东南大学数值分析上机题答案.docx
《东南大学数值分析上机题答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《东南大学数值分析上机题答案.docx（27页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
东南大学数值分析上机题答案
数值分析上机题
第一章
17.（上机题）舍入误差与有效数
设
，其精确值为
。
（1）编制按从大到小的顺序
，计算
的通用程序；
（2）编制按从小到大的顺序
，计算
的通用程序；
（3）按两种顺序分别计算
并指出有效位数（编制程序时用单精度）；
（4）通过本上机题，你明白了什么？
解：
程序：
（1）从大到小的顺序计算
：
functionsn1=fromlarge（n）%从大到小计算sn1
formatlong;
sn1=single（0）;
form=2:
1:
n
sn1=sn1+1/（m^2-1）;
end
end
（2）从小到大计算
functionsn2=fromsmall（n）%从小到大计算sn2
formatlong;
sn2=single（0）;
form=n:
-1:
2
sn2=sn2+1/（m^2-1）;
end
end
（3）
总的编程程序为：
functionp203（）
clearall
formatlong;
n=input（'pleaseenteranumberasthen:
'）
sn=1/2*（3/2-1/n-1/（n+1））;%精确值为sn
fprintf（'精确值为%f\n',sn）;
sn1=fromlarge（n）;
fprintf（'从大到小计算的值为%f\n',sn1）;
sn2=fromsmall（n）;
fprintf（'从小到大计算的值为%f\n',sn2）;
functionsn1=fromlarge（n）%从大到小计算sn1
formatlong;
sn1=single（0）;
form=2:
1:
n
sn1=sn1+1/（m^2-1）;
end
end
functionsn2=fromsmall（n）%从小到大计算sn2
formatlong;
sn2=single（0）;
form=n:
-1:
2
sn2=sn2+1/（m^2-1）;
end
end
end
运行结果：
从而可以得到
N值
真值
顺序
值
有效位数
0.740050
从大到小
0.740049
5
从小到大
0.740050
6
0.749900
从大到小
0.749852
3
从小到大
0.749900
6
0.749999
从大到小
0.749852
3
从小到大
0.749999
6
（4）感想：
通过本上机题，我明白了，从小到大计算数值的精确位数比较高而且与真值较为接近，而从大到小计算数值的精确位数比较低。
机器数在进行加法运算时，用从大到小的顺序容易出现大数吃小数的情况，容易产生较大的误差，是因为对于相加的两个数值，计算机首先提供与大数相一致的位数，此时将小数的尾数向右移位，并进行四舍五入，之后对尾数进行依次相加。
从大到小时，越往后计算，相加的数越小，从而出现大数吃小数的情况。
相比之下。
从小到大计算时，每次小数与大数相加，都会增加位数，从而精确度比较高。
第二章
20.（上机题）Newton迭代法
（1）给定初值
及容许误差ε，编制Newton法解方程
=0根的通用程序。
（2）给定方程
，易知其有三个根
=-
，
=0,
=
。
①有Newton方法的局部收敛性可知存在δ>0，当
（-δ,δ）时Newton迭代序列收敛于根
，试确定尽可能大的δ；
②试取若干初始值，观察当
（-∞，-1），（-1，-δ），（-δ，δ），（δ，1），（1，+∞）时Newton序列是否收敛以及收敛于哪一个根。
（3）通过本上机题，你明白了什么？
解：
（1）程序
先编写函数function文件：
文件fx.m
%定义函数f（x）
functionFx=fx（x）
Fx=x^3/3-x;
文件dfx.m
%定义导函数df（x）%
functionfx=dfx（x）
fx=x^2-1;
接下来是具体步骤
文件newton1.m求尽可能大的delta值
%%课本56页计算最大delta值
clear
flag=1;
k=1;
x0=0;
whileflag==1
delta=k*10^-6;
x0=delta;
k=k+1;
m=0;
flag1=1;
whileflag1==1&&m<=10^3
x1=x0-fx（x0）/dfx（x0）;
ifabs（x1-x0）<10^-6
flag1=0;
end
m=m+1;
x0=x1;
end
ifflag1==1||abs（x0）>=10^-6
flag=0;
end
end
fprintf（'%f\n',delta）;
文件newton2.m求方程的根
%%课本56页newton法求方程的根，确定收敛于哪个根
formatlong;
ef=1e-6;
k=0;
x0=input（'pleaseentertheinitialnumberasthex0:
'）;
whilek<1000
x1=x0-fx（x0）/dfx（x0）;
ifabs（x1-x0）break
end
x0=x1;
k=k+1;
end
fprintf（'方程的根为%f\n',x0）;
（2）运行结果
1求尽可能大的delta值
