第31练 椭圆问题中最值得关注的基本题型.docx
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第31练椭圆问题中最值得关注的基本题型
第31练 椭圆问题中最值得关注的基本题型
[题型分析·高考展望] 椭圆问题在高考中占有比较重要的地位，并且占的分值也较多.分析历年的高考试题，在选择题、填空题、解答题中都有涉及到椭圆的题，所以我们对椭圆知识必须系统的掌握.对各种题型，基本的解题方法也要有一定的了解.
体验高考
1.（2015·广东）已知椭圆
＋
＝1（m>0）的左焦点为F1（－4，0），则m等于（ ）
A.2B.3C.4D.9
答案 B
解析 由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3.
2.（2015·福建）已知椭圆E：
＋
＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：
3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于
，则椭圆E的离心率的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.
∵|AF|＋|BF|＝4，
∴|AF|＋|AF0|＝4，
∴a＝2.
设M（0，b），则
≥
，
∴1≤b＜2.
离心率e＝
＝
＝
＝
∈
，
故选A.
3.（2016·课标全国丙）已知O为坐标原点，F是椭圆C：
＋
＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为椭圆C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则椭圆C的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 设M（－c，m），则E
，OE的中点为D，则D
，又B，D，M三点共线，所以
＝
，a＝3c，e＝
.
4.（2015·浙江）已知椭圆
＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋
对称.
（1）求实数m的取值范围；
（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）.
解
（1）由题意知m≠0，
可设直线AB的方程为y＝－
x＋b.
由
消去y，
得
x2－
x＋b2－1＝0.
因为直线y＝－
x＋b与椭圆
＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋
＞0，①
将线段AB中点M
代入直线方程y＝mx＋
，
解得b＝－
，②
由①②得m＜－
或m＞
.
（2）令t＝
∈
∪
，
则|AB|＝
·
，
且O到直线AB的距离为d＝
.
设△AOB的面积为S（t），
所以S（t）＝
|AB|·d＝
≤
.
当且仅当t2＝
时，等号成立.
故△AOB面积的最大值为
.
5.（2016·北京）已知椭圆C：
＋
＝1（a＞b＞0）的离心率为
，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：
|AN|·|BM|为定值.
（1）解 由已知
＝
，
ab＝1.
又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝
.
∴椭圆C的方程为
＋y2＝1.
（2）证明 由
（1）知，A（2，0），B（0，1）.
设椭圆上一点P（x0，y0），则
＋y
＝1.
当x0≠0时，直线PA方程为y＝
（x－2），
令x＝0得yM＝
.
从而|BM|＝|1－yM|＝
.
直线PB方程为y＝
x＋1，
令y＝0得xN＝
.
∴|AN|＝|2－xN|＝
.
∴|AN|·|BM|＝
·
＝
·
＝
＝
＝4.
当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，
∴|AN|·|BM|＝4.
故|AN|·|BM|为定值.
高考必会题型
题型一 利用椭圆的几何性质解题
例1 如图，焦点在x轴上的椭圆
＋
＝1的离心率e＝
，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，求
·
的最大值和最小值.
解 设P点坐标为（x0，y0）.由题意知a＝2，
∵e＝
＝
，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.
所求椭圆方程为
＋
＝1.
∴－2≤x0≤2，－
≤y0≤
.
又F（－1，0），A（2，0），
＝（－1－x0，－y0），
＝（2－x0，－y0），
∴
·
＝x
－x0－2＋y
＝
x
－x0＋1＝
（x0－2）2.
当x0＝2时，
·
取得最小值0，
当x0＝－2时，
·
取得最大值4.
点评 熟练掌握椭圆的几何性质是解决此类问题的根本，利用离心率和椭圆的范围可以求解范围问题、最值问题，利用a、b、c之间的关系和椭圆的对称性可构造方程.
变式训练1 如图，F1、F2分别是椭圆C：
＋
＝1（a>b>0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若△AF1B的面积为40
，求椭圆C的方程.
解
（1）由题意可知，△AF1F2为等边三角形，
a＝2c，所以e＝
.
（2）方法一 a2＝4c2，b2＝3c2，
直线AB的方程可为y＝－
（x－c），
将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，
得B（
c，－
c），
所以|AB|＝
·|
c－0|＝
c，
由
＝
|AF1|·|AB|sin∠F1AB
＝
a·
a·
＝
a2＝40
，
解得a＝10，b＝5
，所以椭圆C的方程为
＋
＝1.
方法二 设|AB|＝t，因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a，
由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t，
再由余弦定理（3a－t）2＝a2＋t2－2atcos60°可得，
t＝
a，由
＝
|AF1|·|AB|sin∠F1AB
＝
a·
a·
＝
a2＝40
知，a＝10，b＝5
，
所以椭圆C的方程为
＋
＝1.
题型二 直线与椭圆相交问题
例2 （2015·课标全国Ⅱ）已知椭圆C：
＋
＝1（a＞b＞0）的离心率为
，点（2，
）在C上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：
直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
（1）解 由题意得
＝
，
＋
＝1，
解得a2＝8，b2＝4.
