力情况确定物体的运动情况，或者由物体的运动情况求解物体的受力情况。
解题思路就是，以加速度为纽带，运用那个牛顿第二定律和运动学公式列方程，求解并讨论。
模型一：
火车转弯问题：
模型二：
汽车过拱桥问题：
[触类旁通]1、铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的倾角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度小于，则（A）
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．这时铁轨对火车的支持力等于
D．这时铁轨对火车的支持力大于
解析：
当内外轨对轮缘没有挤压时，物体受重力和支持力的合力提供向心力，此时速度为
。
2、
如图所示，质量为m的物体从半径为R的半球形碗边向碗底滑动，滑倒最低点时的速度为v。
若物体滑倒最低点时受到的摩擦力是f，则物体与碗的动摩擦因数μ为（B）。
A、
B、
C、
D、
解析：
设在最低点时，碗对物体的支持力为F，则
，解得
，由
f=μF解得
，化简得
，所以B正确。
II、圆周运动的临界问题
A.常见竖直平面内圆周运动的最高点的临界问题
谈一谈：
竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动。
对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理只研究问题通过最高点和最低点的情况，并且经常出现有关最高点的临界问题。
模型三：
轻绳约束、单轨约束条件下，小球过圆周最高点：
模型四：
轻杆约束、双轨约束条件下，小球过圆周最高点：
模型五：
小物体在竖直半圆面的外轨道做圆周运动：
[触类旁通]1、如图所示，质量为的小杯里盛有1kg的水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为1m，小杯通过最高点的速度为4m/s，g取10m/s2，求：
（1）在最高点时，绳的拉力？
（2）在最高点时水对小杯底的压力？
（3）为使小杯经过最高点时水不流出,在最高点时最小速率是多少?
答案：
（1）9N，方向竖直向下；
（2）6N，方向竖直向上；（3）m/s=s
2、如图所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使其做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（AB）
A．a处为拉力，b处为拉力B．a处为拉力，b处为推力
C．a处为推力，b处为拉力D．a处为推力，b处为推力
3、
如图所示，LMPQ是光滑轨道，LM水平，长为5m，MPQ是一半径R=的半圆，QOM在同一竖直面上，在恒力F作用下，质量m=1kg的物体A从L点由静止开始运动，当达到M时立即停止用力，欲使A刚好能通过Q点，则力F大小为多少（
4、取g=10m/s2）
解析：
物体A经过Q时，其受力情况如图所示：
由牛顿第二定律得：
物体A刚好过A时有FN=0；解得
，
对物体从L到Q全过程，由动能定理得：
，解得F=8N。
B.物体在水平面内做圆周运动的临界问题
谈一谈：
在水平面内做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动（半径变化）的趋势。
这时要根据物体的受力情况判断物体所受的某个力是否存在以及这个力存在时方向如何（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。
模型六：
转盘问题
【综合应用】
1、如图所示，按顺时针方向在竖直平面内做匀速转动的轮子其边缘上有一点A，当A通过与圆心等高的a处时，有一质点B从圆心O处开始做自由落体运动．已知轮子的半径为R，求：
（1）轮子的角速度ω满足什么条件时，点A才能与质点B相遇？
（2）轮子的角速度ω′满足什么条件时，点A与质点B的速度才有可能在某时刻相同？
解析：
（1）点A只能与质点B在d处相遇，即轮子的最低处，则点A从a处转到d处所转过的角度应为θ＝2nπ＋π，其中n为自然数．
由h＝gt2知，质点B从O点落到d处所用的时间为t＝，则轮子的角速度应满足条件
ω＝＝（2n＋）π，其中n为自然数．
（2）点A与质点B的速度相同时，点A的速度方向必然向下，因此速度相同时，点A必然运动到了c处，则点A运动到c处时所转过的角度应为θ’＝2nπ＋π，其中n为自然数．
转过的时间为
此时质点B的速度为vB＝gt′，又因为轮子做匀速转动，所以点A的速度为vA＝ω′R
由vA＝vB得，轮子的角速度应满足条件
，其中n为自然数．
2、（2009年高考浙江理综）某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛．比赛路径如下图所示，赛车从起点A出发，沿水平直线轨道运动L后，由B点进入半径为R的光滑竖直圆轨道，离开竖直圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到C点，并能越过壕沟．已知赛车质量m＝，通电后以额定功率P＝工作，进入竖直轨道前受到的阻力恒为，随后在运动中受到的阻力均可不记．图中L＝，R＝，h＝，x＝．问：
要使赛车完成比赛，电动机至少工作多长时间（
取g＝10m/s2）
解析：
设赛车越过壕沟需要的最小速度为v1，由平抛运动的规律
x＝v1t，h＝gt2，解得：
v1＝x＝3m/s
设赛车恰好越过圆轨道，对应圆轨道最高点的速度为v2，最低点的速度为v3，由牛顿第二定律及机械能守恒定律得
mg＝m，mv＝mv＋mg（2R）
解得v3＝＝4m/s
通过分析比较，赛车要完成比赛，在进入圆轨道前的速度最小应该是
vmin＝4m/s
设电动机工作时间至少为t，根据功能关系
Pt－FfL＝mv，由此可得t＝.
3、如下图所示，让摆球从图中A位置由静止开始下摆，正好到最低点B位置时线被拉断．设摆线长为L＝，摆球的质量为，摆线的最大拉力为10N，悬点与地面的竖直高度为H=4m，
不计空气阻力，g取10m/s2。
求：
（1）摆球着地时的速度大小．
（2）D到C的距离。
解析：
（1）小球刚摆到B点时，由牛顿第二定律可知：
①，由①并带入数据可解的：
，
小球离开B后，做平抛运动.