2判断收敛于哪个根。
已知有三个根，
=-
，
=0,
=
。
，（-1，-δ），（-δ，δ），（δ，1），（1，+∞）
（-∞，-1）
收敛于
=-
（-1，-δ）
可见部分收敛于
，部分收敛于
。
（-δ，δ）
可见，收敛于
=0。
（δ，1）
可见部分收敛于
，部分收敛于
。
（1，∞）
收敛于
（3）感想：
通过自行编写NEWTON的程序，加深了我对于NEWTON迭代法具体的运行方式、结果、利弊的了解。
在不同的区间上，根据给定的x0的不同，x会以不同的速度收敛于某个根，也会产生意想不到的跳动，如在（1，∞）区间是。
因此给定初值的重要性很大，即在某些区间上，收敛于某个根是由一定限制的，要取得合适的初值，才能够正确地求得收敛的根。
总体上来说，通过上机，巩固学习了第二章关于迭代的运用。
第三章
39.列主元Gauss消去法
对于某电路的分析，归结为求解线性方程组
。
其中
（1）编制解n阶线性方程组
的列主元高斯消去法的通用程序；
（2）用所编程序线性方程组
，并打印出解向量，保留5位有效数；
（3）本章编程之中，你提高了哪些编程能力？
解：
（1）程序
Gauss函数的function程序
%用列主元Gauss消去法求解线性方程组Ax=b
function[x]=gauss1（A,b）
n=length（b）;
fork=1:
n
a=max（A（k:
n,k））;
[pm]=find（A（:
k）==a）;
ifp>k
A（[p,k],:
）=A（[k,p],:
）;
b（[p,k],:
）=b（[k,p],:
）;
end
m=A（k+1:
n,k）/A（k,k）;
A（k+1:
n,k+1:
n）=A（k+1:
n,k+1:
n）-m*A（k,k+1:
n）;
b（k+1:
n）=b（k+1:
n）-m*b（k）;
A（k+1:
n,k）=zeros（n-k,1）;
end
x=zeros（n,1）;
x（n）=b（n）/A（n,n）;
fori=n-1:
-1:
1
m=0;
fork=i+1:
1:
n
m=m+A（i,k）*x（k）;
end
x（i）=（b（i）-m）/A（i,i）;
end
end
下面是主程序的m文件
%%课本127页用列主元gauss消去法求解方程
clear
R=[31-13000-10000;-1335-90-110000;0-931-1000000;00-1079-30000-9;000-3057-70-50;0000-747-3000;00000-304100;0000-50027-2;000-9000-229];
V=[-15;27;-23;0;-20;12;-7;7;10];
I=gauss1（R,V）;
I
（2）运行结果
（3）感想：
本次上机重点学习了列主元GUASS消去法的应用。
列主元GUASS消去法在进行第K步消元前，先选出位于第K列中位于对角线及其以下元素绝对值中的最大者，然后将他们互相交换，在进行接下来的一般消元过程。
较少了误差，而且一般保证舍入误差不增加，基本上是稳定的。
通过上机程序设计，加深了对该方法的了解，对于矩阵、编程的了解也更深入。
第四章
37.三次样条插值函数
（1）编制求第一型3次样条插值函数的通用程序
（2）已知汽车门曲线型值点的数据如下
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2.51
3.30
4.04
4.70
5.22
5.54
5.78
5.40
5.57
5.70
5.80
端点条件为
=0.8，
=0.2，用所编程序求出门的三次样条差值函数S（x），打印出S（i+0.5）,i=1,2,```9。
（1）程序（n是x的总个数）
%%样条插值函数
clear
clc
%%输入相关参数xi,yi
n=input（'enterthen:
'）;%%输入X的总个数
xn=zeros（1,n）;
yn=zeros（1,n）;
xn（1,:
）=input（'enterthex:
'）;
yn（1,:
）=input（'enterthey:
'）;
%%求h,mu,lambda,d值
d=zeros（n,1）;
h=zeros（1,n-1）;
mu=zeros（1,n-2）;%%
lambda=zeros（1,n-2）;
f1=zeros（1,n-1）;%%一阶导数
f2=zeros（1,n-2）;%%二阶导数
dy0=input（'enterthevalueofdy0:
'）;
dyn=input（'enterthevalueofdyn:
'）;
fori=1:
n-1
h（i）=xn（i+1）-xn（i）;
f1（i）=（yn（i+1）-yn（i））/h（i）;
end
fori=1:
n-2
mu（i）=h（i）/（h（i）+h（i+1））;
lambda（i）=1-mu（i）;
end
d
（1）=6*（f1
（1）-dy0）/h
（1）;
d（n）=6*（dyn-f1（n-1））/h（n-1）;
fori=2:
n-1
f2（i）=（f1（i）-f1（i-1））/（xn（i+1）-xn（i-1））;
d（i）=6*f2（i）;
end
A=zeros（n）;
A（1,2）=1;
A（n,n-1）=1;
fori=1:
n
A（i,i）=2;
end
fori=2;n-1
A（i,i-1）=mu（i-1）;
A（i,i+1）=la
升级会员 