基本不等式及其应用.docx
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基本不等式及其应用
第二节基本不等式及其应用
考纲解读
1.
2.
3.
a+bI—
了解基本不等式ab（a，b・R）的证明过程.
2
会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题
利用基本不等式证明不等式.
命题趋势探究
基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题
预测2019年本专题在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断，求取值范围问题•
本专题知识的考查综合性较强，解答题一般为较难题目，每年分值为58分.
知识点精讲
1.几个重要的不等式
（1）a2启0（a€R）,需兰0（a兰0）,a30（awR）.
④重要不等式串：
-ab<
112
-+-厶
ab
调和平均值乞几何平均值乞算数平均值乞平方平均值（注意等号成立的条件）.
2•均值定理
已知x，y•二R
X+Vcs2
”）.即“和为定值，积有最
（1）如果xy=S（定值），则xy乞（）2（当且仅当“x=y”时取“
24
大值”.
（2）如果xy=p（定值）,则x■y_2、,xy二2p（当且仅当“x=y”时取“=”）•即积为定值，和有最小值”.题型归纳及思路提示
题型91基本不等式及其应用思路提示
熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.
a2+b2
例7.5“ab0”是“ab：
：
：
”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
变式1已知a_0,b_0且a•b=2,则（）
D.a2b2_3
1122
A.abB.abC.a■b—2
22
变式2（2017江苏10）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存
储费用为4x万元•要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是•
例7.6若a0,b0,a^2,,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是（写出所有正确命
题的序号）.
①ab^1:
②2_.2:
③a2b2一2:
④a3b3一3:
⑤1」一2.
ab
变式1如果正数a,b,c,d满足a•d=cd=4,那么（
A.ab^cd,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一
题型92利用基本不等式求函数最值
思路提示
（1）在利用基本不等式求最值时，要把握四个方面，即“一正—各项都是正数；二定—和或积为定值；三相等等号能否取到（对于不满足’相等’的函数求最值，可考虑利用函数单调性解题）；四同时多次使用基本不等式时等号要同时取得”，求最值时，这是个方面缺一不可，若忽视了某个条件的验证，可能会出现错误.
（2）利用基本不等式求函数最值常用的技巧有：
1通过加减项的方法配凑成使用基本不等式的形式；2注
意“1”的变换；3灵活选择和应用基本不等式的变形形式；4合理配组，反复使用基本不等式等.
一、利用基本不等式求最值要注意条件的验证
12
例7.7
（1）若x0，求函数f（x）3x的最小值；
x
二、通过代数变换凑配成使用基本不等式的形式
51
例7.8已知x,求函数y=4x—2的最大值.
44x—5
6Jx2+2
变式1求函数y二攀-的最大值.
X2+4
变式2设正实数x,y,z满足x2-3xy•4y2-z二0,则当竺取得最大值时，2--2最大值为（）
zxyz
c“9c
A.0B.1C.-D.3
4
三、“1”的变换
19
例7.9已知x0,y0,且1，求xy的最小值.
xy
1i
变式1已知a0,b0,a^2,则y的最小值是
ab
14n
变式2求函数y2厂（0：
：
：
X）的最小值
sinxcosx2
1113
变式3已知abc,证明：
————
a—bb—cc—aa—c
变式4设a+b=2,b：
>0则当“时，27+lb'最得最小值.
四、转化思想和方程消元思想在求二元函数最值中的应用
例7.10若正数a,b满足ab3,则：
（1）ab的取值范围是
（2）ab的取值范围是
变式1若x,y.0满足2x•y•6二xy,则xy的最小值是
变式2若x,y0满足xy•xy=2,则xy的最小值是
变式3若x,y0满足x2y2xy=8,则x2y的最小值是（）
911
A.3B.4C.D.-
22
五、灵活选择和运用基本不等式的变形形式
2
例7.11设x_0,y_0,x2•才=1,则x.1y的最大值为
的最小值.
变式1已知a0,b0,a•b=4,求（a-）2（b-）2
ab
六、合理配组，反复应用基本不等式
211
例7.12设ab0,则a2-1的最小值是（
aba（a—b）
A.1B.2C.3D.4
变式1若a0,b0,满足1—■2'-ab的最小值是（
ab
A.2B.2,2C.4D.5
1212
变式2若x,y是正数,则（x）（y）的最小值是（）
y2x
79
A.3B.—C.4D.—
22
题型93利用基本不等式证明不等式
思路提示
类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明
AA
例7.13（Da,bcR,求证:
…叫冷4
（3）x,y,zR,且xyz=1,求证：
xy-：
z<3
111
变式1若a,b,cR,且abc=1,求证：
（一-1）（—-1）（—-1）_8abc
bcca2ab2
变式2证明：
右x,y,z,a,b,R,则寸z-2（xyyz-xz）
abc
最有效训练题27（限时45分钟）
1
1.函数f（x）=x（x2）在x=a处取得最小值则a=（）
x—2
A.1B.1、3C.3D.4
32
2.已知x0,y0,2x3^1，贝U的最小值是（）
xy
A.6B.12C.18D.24
3.若x0,ym22m恒成立，则实数m的取值范围是（）
xy
A.（」：
，-2]一[4,：
：
）B.（八，_4]一[2,：
：
C.（-2,4）D.（-4,2）
B.2-1C.,21
4.已知a,b•R',且2ab=1,则S=2.Ob-4a2-b2的最大值为（）
5.若x0,y0,且xy-（Xy）=1则（）
A.xy_2、.22B.xy_2."22C.x丫_（.~212）D.xy_C.212）
6.若2m-2n：
：
：
4则点（m,n）必在（）
A.直线xy-^0的左下方B.直线x•y-2=0的右上方
C.直线x•2y-2=0的右上方D.直线x2y-2=0的左下方
7.在“4+9=1”中的“”处分别填上一个自然数，使他们的和最小，其和的最小值为
11
&设X,厂R,a1,b1，若ax=by=3,a•b=2^3，贝U的最大值为
xy
2
9.已知关于x的不等式2x7在（a,=）上恒成立，则实数a的最小值为
x—a
10.
（1）设x乜T，求函数y二一5）（x~~刀的最小值为
x+1
4
（2）设x（0,二）,求函数f（x）二sinx的最小值.
sinx
34
（3）已知x0,y•0且xy=1,求的最小值
xy
（4）若正数x,y满足x■3y=5xy,则3x4y的最小值是
11.已知a,b为正数，求证:
12.提高过江大桥车辆的通行能力可改善整个城市的交通状况•在一般情况下，大桥上的车辆速度V（单位：
千米/小时）是车流密度X（单位：
辆/千米）的函数•当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0,当车流速度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时,研究表明，当20乞x乞200时，车流速度V是车流密度X的一次函数•
（1）当20^x^200时,求函数v（x）的表达式；
（2）当车密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：
辆/每小时）f（x）=XJv（x）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）•
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