竖直方向：
②，落地时竖直方向的速度：
③
落地时的速度大小：
④，由①②③④得：
（2）落地点D到C的距离
第六章万有引力与航天
§6-1开普勒定律
一、两种对立学说（了解）
1.地心说：
（1）代表人物：
托勒密；
（2）主要观点：
地球是静止不动的，地球是宇宙的中心。
2.日心说：
（1）代表人物：
哥白尼；
（2）主要观点：
太阳静止不动，地球和其他行星都绕太阳运动。
二、开普勒定律
1.开普勒第一定律（轨道定律）：
所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。
2.开普勒第二定律（面积定律）：
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。
此定律也适用于其他行星或卫星绕某一天体的运动。
3.开普勒第三定律（周期定律）：
所有行星轨道的半长轴R的三次方与公转周期T的二次方的比值都相同，即
值是由中心天体决定的。
通常将行星或卫星绕中心天体运动的轨道近似为圆，则半长轴a即为圆的半径。
我们也常用开普勒三定律来分析行星在近日点和远日点运动速率的大小。
[牛刀小试]1、关于“地心说”和“日心说”的下列说法中正确的是（AB）。
A．地心说的参考系是地球 B．日心说的参考系是太阳
C．地心说与日心说只是参考系不同，两者具有等同的价值 D．日心说是由开普勒提出来的
2、开普勒分别于1609年和1619年发表了他发现的行星运动规律，后人称之为开普勒行星运动定律。
关于开普勒行星运动定律，下列说法正确的是（B）
A．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆，太阳处在圆心上
B．对任何一颗行星来说，离太阳越近，运行速率就越大
C．在牛顿发现万有引力定律后，开普勒才发现了行星的运行规律
D．开普勒独立完成了观测行星的运行数据、整理观测数据、发现行星运动规律等全部工作
§6-2万有引力定律
一、万有引力定律
1.月—地检验：
①检验人：
牛顿；②结果：
地面物体所受地球的引力，与月球所受地球的引力都是同一种力。
2.内容：
自然界的任何物体都相互吸引，引力方向在它们的连线上，引力的大小跟它们的质量m1和m2乘积成正比，跟它们之间的距离的平方成反比。
3.表达式：
，
4.使用条件：
适用于相距很远，可以看做质点的两物体间的相互作用，质量分布均匀的球体也可用此公式计算，其中r指球心间的距离。
5.四大性质：
①普遍性：
任何客观存在的有质量的物体之间都存在万有引力。
②相互性：
两个物体间的万有引力是一对作用力与反作用力，满足牛顿第三定律。
③宏观性：
一般万有引力很小，只有在质量巨大的星球间或天体与天体附近的物体间，其存在才有意义。
④特殊性：
两物体间的万有引力只取决于它们本身的质量及两者间的距离，而与它们所处环境以及周围是否有其他物体无关。
6.对G的理解：
①G是引力常量，由卡文迪许通过扭秤装置测出，单位是
。
②G在数值上等于两个质量为1kg的质点相距1m时的相互吸引力大小。
③G的测定证实了万有引力的存在，从而使万有引力能够进行定量计算，同时标志着力学实验精密程度的提高，开创了测量弱相互作用力的新时代。
[牛刀小试]1、关于万有引力和万有引力定律理解正确的有（B）
A．不可能看作质点的两物体之间不存在相互作用的引力
B．可看作质点的两物体间的引力可用F=
计算
C．由F=
知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大，紧靠在一起时，万有引力非常大
D．引力常量的大小首先是由卡文迪许测出来的，且等于×10－11N·m2/kg2
2、下列说法中正确的是（ACD）
A．总结出关于行星运动三条定律的科学家是开普勒
B．总结出万有引力定律的物理学家是伽俐略
C．总结出万有引力定律的物理学家是牛顿
D．第一次精确测量出万有引力常量的物理学家是卡文迪许
7.万有引力与重力的关系：
（1）“黄金代换”公式推导：
当
时，就会有
。
（2）注意：
①重力是由于地球的吸引而使物体受到的力，但重力不是万有引力。
②只有在两极时物体所受的万有引力才等于重力。
③重力的方向竖直向下，但并不一定指向地心，物体在赤道上重力最小，在两极时重力最大。
④随着纬度的增加，物体的重力减小，物体在赤道上重力最小，在两极时重力最大。
⑤物体随地球自转所需的向心力一般很小，物体的重力随纬度的变化很小，因此在一般粗略的计算中，可以认为物体所受的重力等于物体所受地球的吸引力，即可得到“黄金代换”公式。
[牛刀小试]设地球表面的重力加速度为g0，物体在距地心4R（R为地球半径）处，由于地球的作用而产生的重力加速度为g，则g∶g0为（D）
A．16∶1B．4∶1C．1∶4D．1∶16
8.万有引力定律与天体运动：
（1）运动性质：
通常把天体的运动近似看成是匀速圆周运动。
（2）从力和运动的关系角度分析天体运动：
天体做匀速圆周运动运动，其速度方向时刻改变，其所需的向心力由万有引力提供，即F需=F万。
如图所示，由牛顿第二定律得：
，从运动的角度分析向心加速度：
（3）重要关系式：
[牛刀小试]1、两颗球形行星A和B各有一颗卫星a和b，卫星的圆形轨道接近各自行星的表面，如果两颗行星的质量之比，半径之比=q，则两颗卫星的周期之比等于
。
2、地球绕太阳公转的角速度为ω1，轨道半径为R1，月球绕地球公转的角速度为ω2，轨道半径为R2，那么太阳的质量是地球质量的多少倍？
3、
解析：
地球与太阳的万有引力提供地球运动的向
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