所以椭圆C的方程为
＋
＝1.
（2）证明 设直线l：
y＝kx＋b（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）.
将y＝kx＋b代入
＋
＝1，得（2k2＋1）x2＋4kbx＋2b2－8＝0.
故xM＝
＝
，yM＝k·xM＋b＝
.
于是直线OM的斜率kOM＝
＝－
，
即kOM·k＝－
.
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
点评 解决直线与椭圆相交问题的一般思路：
将直线方程与椭圆方程联立，转化为一元二次方程，由判别式范围或根与系数的关系解决.求范围或最值问题，也可考虑求“交点”，由“交点”在椭圆内（外），得出不等式，解不等式.
变式训练2 椭圆C：
＋
＝1（a>b>0）的离心率为
，且过其右焦点F与长轴垂直的直线被椭圆C截得的弦长为2.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点P是椭圆C的一个动点，直线l：
y＝
x＋
与椭圆C交于A，B两点，求△PAB面积的最大值.
解
（1）∵椭圆C：
＋
＝1（a>b>0）的离心率为
，
∴e＝
＝
，∴2c＝
a，即4c2＝3a2，
又∵过椭圆右焦点F与长轴垂直的直线被椭圆C截得的弦长为2，
∴
＋
＝1，∴
＋
＝1，
即b2＝4，又a2－b2＝c2，
∴a2＝b2＋c2＝4＋
a2，即a2＝16，
∴椭圆C的方程为
＋
＝1.
（2）联立直线l：
y＝
x＋
与椭圆C的方程，
得
消去y，
整理可得7x2＋12x－52＝0，
即（7x＋26）（x－2）＝0，解得x＝2或x＝－
，
∴不妨设A（2，
），B（－
，－
），
则|AB|＝
＝
，
设过P点且与直线l平行的直线L的方程为y＝
x＋C，L与l的距离就是P点到AB的距离，
即△PAB的边AB上的高，只要L与椭圆相切，
就有L与边AB的最大距离，即得最大面积.
将y＝
x＋C代入
＋
＝1，
消元整理可得：
7x2＋8
Cx＋16C2－64＝0，
令判别式Δ＝（8
C）2－4×7×（16C2－64）＝－256C2＋28×64＝0，
解得C＝±
＝±
.
∴L与AB的最大距离为
＝
，
∴△PAB面积的最大值为
×
×
＝
（2
＋
）.
题型三 利用“点差法，设而不求思想”解题
例3 已知椭圆
＋
＝1（a>b>0）的一个顶点为B（0，4），离心率e＝
，直线l交椭圆于M，N两点.
（1）若直线l的方程为y＝x－4，求弦|MN|的长；
（2）如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式.
解
（1）由已知得b＝4，且
＝
，即
＝
，
∴
＝
，解得a2＝20，
∴椭圆方程为
＋
＝1.
则4x2＋5y2＝80与y＝x－4联立，
消去y得9x2－40x＝0，∴x1＝0，x2＝
，
∴所求弦长|MN|＝
|x2－x1|＝
.
（2）如图，椭圆右焦点F的坐标为（2，0），设线段MN的中点为Q（x0，y0），
由三角形重心的性质知
＝2
，
又B（0，4），∴（2，－4）＝2（x0－2，y0），故得x0＝3，y0＝－2，
即得Q的坐标为（3，－2）.
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，
且
＋
＝1，
＋
＝1，
以上两式相减得
＋
＝0，
∴kMN＝
＝－
·
＝－
×
＝
，
故直线MN的方程为y＋2＝
（x－3），
即6x－5y－28＝0.
点评 当涉及平行弦的中点轨迹，过定点的弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程时，用“点差法”来求解.
变式训练3 已知椭圆
＋
＝1（a>b>0），焦点在直线x－2y－2＝0上，且离心率为
.
（1）求椭圆方程；
（2）过P（3，1）作直线l与椭圆交于A，B两点，P为线段AB的中点，求直线l的方程.
解
（1）∵椭圆
＋
＝1（a>b>0），
焦点在直线x－2y－2＝0上，
∴令y＝0，得焦点（2，0），∴c＝2，
∵离心率e＝
＝
，∴
＝
，
解得a＝4，∴b2＝16－4＝12，
∴椭圆方程为
＋
＝1.
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵过P（3，1）作直线l与椭圆交于A，B两点，
P为线段AB的中点，
∴由题意，x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，
∴
＋
＝0，
∴kl＝
＝－
，
∴l的方程为y－1＝－
（x－3），
即9x＋4y－31＝0.
高考题型精练
1.（2016·课标全国乙）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的
，则该椭圆的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 如图，由题意得，BF＝a，OF＝c，OB＝b，OD＝
×2b＝
b.
在Rt△OFB中，|OF|×|OB|＝|BF|×|OD|，
即cb＝a·
b，代入解得a2＝4c2，
故椭圆离心率e＝
＝
，故选B.
2.已知椭圆
＋
＝1，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点A（1，1）为椭圆内一点，点P为椭圆上一点，
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